Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 3: Частни производни и градиент (статии)

Производни по направление (за напреднали)

По-задълбочен поглед върху формулата за производна по направление и отговор на въпроса защо градиентът е равен на най-стръмния наклон в дадена точка.

Преговор:

Този урок е за тези от вас, които искат да научат повече за производната по направление.

Дефиниция на производна по направление

Точната дефиниция на производна по направление, освен по-задълбочени знания по темата, ни дава възможност да разпознаем кога тази производна съществува, кога може да даде лъжлива информация и т.н.

Формалната дефиниция на обикновена частна производна, например по x, изглежда така:

start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, start color #0c7f99, plus, h, end color #0c7f99, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, divided by, start color #0c7f99, h, end color #0c7f99, end fraction

Връзката между означението start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction и формалния израз отдясно е следната:

Символ	Значение	Формална дефиниция
\partial, x	Малка стъпка в посока x.	Променлива h, клоняща към 0, която ще прибавим към първия аргумент на функцията.
\partial, f	Промяната в стойността на f при дадената стъпка.	Разликата между f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis и f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, когато h, \to, 0.

Можем да запишем горните изрази с помощта на вектори, където например точката left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis приемаме като един двумерен вектор

\begin{aligned} \textbf{x}_0 = \left[ \begin{array}{c} x_0 \\\\ y_0 \\\\ \end{array} \right] \end{aligned}

start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript (удебелено) означава векторна величина. Избягваме означението start bold text, x, end bold text за всички аргументи на функцията, тъй като вече сме използвали буквата x за първата координата.

Вместо да запишем "изместените" аргументи като left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, вече можем да ги запишем като start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, където start bold text, i, end bold text, with, hat, on top е единичният вектор в посока x:

\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial x}(\textbf{x}_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(\textbf{x}_0 + h \hat{\textbf{i}}) - f(\textbf{x}_0)}{h} \end{aligned}

Това записване ни подсказва как можем да обобщим дефиницията на частна производна по x до производна по дадено направление start bold text, v, end bold text, with, vector, on top:

start color #0c7f99, del, start subscript, start color #e84d39, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end color #e84d39, end subscript, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #e84d39, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end color #e84d39, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, divided by, h, end fraction, end color #0c7f99

Тук добавяме h, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top към разглежданата отправна точка и отново променливата h, \to, 0 формализира представата ни за малка стъпка в посока start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.

Връзка между теорията и практиката

На практика пресмятаме производната по направление като скаларното произведение на градиента del, f с вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Например при функции на две променливи получаваме:

\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(x; y) &= \nabla f \cdot \vec{\textbf{v}} \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\partial x} \\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y} \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\\\ \greenE{v_2} \end{array} \right] \\\\ &= \blueE{v_1} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x; y) + \greenE{v_2} \dfrac{\partial f}{\partial y}(x; y) \end{aligned}

където start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 и start color #0d923f, v, start subscript, 2, end subscript, end color #0d923f са двете компоненти на вектора start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.

\begin{aligned} \vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\ \\ \greenE{v_2} \\\\ \end{array} \right] \end{aligned}

Какво общо има тази формула с формалната дефиниция на производна по направление?

Разбиване на направлението на две компоненти

При пресмятане на del, start subscript, start bold text, v, end bold text, end subscript, f като скаларно произведение ние разглеждаме изместването в посока start bold text, v, end bold text като две измествания - едно в посока x и едно в посока y.

По-точно, извършваме следните няколко стъпки:

Започваме с отправната точка left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Избираме малка стойност на параметъра h.
Добавяме h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 към x, start subscript, 0, end subscript, тоест разглеждаме точката left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. От дефиницията на частна производна имаме съответната промяна в стойността на функцията:

\begin{aligned} h\blueE{v_1} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0; y_0) \right) \end{aligned}

Сега добавяме h, start color #0d923f, v, start subscript, 2, end subscript, end color #0d923f към y, start subscript, 0, end subscript, за да се преместим над/под точката left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, ;, y, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0d923f, v, start subscript, 2, end subscript, end color #0d923f, right parenthesis. Получената промуна на f сега е

\begin{aligned} h\greenE{v_2}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0 + h\blueE{v_1}; y_0) \right) \end{aligned}

Събираме двата резултата от стъпки 3 и 4, за да получим общата промяна в стойността на функцията при изместване на аргументите от left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis към left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, ;, y, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0d923f, v, start subscript, 2, end subscript, end color #0d923f, right parenthesis:

\begin{aligned} h\blueE{v_1} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0; y_0) \right) + h\greenE{v_2}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0 \redD{+ h\blueE{v_1}}; y_0) \right) \end{aligned}

Това вече прилича на познатия ни израз за промяната в стойността f при изместване на аргументите от h, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top:

\begin{aligned} &\phantom{=}h \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(x_0; y_0) \\\\ &= h \vec{\textbf{v}} \cdot \nabla f(x_0; y_0)\\\\ &= h\blueE{v_1}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0; y_0) + h\greenE{v_2}\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0; y_0) \end{aligned}

Разликата между двата израза е в частната производна по y, която в единия случай пресмятаме в точката left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, а в другия случай - в отправната точка left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.

Тъй като разглеждаме много малки стойности на h, тоест границата при h, \to, 0, стойността на израза start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction в точката left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis е почти равна на стойността в точката left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Освен това, когато h клони към 0, разликата между тези две стойности на частната производна също клони към нула, при условие че функцията f е непрекъсната.

Защо градиентът показва посоката на най-стръмно изкачване?

Тъй като вече знаем достатъчно за производни по направление, можем да разберем защо градиентът сочи към посоката на най-стръмно изкачване.

По-точно, търсим отговора на следния въпрос.

Дефиниции:

Нека f е скаларна функция на много променливи, например f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared.
Нека left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis е дадена отправна точка
Разглеждаме всички възможни посоки от тази отправна точка, тоест всички единични вектори start bold text, u, end bold text, with, hat, on top с размерност равна на размерността на дефиниционната област на f (в случая 2).

Въпрос (неформален): При дадена отправна точка left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, в коя посока стойността на f се увеличава най-бързо?

Въпрос (формален): При кой единичен вектор start bold text, u, end bold text, with, hat, on top стойността на производната по направление start bold text, u, end bold text, with, hat, on top достига максимума си?

\begin{aligned} \nabla_{\hat{\textbf{u}}} f(x_0; y_0) = \underbrace{\hat{\textbf{u}} \cdot \nabla f(x_0; y_0)}_{ \text{търсим максимум на този израз} } \end{aligned}

От неравенството на триъгълника имаме, че този максимум се достига, когато единичният вектор е успореден на del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.

Получихме, че градиентът сочи в посоката на най-стръмно изкачване, но това не е факт за себе си, а по-скоро следствие от факта, че производната по направление е равна на скаларното произведение на направлението с вектора del, f.

[Задача в помощ на развитата интуиция]

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.