Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 3: Частни производни и градиент (статии)

Частни производни (въведение)

Класна стая на Google

Какво представлява частната производна, как се изчислява и какво означава?

Преговор

Основни идеи

За функция на много променливи, например f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, частните производни се пресмятат по следния начин:

\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\blueE{\partial x}} \blueE{x^2}y }_{\substack{ \text{Разглеждаме }y\text{ като константа;}\\\\ \text{диференцираме по х.} }}\!\!\!\!\! = 2\blueE{x}y \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} x^2\redE{y} }_{\substack{ \text{Разглеждаме }x\text{ като константа;}\\\\ \text{диференцираме по у.} }}\!\!\!\!\! = x^2\cdot \redE{1} \end{aligned}

Използваме символа \partial (наричан "дел"), за да разграничим понятията обикновена и частна производна. С други думи – да ги диференцираме :)
Въвеждаме този нов вид производна, тъй като когато разглеждаме функция на много променливи, искаме да знаем как стойностите на функцията се променят спрямо всяка една от променливите, когато останалите аргументи са константи.
В контекста на тримерните графики на функции, частната производна start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction е наклонът на сечението на графиката с равнина с константна стойност на y.

Какво е частна производна?

Допускаме, че вече знаем всичко за обикновената производна start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction на функцията f с една променлива. Този запис на производната според мен е най-интуитивен от всички, защото:

Разглеждаме d, x като "малка промяна в стойността на x".
Разглеждаме d, f като "малка промяна на стойността на f", имайки предвид резултата от изместването d, x.

Всъщност, ако познаваш достатъчно добре тази интерпретация на записа start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction, то всяка друга разновидност на производната ще ти звучи логично.

Например на графиката на f "отношението" start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction е наклонът на графиката на f като функция на точката, в която го измерваме.

Как изглежда това обяснение за функции на много променливи?

Нека разгледаме следната скаларна функция на две променливи:

f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x, y

Нищо не ни спира да напишем същия израз start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction и да следваме същите дефиниции:

d, x е малка промяна в стойността на x, която този път е само единият от двата аргумента.
d, f е съответната промяна в стойността на функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis.

До тук обаче пренебрегвахме факта, че функцията има още една променлива, y. Тъй като дефиниционното множество на функцията е многомерно, можем да променяме аргументите в най-различни посоки, а не само по оста x. Какво става, ако променим аргумента y с d, y? Сега d, f е промяната в стойността на функцията като резултат от изместването d, y и производната е start fraction, d, f, divided by, d, y, end fraction.

Нито една от двете производни не описва напълно поведението на функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis спрямо малки премествания на аргументите ѝ, откъдето идва името частна производна. За да подчертаем разликата, отсега нататък ще използваме символа \partial вместо d. Например двете частни производни на гореспоменатата функция са start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction и start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction.

Символа start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction четем като "частната производна на f спрямо x".

\begin{array}{c} \text{Може да се разглежда като } \\ \text{"малка промяна на} \\ \text{изходната стойност на функцията"} \\\\ \begin{array}{c} \begin{array}{c} \blueE{\text{Използва се вместо "d" в}} \\ \blueE{\text{означението }\dfrac{df}{dx}\text{ за производна,}} \\ \blueE{\text{за да се подчертае разликата, че}} \\ \blueE{\text{че това е частна производна.}} \end{array} & \begin{array}{c} \LARGE\blueE\nearrow^{\huge\,\overbrace{\blueE\partial \greenE f}\,}\greenE \nwarrow \\\\ \Huge \text{\textemdash} \\\\ \LARGE\blueE\searrow_{\huge\,\underbrace{\blueE\partial \maroonE x}\,}\maroonE \swarrow \end{array} & \begin{array}{c} \\\\ \greenE{\text{Функция}} \\ \greenE{\text{на много променливи}} \\\\ \maroonE{\text{Показва коя}} \\ \maroonE{\text{входна променлива}} \\ \maroonE{\text{се променя с малко.}} \end{array} \end{array} \\\\ \text{Може да се разбира като} \\ \text{"малка промяна на }x\text{"} \end{array}

Пример: Пресмятане на частна производна

Нека разгледаме следната функция:

f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, start color #bc2612, y, end color #bc2612, cubed

Нека пресметнем start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, частната производна по x, в точката left parenthesis, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis.

