Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Пример за изчисляване на лапласиан

Решаваме конкретен пример за намиране на стойността на лапласиана на функция на две променливи. Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В последното видео разгледахме какво представлява операторът на Лаплас в контекста на функцията, на която съответства тази графика и на градиентното поле под нея. Сега искам да разгледаме изчисленията, свързани с него. Функцията, която е дадена, е функция на две променливи. Тя е дефинирана като f от (х; у) равно на 3 плюс косинус от (х/2) умножено по синус от (у/2). Лапласианът, записан с този удебелен отдясно триъгълник (делта), е оператор от f. Той се дефинира чрез дивергенцията, т.е. скаларното произведение на оператора набла по градиента, а той е просто набла по f. Тук имаме две различни операции. Това е нещо като втора производна. Първото нещо, което искам да направя, е да намеря градиента на f. Начинът, по който го правим, е да си представим, че развиваме този обърнат триъгълник като вектор, съдържащ операторите за частна производна: частно, частно х и частно, частно у. За градиента ние просто един вид си представяме, ме умножаваме това по функцията. Ако си представим, че умножаваме това по функцията, тогава получаваме просто един вектор, съдържащ частни производни като компоненти. Намираме частната производна на f по отношение на х и частната производна на f по отношение на у. . Това са двата компонента на тази векторна функция, която представлява градиента. В конкретния пример, когато намерим частната производна на f по отношение на х, получаваме – да погледнем тук. 3 е константа, значи нищо не се случва. Косинус от х върху 2 – производната по отношение на х е... изнасяме 1/2 извън синуса, значи 1/2, а производната на косинус е минус синус. Получаваме минус синус от (х /2). Производната на синус от (у/2) – тук у е константа. Следователно синус от (у/2) е някаква друга константа. В нашата производна ние просто запазваме тази константа, това синус от (у/2). После за втория компонент – частната производна на f по отношение на у – 3 пак е константа, защото то си е константа :) Косинус от х/2 изглежда е константа, защото диференцираме по отношение на у, а тогава х е константа. Значи цялото косинус от х е константа. Производната на синус е косинус, като пак изнасяме това 1/2. Изнасяме 1/2, когато намираме производната на вътрешната функция, а после производната на външната функция е косинус от това, което имаме тук. В този случай това е у/2. Умножаваме това по тази първоначална константа, косинус от (х/2). Така че пак имаме косинус от (х/2), тъй като то беше константа по някаква променлива, х/2. Това е градиентът. Следващата стъпка е да намерим дивергенцията на този градиент. При дивергенцията си представяме, че взимаме този оператор набла (Del) и намираме скаларното му произведение с това нещо. Ще се преместя малко надолу, за да имам повече място. Значи взимаме този вектор, който е един вид същия вектор, частно, частно х. Казвам вектор, но по-скоро само прилича на вектор. После частно, частно у. Сега ще намерим скаларното произведение с всичко това. Ще копирам и ще го поставя ето тук. Да видим. Трябва ми малко повече място. Когато си представиш, че намираме скаларното произведение, ние все едно "умножаваме" тези компоненти. Получаваме частната производна по отношение на х от ето това. (огражда израза) Когато правим това, се запазва това 1/2, а после имаме производната от минус синус от (х/2). Значи това 1/2 излиза отвън, когато намираме производната на вътрешната функция. Производната на минус синус е минус косинус. Имаме минус косинус от всичко, което е вътре, от това (х/2). И, разбира се, пак умножаваме по това. Това изглежда като константа, това синус от (у/2). Умножаваме по това, по синус от (у/2). После ги събираме, защото това е като скаларно произведение. За да прибавим това към това, което се получава, когато умножим тези следващите два компента. Значи събираме. Имаме това 1/2. После имаме косинус от (у/2), когато диференцираме това също изнасяме 1/2. Значи пак имаме това 1/2 отпред. Производната на косинус е минус синус. Сега изнасяме минус синус, а после това, което е вътре, (у/2). Продължаваме да умножаваме по константа. Когато диференцираме по отношение на у, косинус от (х/2) е константа. Умножаваме по него, по косинус от (х/2). И после това, така че това е дивергенцията на това градиентно поле. Дивергенцията на градиента на нашата оригинална функция ни дава лапласиан от функцията. Всъщност можем да опростим това още малко, понеже и двата члена изглеждат идентични. Но целта на това видео е да разгледаме целия процес, когато си представяме, че намираме градиента на функцията, а после дивергенцията на получения градиент. Ето това е лапласиан. До скоро.