If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 3: Частни производни и градиент (статии)
Математика
Анализ на функции на много променливи
Производни на функции на много променливи
Частни производни и градиент (статии)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Производни по направление (въведение)

Класна стая на Google
В този урок ще разберем как се променя стойността на дадена функция на много променливи, ако даден аргумент се промени в определена посока.

Преговор

Основни идеи

  • За дадена функция f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis и вектор start bold text, v, end bold text, with, vector, on top в дефиниционната област на функцията, производната на f по направление start bold text, v, end bold text, with, vector, on top описва скоростта на промяна на стойността на f, когато аргументите се движат в посока start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
Изместване на променливите в посока start bold text, v, end bold text, with, vector, on top
  • Производната по направление означаваме с del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f и е равна на скаларното произведение на градиента на f с вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, тоест del, f, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top
  • Когато използваме производната по дадено направление за да пресметнем наклона на функцията, трябва първо да нормализираме вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.

Обобщение на частната производна

Нека разгледаме функцията
f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y
Знаем, че частните производни спрямо x или спрямо y описват скоростта на изменение на стойността на f, когато аргументите се променят в посока x или y съответно.
Сега обаче искаме да разберем какво се случва, когато изместим параметрите в посока, която не е паралелна на осите x и y.
Например на следната фигура виждаме графиката на f и вектор start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, изобразяващ малко изместване в параметрите на функцията в равнината x, y. Как можем да пресметнем височината, на която се намира графиката в точката на върха на вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, спрямо височината ѝ в началото на този вектор?
Изместване на променливите в посока start bold text, v, end bold text, with, vector, on top
Следва да дефинираме производна по дадено направление, която ще отговори точно на този въпрос.
Точно както частната производна е "спрямо x" или "спрямо y", казваме, че тази производна е по направление даден вектор start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
С други думи, можем да си представим точка в дефиниционната област на функцията, която се движи със скорост start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Производната на f по направление start bold text, v, end bold text, with, vector, on top е съответната скорост на промяна на стойността на функцията. Например, ако умножим вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top по две, то производната по това направление също ще се увеличи два пъти, тъй като стойността на функцията се променя два пъти по-бързо ако движим точката два пъти по-бързо през дефиниционната област.

Означения

Можем да запишем производна по направление по няколко начина:
  • del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f
  • start fraction, \partial, f, divided by, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end fraction
  • f, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, prime
  • D, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, f, end subscript
  • \partial, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f
Всички тези означения описват едно и също нещо: скоростта на изменение на функцията f при малка промяна на аргументите в посока start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Ние ще използваме означението del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, тъй като то ни подсказва, че пресмятаме производната по направление на градиента.

Пример 1: start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top

Преди да разгледаме общия случай за del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, нека обърнем внимание на частната производна като частен случай на производна по направление.
Например частната производна start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction означава скоростта на промяна на f, когато аргументите на функцията се изместят в посока y – с други думи в посока, успоредна на вектора start bold text, j, end bold text, with, hat, on top. Следователно еквивалентно можем да запишем частната производна по y като start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, equals, del, start subscript, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, end subscript, f.
За момента само упражняваме различните записи на производните, но по-важно е да разберем какво означават те.
Въпрос за размисъл: Нека start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top. На колко е равна производната del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f?