"Чакай! Но аз не знам как!"

Не се притеснявай, процесът е почти същия като при обикновената производна.

Търсим скоростта, с която стойността на f се променя при малко изместване на аргумента x, да речем от left parenthesis, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis до left parenthesis, start color #0c7f99, 3, comma, 01, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis.

Тъй като изместването е в посока start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, за нас start color #bc2612, y, end color #bc2612-координатата е константа. Всъщност можем веднага да заместим start color #bc2612, y, equals, 2, end color #bc2612, даже преди да пресметнем производната.

f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, left parenthesis, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis, cubed, equals, 8, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared

Сега търсим просто обикновената производна на функцията f по вече единствената променлива start color #0c7f99, x, end color #0c7f99.

Концепция за проверка

Каква е стойността на производната на функцията f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis, equals, 8, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, изчислена за start color #0c7f99, x, equals, 3, end color #0c7f99?

Без предварително заместване на y

Сега ще намерим start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction в неопределена точка. С други думи, търсим функция, чиито аргументи са всички допустими стойности на left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis и чиито стойности съответстват на скоростта на изменение на f при малка промяна на аргумента start color #0c7f99, x, end color #0c7f99.

Започваме по същия начин, разглеждайки start color #bc2612, y, end color #bc2612 като константа. Този път обаче не можем да заместим конкретна стойност start color #bc2612, y, equals, 2, end color #bc2612 както преди. Вместо това, нека си представим, че start color #bc2612, y, end color #bc2612 е константа, и директно пресметнем производната:

start fraction, d, divided by, start color #0c7f99, d, x, end color #0c7f99, end fraction, f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, ;, y, right parenthesis, equals, start underbrace, start fraction, d, divided by, start color #0c7f99, d, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, y, cubed, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, Р, а, з, г, л, е, ж, д, а, м, е, space, end text, y, start text, space, к, а, т, о, space, к, о, н, с, т, а, н, т, а, end text, end subscript, equals, 2, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, y, cubed

Дотук добре, само че тъй като това е частна производна, използваме \partial вместо d:

start fraction, \partial, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, ;, y, right parenthesis, equals, start fraction, \partial, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, y, cubed, right parenthesis, equals, 2, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, y, cubed

Сега можеш да заместиш left parenthesis, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis и да сравниш с отговора, получен по-горе.

"Е, каква е разликата между start fraction, d, divided by, d, x, end fraction и start fraction, \partial, divided by, \partial, x, end fraction? И в двата случая правим едно и също."

Честно, в самото пресмятане няма никаква разлика. Но символът d е дефиниран само за функции на една променлива. За щастие, щом стане въпрос за интуитивното значение на производната, единствената разлика е в типа на функцията, която диференцираме.

Графично представяне на частната производна

Нека разгледаме следната функция:

f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, x, squared, minus, 2, x, y, right parenthesis, plus, 3,

Ето как изглежда тримерната графика на тази функция.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Да кажем, че се интересуваме от частната производна на f по start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 в точката left parenthesis, 2, ;, 0, right parenthesis.

start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, 2, ;, 0, right parenthesis

Какво ни казва тази производна за графиката на f в точката left parenthesis, 2, ;, 0, right parenthesis?

Разглеждаме y като константа right arrow правим сечение на графиката с равнина

При пресмятане на производната разглеждаме аргумента y като константа. Съответно за точката left parenthesis, 2, ;, 0, right parenthesis имаме y, equals, 0. В тримерното пространство множеството, определено от това уравнение, е равнина перпендикулярна на оста y, минаваща през началото на координатната система.

Равнината y, equals, 0, изобразена в бяло, отсича парабола от графиката на f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis (параболата е показана в червено). Производната start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction е равна на наклона на допирателната към параболата. Защо? Тъй като \partial, x отново е малка промяна на x, а \partial, f е съответната промяна в крайната стойност на функцията в посока z.

Подобно е значението и на другата производна start fraction, \partial, f, divided by, start color #bc2612, \partial, y, end color #bc2612, end fraction в точката left parenthesis, 2, ;, 0, right parenthesis. Множеството, за което start color #0c7f99, x, equals, 2, end color #0c7f99, също е равнина, но този път перпендикулярна на оста x и минаваща през точката x, equals, 2. Тази равнина отсича друга крива от графиката и start fraction, \partial, f, divided by, start color #bc2612, \partial, y, end color #bc2612, end fraction е наклонът на тази крива.

