If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Производни по направление (за напреднали)

По-задълбочен поглед върху формулата за производна по направление и отговор на въпроса защо градиентът е равен на най-стръмния наклон в дадена точка.

Преговор:

Този урок е за тези от вас, които искат да научат повече за производната по направление.

Дефиниция на производна по направление

Точната дефиниция на производна по направление, освен по-задълбочени знания по темата, ни дава възможност да разпознаем кога тази производна съществува, кога може да даде лъжлива информация и т.н.
Формалната дефиниция на обикновена частна производна, например по x, изглежда така:
fx(x0;y0)=limh0f(x0+h;y0)f(x0;y0)h
Връзката между означението fx и формалния израз отдясно е следната:
СимволЗначениеФормална дефиниция
xМалка стъпка в посока x.Променлива h, клоняща към 0, която ще прибавим към първия аргумент на функцията.
fПромяната в стойността на f при дадената стъпка.Разликата между f(x0+h;y0) и f(x0;y0), когато h0.
Можем да запишем горните изрази с помощта на вектори, където например точката (x0;y0) приемаме като един двумерен вектор
x0=[x0y0]
x0 (удебелено) означава векторна величина. Избягваме означението x за всички аргументи на функцията, тъй като вече сме използвали буквата x за първата координата.
Вместо да запишем "изместените" аргументи като (x0+h;y0), вече можем да ги запишем като x0+hi^, където i^ е единичният вектор в посока x:
fx(x0)=limh0f(x0+hi^)f(x0)h
Това записване ни подсказва как можем да обобщим дефиницията на частна производна по x до производна по дадено направление v:
vf(x0)=limh0f(x0+hv)f(x0)h
Тук добавяме hv към разглежданата отправна точка и отново променливата h0 формализира представата ни за малка стъпка в посока v.

Връзка между теорията и практиката

На практика пресмятаме производната по направление като скаларното произведение на градиента f с вектора v. Например при функции на две променливи получаваме:
vf(x;y)=fv=[fxfy][v1v2]=v1fx(x;y)+v2fy(x;y)
където v1 и v2 са двете компоненти на вектора v.
v=[v1v2]
Какво общо има тази формула с формалната дефиниция на производна по направление?

Разбиване на направлението на две компоненти

При пресмятане на vf като скаларно произведение ние разглеждаме изместването в посока v като две измествания - едно в посока x и едно в посока y.
По-точно, извършваме следните няколко стъпки:
  1. Започваме с отправната точка (x0;y0).
  2. Избираме малка стойност на параметъра h.
  3. Добавяме hv1 към x0, тоест разглеждаме точката (x0+hv1;y0). От дефиницията на частна производна имаме съответната промяна в стойността на функцията:
hv1(fx(x0;y0))
  • Сега добавяме hv2 към y0, за да се преместим над/под точката (x0+hv1;y0+hv2). Получената промуна на f сега е
hv2(fy(x0+hv1;y0))
Събираме двата резултата от стъпки 3 и 4, за да получим общата промяна в стойността на функцията при изместване на аргументите от (x0;y0) към (x0+hv1;y0+hv2):
hv1(fx(x0;y0))+hv2(fy(x0+hv1;y0))
Това вече прилича на познатия ни израз за промяната в стойността f при изместване на аргументите от hv:
=hvf(x0;y0)=hvf(x0;y0)=hv1fx(x0;y0)+hv2fy(x0;y0)
Разликата между двата израза е в частната производна по y, която в единия случай пресмятаме в точката (x0+hv1,y0), а в другия случай - в отправната точка (x0;y0).
Тъй като разглеждаме много малки стойности на h, тоест границата при h0, стойността на израза fy в точката (x0+hv1;y0) е почти равна на стойността в точката (x0;y0). Освен това, когато h клони към 0, разликата между тези две стойности на частната производна също клони към нула, при условие че функцията f е непрекъсната.

Защо градиентът показва посоката на най-стръмно изкачване?

Тъй като вече знаем достатъчно за производни по направление, можем да разберем защо градиентът сочи към посоката на най-стръмно изкачване.
По-точно, търсим отговора на следния въпрос.
Дефиниции:
  • Нека f е скаларна функция на много променливи, например f(x;y)=x2+y2.
  • Нека (x0;y0) е дадена отправна точка
  • Разглеждаме всички възможни посоки от тази отправна точка, тоест всички единични вектори u^ с размерност равна на размерността на дефиниционната област на f (в случая 2).
Въпрос (неформален): При дадена отправна точка (x0;y0), в коя посока стойността на f се увеличава най-бързо?
Въпрос (формален): При кой единичен вектор u^ стойността на производната по направление u^ достига максимума си?
u^f(x0;y0)=u^f(x0;y0)търсим максимум на този израз
От неравенството на триъгълника имаме, че този максимум се достига, когато единичният вектор е успореден на f(x0;y0).
Получихме, че градиентът сочи в посоката на най-стръмно изкачване, но това не е факт за себе си, а по-скоро следствие от факта, че производната по направление е равна на скаларното произведение на направлението с вектора f.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.