Как пресмятаме производна по направление

Нека f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis е функция на три променливи—x, y и z. Искаме да пресметнем производната на функцията по направление
v⃗=[23−1] \vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{2} \\ \redE{3} \\ \greenE{-1} \end{array} \right]
Отговорът е
del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start color #bc2612, 3, end color #bc2612, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, plus, start color #0d923f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, end color #0d923f, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, z, end fraction
Виждаме, че малкото изместване в посока start bold text, v, end bold text, with, vector, on top може да се раздели на start color #0c7f99, д, в, е, end color #0c7f99 стъпки в посока x, start color #bc2612, т, р, и, end color #bc2612 стъпки в посока y и една стъпка назад или start color #0d923f, minus, 1, end color #0d923f в посока z. Ще обърнем повече внимание на това в следващия урок.
В общия случай записваме вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top като
v⃗=[v1v2v3] \vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\ \redE{v_2} \\ \greenE{v_3} \end{array} \right]
Производната по направление изглежда по следния начин:
del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, plus, start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, z, end fraction
Тоест, малко преместване в посока start bold text, v, end bold text, with, vector, on top се състои от start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 стъпки в посока x, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 стъпки в посока y и start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f стъпки в посока z.
Същата формула можем да запишем като скаларно произведение по следния начин:
=∇v⃗f(x;y;z)=v1∂f∂x(x;y;z)+v2∂f∂y(x;y;z)+v3∂f∂z(x;y;z)=[∂f∂x(x;y;z)∂f∂y(x;y;z)∂f∂z(x;y;z)]⋅[v1v2v3]=∇f(x;y;z)⋅v⃗\begin{aligned} &\phantom{=}\nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(x; y; z) \\\\ &= \blueE{v_1} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x; y; z) + \redE{v_2} \dfrac{\partial f}{\partial y}(x; y; z) + \greenE{v_3} \dfrac{\partial f}{\partial z}(x; y; z) \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x; y; z) \\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x; y; z) \\\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}(x; y; z) \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\\\ \redE{v_2} \\\\ \greenE{v_3} \end{array} \right] \\\\ &= \nabla f(x; y; z) \cdot \vec{\textbf{v}} \end{aligned}
Ето защо означението del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript интуитивно ни подсказва как да пресметнем производната:
∇v⃗f=∇f⋅v⃗\begin{aligned} \nabla_{\maroonD{\vec{\textbf{v}}}} f = \nabla f \cdot \maroonD{\vec{\textbf{v}}} \end{aligned}
Тук е моментът да обърнем специално внимание че градиентът съдържа информация за скоростта на изменение на функцията във всяка възможна посока! Това включва ляво, дясно, надолу, северозапад, 34,8degrees по часовниковата стрелка от оста x и т.н.

Пример 2:

Задача: Нека разгледаме следната функция:
f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y,
На колко е равна производната на f в точката left parenthesis, 2, ;, minus, 3, right parenthesis по направление v⃗=0,6i^+0,8j^\begin{aligned} \vec{\textbf{v}} = \blueE{0{,}6} \hat{\textbf{i}} + \redE{0{,}8} \hat{\textbf{j}} \end{aligned}?
Решение: Производната е също така и претеглена сума на частните производни, тоест:
∇v⃗f=0,6∂f∂x+0,8∂f∂y\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}}f = \blueE{0{,}6} \dfrac{\partial f}{\partial x} + \redE{0{,}8} \dfrac{\partial f}{\partial y} \end{aligned}
или, както вече обърнахме внимание, скаларно произведение с градиента:
∇v⃗f=∇f⋅v⃗\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}}f = \nabla f \cdot \vec{\textbf{v}} \end{aligned}
Нека пресмтнем скаларното произведение. Първо намираме градиента:
∇f=[∂f∂x∂f∂y]=[∂∂x(x2−xy)∂∂y(x2−xy)]=[2x−y−x] \nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\ \\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial }{\blueE{\partial x}} (\blueE{x}^2 - \blueE{x}y) \\ \\ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} (x^2 - x\redE{y}) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2\blueE{x} - y \\ -x \end{array} \right]
След това заместваме left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 2, ;, minus, 3, right parenthesis.
∇f(2;−3)=[2(2)−(−3)−(2)]=[7−2]\begin{aligned} \nabla f(2; -3) = \left[\begin{array}{c} 2(2) - (-3) \\\\ -(2) \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 7 \\\\ -2 \end{array} \right] \end{aligned}
За да намерим производната по направление на дадения вектор, пресмятаме скаларното произведение на намерения градиент с start bold text, v, end bold text:
∇v⃗f(2;−3)=∇f(2;−3)⋅(0,6i^+0,8j^)=[7−2]⋅[0,60,8]=7(0,6)+(−2)(0,8)=2,6\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(2;-3) &= \nabla f(2;-3) \cdot \left( \blueE{0{,}6} \hat{\textbf{i}} + \redE{0{,}8} \hat{\textbf{j}} \right) \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} 7 \\\\ -2 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} \blueE{0{,}6} \\\\ \redE{0{,}8} \end{array} \right] \\\\ &= 7(\blueE{0{,}6}) + (-2)(\redE{0{,}8}) \\\\ &= 2{,}6 \end{aligned}