Въпрос за размисъл

Отдясно "кривата", образувана при пресичането на графиката на функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, x, squared, minus, 2, x, y, right parenthesis, plus, 3 с равнината, дефинирана от x, equals, 2, изглежда като права линия.

Наистина ли това е права?

[Обобщен анализ на тази производна]

Математически език

Ето някои от начините за произнасяне на израза start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction:

"Частната производна на f спрямо x"
"Частната производна на f по x"
"Де-f, де-x"
"Дел-f, дел-x"

Друг начин за записване

За обикновената производна start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction понякога използваме съкратения запис f, prime. За частни производни използваме следните означения:

\begin{aligned} f_\blueE{x} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\\\ f_\redE{y} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\\\ f_{\greenE{\langle\text{някаква променлива }\rangle}} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\greenE{\partial \langle\text{същата променлива} \rangle}} \end{aligned}

Бележка относно "дел" (del)

Въпреки че е прието символът \partial да се нарича "del", това може да е объркващо, защото "del" се използва и за символа "набла" del, с който ще се запознаем в следващата статия.

Формална дефиниция

Макар че е полезно да разглеждаме d, x и \partial, x като малки промени на стойността на x, дойде време да се сблъскаме и с точната математическа дефиниция. На коя граница е равна производната \partial, x?

В математическия анализ понятието "малко изместване" или "малка промяна на стойността" се разглежда като граничната стойност, когато това изместване клони към нула. Например обикновената производна е равна на следната граница:

\begin{aligned} \dfrac{{df}}{\blueE{dx}}(x_0) = \lim_{\blueE{h}\to 0} \dfrac{{f(x_0\blueE{+h}) - f(x_0)}}{\blueE{h}} \end{aligned}

h е съответното "малко изместване", което наричаме d, x.
h, \to, 0 означава, че търсим границата, когато h клони към 0.
f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis е промяната на стойността на функцията, която наричаме d, f.

Дефиницията на частната производна изглежда почти по познатия ни начин. Ако f, left parenthesis, x, ;, y, comma, dots, right parenthesis е функция на много променливи, то една от нейните частни производни изглежда така:

\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}}(x_0; y_0; \dots) &= \lim_{\blueE{h} \to 0} \dfrac{f(\blueE{x_0\blueE{+h}}; y_0; \dots) - f(x_0; y_0; \dots)} {\blueE{h}} \end{aligned}

Аналогично, частната производна по y изглежда така:

\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\redD{\partial y}}(x_0; y_0; \dots) &= \lim_{\redD{h} \to 0} \dfrac{f(x_0; \redD{y_0+h}; \dots) - f(x_0; y_0; \dots)}{\redD{h}} \end{aligned}

Идеята е, че h, малката промяна в стойността на аргумента, се добавя към съответната променлива, спрямо която пресмятаме производната.

Това е формалната дефиниция на частната производна.

Въпрос за размисъл: Какво означава тази дефиниция за графиката на функцията? Какво е h? Какво означава границата h, \to, 0?

Обобщение

За функция на много променливи, например f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, частните производни се пресмятат по следния начин:

\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\blueE{\partial x}} \blueE{x^2}y }_{\substack{ \text{Разглеждаме }y\text{ като константа;}\\\\ \text{диференцираме по х.} }}\!\!\!\!\! = 2\blueE{x}y \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} x^2\redE{y} }_{\substack{ \text{Разглеждаме }x\text{ като константа;}\\\\ \text{диференцираме по у.} }}\!\!\!\!\! = x^2\cdot \redE{1} \end{aligned}

Използваме този символ \partial, който прилича на извита буква 'd', и често го наричаме "дел" (del), за да различаваме частните производни от обикновените производни на функции с една променлива.
Въвеждаме този нов вид производна, тъй като когато разглеждаме функция на много променливи, искаме да знаем как стойностите на функцията се променят спрямо всяка една от променливите, когато останалите аргументи са константи.
В контекста на тримерните графики на функции частната производна start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction е наклонът на сечението на графиката с равнина с константна стойност на y.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.