If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Частни производни (въведение)

Какво представлява частната производна, как се изчислява и какво означава?

Основни идеи

  • За функция на много променливи, например f(x;y)=x2y, частните производни се пресмятат по следния начин:
fx=xx2yРазглеждаме y като константа;диференцираме по х.=2xyfy=yx2yРазглеждаме x като константа;диференцираме по у.=x21
  • Използваме символа (наричан "дел"), за да разграничим понятията обикновена и частна производна. С други думи – да ги диференцираме :)
  • Въвеждаме този нов вид производна, тъй като когато разглеждаме функция на много променливи, искаме да знаем как стойностите на функцията се променят спрямо всяка една от променливите, когато останалите аргументи са константи.
  • В контекста на тримерните графики на функции, частната производна fx е наклонът на сечението на графиката с равнина с константна стойност на y.

Какво е частна производна?

Допускаме, че вече знаем всичко за обикновената производна dfdx на функцията f с една променлива. Този запис на производната според мен е най-интуитивен от всички, защото:
  • Разглеждаме dx като "малка промяна в стойността на x".
  • Разглеждаме df като "малка промяна на стойността на f", имайки предвид резултата от изместването dx.
Всъщност, ако познаваш достатъчно добре тази интерпретация на записа dfdx, то всяка друга разновидност на производната ще ти звучи логично.
Например на графиката на f "отношението" dfdx е наклонът на графиката на f като функция на точката, в която го измерваме.

Как изглежда това обяснение за функции на много променливи?

Нека разгледаме следната скаларна функция на две променливи:
f(x;y)=x22xy
Нищо не ни спира да напишем същия израз dfdx и да следваме същите дефиниции:
  • dx е малка промяна в стойността на x, която този път е само единият от двата аргумента.
  • df е съответната промяна в стойността на функцията f(x;y).
До тук обаче пренебрегвахме факта, че функцията има още една променлива, y. Тъй като дефиниционното множество на функцията е многомерно, можем да променяме аргументите в най-различни посоки, а не само по оста x. Какво става, ако променим аргумента y с dy? Сега df е промяната в стойността на функцията като резултат от изместването dy и производната е dfdy.
Нито една от двете производни не описва напълно поведението на функцията f(x;y) спрямо малки премествания на аргументите ѝ, откъдето идва името частна производна. За да подчертаем разликата, отсега нататък ще използваме символа вместо d. Например двете частни производни на гореспоменатата функция са fx и fy.
Символа fx четем като "частната производна на f спрямо x".
Може да се разглежда като "малка промяна наизходната стойност на функцията"Използва се вместо "d" возначението dfdx за производна,за да се подчертае разликата, чече това е частна производна.fxФункцияна много променливиПоказва коявходна променливасе променя с малко.Може да се разбира като"малка промяна на x"

Пример: Пресмятане на частна производна

Нека разгледаме следната функция:
f(x;y)=x2y3
Нека пресметнем fx, частната производна по x, в точката (3;2).
"Чакай! Но аз не знам как!"
Не се притеснявай, процесът е почти същия като при обикновената производна.
Търсим скоростта, с която стойността на f се променя при малко изместване на аргумента x, да речем от (3;2) до (3,01;2).
Тъй като изместването е в посока x, за нас y-координатата е константа. Всъщност можем веднага да заместим y=2, даже преди да пресметнем производната.
f(x;2)=x2(2)3=8x2
Сега търсим просто обикновената производна на функцията f по вече единствената променлива x.
Концепция за проверка
Каква е стойността на производната на функцията f(x;2)=8x2, изчислена за x=3?

Без предварително заместване на y

Сега ще намерим fx в неопределена точка. С други думи, търсим функция, чиито аргументи са всички допустими стойности на (x;y) и чиито стойности съответстват на скоростта на изменение на f при малка промяна на аргумента x.
Започваме по същия начин, разглеждайки y като константа. Този път обаче не можем да заместим конкретна стойност y=2 както преди. Вместо това, нека си представим, че y е константа, и директно пресметнем производната:
ddxf(x;y)=ddx(x2y3)Разглеждаме y като константа=2xy3
Дотук добре, само че тъй като това е частна производна, използваме вместо d:
xf(x;y)=x(x2y3)=2xy3
Сега можеш да заместиш (3;2) и да сравниш с отговора, получен по-горе.
"Е, каква е разликата между ddx и x? И в двата случая правим едно и също."
Честно, в самото пресмятане няма никаква разлика. Но символът d е дефиниран само за функции на една променлива. За щастие, щом стане въпрос за интуитивното значение на производната, единствената разлика е в типа на функцията, която диференцираме.