Намиране на наклон

Какъв е наклонът на сечението на графика с равнина, която не е успоредна на никоя от осите x и y?
Сечение на графиката с равнина, която не е перпендикулярна на нито една от осите
За да намерим този наклон, можем да използваме производна по направление, но трябва да обърнем внимание на следното:
Трябва да изберем вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top така, че да е с единична дължина, или трябва да разделим крайния резултат на vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar.
Ако умножим вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top по две, то стойността на производната също ще се удвои. Тоест del, f, dot, left parenthesis, 2, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, del, f, dot, v, right parenthesis.
Когато пресмятаме наклона на графиката в дадена посока start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, искаме той да зависи само от посоката на start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, но не и от дължината vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar. Да видим защо.
Как получаваме наклона на графиката? Първо намираме сечението на графиката на f с вертикална равнина, която пресича равнината x, y в посока start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Търсеният наклон е наклонът на допирателната към получената крива и е равен на промяната в стойността на функцията при малка промяна в параметрите.
Пресмятане на наклон с помощта на производна по направление
Разглеждаме малка стъпка в посока start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, тоест добавяме вектора h, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top към дадена отправна точка start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, където h е някакво малко число. Дължината на тази стъпка е h, vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar.
Промяната в стойността на f при такава стъпка е приблизително:
h, del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
Всъщност промяната във височината на допирателната при преместване h, vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar — а не на графиката—е точно h, del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Ще развием този аргумент по-детайлно в следващия урок.
Следователно наклонът на графиката е
h∇v⃗f(x0;y0)h∣∣v∣∣=∇v⃗f(x0;y0)∣∣v∣∣\begin{aligned} \dfrac{h\nabla_{\vec{\textbf{v}}}f(x_0; y_0)}{h||v||} = \boxed{\dfrac{\nabla_{\vec{\textbf{v}}}f(x_0; y_0)}{||v||}} \end{aligned}
Ако векторът start bold text, v, end bold text, with, vector, on top е единичен, тоест vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, equals, 1, то производната е равна на наклона на графиката в дадената посока. Ако векторът не е единичен, то трябва накрая да разделим на дължината на вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
Някои автори включват нормализацията на вектора в дефиницията на del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f.
Алтернативна дефиниция на производната по направление:
∇v⃗f(x)=lim⁡h→0f(x+hv⃗)−f(x)h∣∣v⃗∣∣\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(\textbf{x}) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(\textbf{x} + h\vec{\textbf{v}}) - f(\textbf{x})}{h\blueE{||\vec{\textbf{v}}||}} \end{aligned}
Тази дефиниция отразява правилото за нормализиране при намиране на наклона на графиката, но в общия случай не е толкова полезна. Затова тук ще използваме първата дефиниция, и ще нормализираме вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top само при нужда.

Пример 3: Наклон

Задача: В тази задача имаме трима "играчи".
Играч 1, функцията:
f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, y, right parenthesis
Играч 2, точката:
left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, ;, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, right parenthesis
Играч 3, векторът:
start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, 2, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 3, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top
На колко е равен наклонът на графиката на f в точката left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis в посока start bold text, v, end bold text, with, vector, on top?
Отговор: Тъй като търсим наклон, първо нормализираме дадения вектор. Дължината vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar е равна на square root of, 2, squared, plus, 3, squared, end square root, equals, square root of, 13, end square root, така че делим всяка координата на square root of, 13, end square root, за да получим единичния вектор start bold text, u, end bold text, with, hat, on top в посока start bold text, v, end bold text, with, vector, on top:
След това намираме градиента на f:
Заместваме точката left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, ;, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, right parenthesis в израза на градиента.
Накрая намираме скаларното произведение на start bold text, u, end bold text, with, hat, on top и del, f, left parenthesis, pi, slash, 3, ;, 1, slash, 2, right parenthesis:

Обобщение

  • За дадена функция f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis и вектор start bold text, v, end bold text, with, vector, on top в дефиниционната област на функцията, производната на f по направление start bold text, v, end bold text, with, vector, on top описва скоростта на промяна на стойността на f, когато аргументите се движат в посока start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
  • Производната по направление означаваме с del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f и е равна на скаларното произведение на градиента на f с вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, тоест del, f, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
  • Когато използваме производната по дадено направление за да пресметнем наклона на функцията, трябва първо да нормализираме вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.