Графично представяне на частната производна

Нека разгледаме следната функция:
f(x;y)=15(x22xy)+3,
Ето как изглежда тримерната графика на тази функция.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Да кажем, че се интересуваме от частната производна на f по x в точката (2;0).
fx(2;0)
Какво ни казва тази производна за графиката на f в точката (2;0)?

Разглеждаме y като константа правим сечение на графиката с равнина

При пресмятане на производната разглеждаме аргумента y като константа. Съответно за точката (2;0) имаме y=0. В тримерното пространство множеството, определено от това уравнение, е равнина перпендикулярна на оста y, минаваща през началото на координатната система.
Равнината y=0, изобразена в бяло, отсича парабола от графиката на f(x;y) (параболата е показана в червено). Производната fx е равна на наклона на допирателната към параболата. Защо? Тъй като x отново е малка промяна на x, а f е съответната промяна в крайната стойност на функцията в посока z.
Подобно е значението и на другата производна fy в точката (2;0). Множеството, за което x=2, също е равнина, но този път перпендикулярна на оста x и минаваща през точката x=2. Тази равнина отсича друга крива от графиката и fy е наклонът на тази крива.
Въпрос за размисъл
Отдясно "кривата", образувана при пресичането на графиката на функцията f(x;y)=15(x22xy)+3 с равнината, дефинирана от x=2, изглежда като права линия.
Наистина ли това е права?
Избери един отговор:

Математически език

Ето някои от начините за произнасяне на израза fx:
  • "Частната производна на f спрямо x"
  • "Частната производна на f по x"
  • "Де-f, де-x"
  • "Дел-f, дел-x"

Друг начин за записване

За обикновената производна dfdx понякога използваме съкратения запис f. За частни производни използваме следните означения:
fxfxfyfyfнякаква променлива fсъщата променлива

Бележка относно "дел" (del)

Въпреки че е прието символът да се нарича "del", това може да е объркващо, защото "del" се използва и за символа "набла" , с който ще се запознаем в следващата статия.

Формална дефиниция

Макар че е полезно да разглеждаме dx и x като малки промени на стойността на x, дойде време да се сблъскаме и с точната математическа дефиниция. На коя граница е равна производната x?
В математическия анализ понятието "малко изместване" или "малка промяна на стойността" се разглежда като граничната стойност, когато това изместване клони към нула. Например обикновената производна е равна на следната граница:
dfdx(x0)=limh0f(x0+h)f(x0)h
  • h е съответното "малко изместване", което наричаме dx.
  • h0 означава, че търсим границата, когато h клони към 0.
  • f(x0+h)f(x0) е промяната на стойността на функцията, която наричаме df.
Дефиницията на частната производна изглежда почти по познатия ни начин. Ако f(x;y,) е функция на много променливи, то една от нейните частни производни изглежда така:
fx(x0;y0;)=limh0f(x0+h;y0;)f(x0;y0;)h
Аналогично, частната производна по y изглежда така:
fy(x0;y0;)=limh0f(x0;y0+h;)f(x0;y0;)h
Идеята е, че h, малката промяна в стойността на аргумента, се добавя към съответната променлива, спрямо която пресмятаме производната.
Това е формалната дефиниция на частната производна.
Въпрос за размисъл: Какво означава тази дефиниция за графиката на функцията? Какво е h? Какво означава границата h0?

Обобщение

  • За функция на много променливи, например f(x;y)=x2y, частните производни се пресмятат по следния начин:
fx=xx2yРазглеждаме y като константа;диференцираме по х.=2xyfy=yx2yРазглеждаме x като константа;диференцираме по у.=x21
  • Използваме този символ , който прилича на извита буква 'd', и често го наричаме "дел" (del), за да различаваме частните производни от обикновените производни на функции с една променлива.
  • Въвеждаме този нов вид производна, тъй като когато разглеждаме функция на много променливи, искаме да знаем как стойностите на функцията се променят спрямо всяка една от променливите, когато останалите аргументи са константи.
  • В контекста на тримерните графики на функции частната производна fx е наклонът на сечението на графиката с равнина с константна стойност на y.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.