If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 3: Частни производни и градиент (статии)
Математика
Анализ на функции на много променливи
Производни на функции на много променливи
Частни производни и градиент (статии)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Втора частна производна

Класна стая на Google
Кратко въведение в понятието втора частна производна, симетрия на смесените частни производни и производни от по-висок ред.

Преговор:

Обобщение на втората производна

Нека разгледаме функция на две променливи, например
f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, cubed.
Частните производни на функцията – start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction и start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction – са функции на две променливи left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis:
∂f∂x=∂∂x(x2y3)=2xy3∂f∂y=∂∂y(x2y3)=3x2y2\begin{aligned} &\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} = \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^2 y^3) = 2\blueE{x} y^3 \\\\ &\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} = \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(x^2 \redE{y}^3) = 3x^2 \redE{y}^2 \end{aligned}
Следователно можем да говорим за частните производни на тези частни производни.
Наричаме ги втори частни производни и ги записваме подобно на start fraction, d, squared, f, divided by, d, x, squared, end fraction при обикновените производни:
∂∂x(∂f∂x)=∂2f∂x2∂∂x(∂f∂y)=∂2f∂x∂y∂∂y(∂f∂x)=∂2f∂y∂x∂∂y(∂f∂y)=∂2f∂y2\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueE{x}^2} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueE{x} \partial \redE{y}} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redE{y} \partial \blueE{x}} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redE{y}^2} \end{aligned}
Ако използваме означението f, start subscript, x, end subscript за частна производна (в случая по x), то можем да запишем горните изрази по следния начин:
(fx)x=fxx(fy)x=fyx(fx)y=fxy(fy)y=fyy\begin{aligned} (f_\blueE{x})_\blueE{x} &= f_{\blueE{x}\blueE{x}} \\\\ (f_\redE{y})_\blueE{x} &= f_{\redE{y}\blueE{x}} \\\\ (f_\blueE{x})_\redE{y} &= f_{\blueE{x}\redE{y}} \\\\ (f_\redE{y})_\redE{y} &= f_{\redE{y}\redE{y}} \end{aligned}
Производните, включващи повече от една променлива (в случая f, start subscript, start color #bc2612, y, end color #bc2612, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end subscript и f, start subscript, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end subscript), се наричат "смесени частни производни".

Пример 1: Пълното дърво

Задача: Да се намерят всички втори частни производни на функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, y, squared
Решение: Първо намираме двете частни производни:
∂∂x(sin⁡(x)y2)=cos⁡(x)y2∂∂y(sin⁡(x)y2)=2sin⁡(x)y\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} (\sin(\blueE{x})y^2) &= \cos(\blueE{x})y^2 \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} (\sin(x)\redE{y}^2) &= 2\sin(x)\redE{y} \end{aligned}
След това за всяка една от тях намираме двете частни производни:
∂∂x(∂∂x(sin⁡(x)y2))=∂∂x(cos⁡(x)y2)=−sin⁡(x)y2∂∂x(∂∂y(sin⁡(x)y2))=∂∂x(2sin⁡(x)y)=2cos⁡(x)y∂∂y(∂∂x(sin⁡(x)y2))=∂∂y(cos⁡(x)y2)=2cos⁡(x)y∂∂y(∂∂y(sin⁡(x)y2))=∂∂y(2sin⁡(x)y)=2sin⁡(x)\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}\left( \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\cos(\blueE{x})y^2) = -\sin(\blueE{x})y^2 \\\\ \dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(2\sin(\blueE{x})y) = 2\cos(\blueE{x})y \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(\cos(x)\redE{y}^2) = 2\cos(x)\redE{y} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(2\sin(x)\redE{y}) = 2\sin(x) \end{aligned}
sin⁡(x)y2∂∂x↙↘∂∂ycos⁡(x)y22sin⁡(x)y∂∂x↙↘∂∂y∂∂x↙↘∂∂ysin⁡(x)y22cos⁡(x)y2cos⁡(x)y⏟Смесените частни производни са еднакви!2sin⁡(x)\begin{array}{ccccccc} &\large\sin(x)y^2 \\\\ &\small\dfrac{\partial}{\partial x}\large\swarrow\quad\searrow\small\dfrac{\partial}{\partial y} \\\\ &\large\cos(x)y^2\qquad\qquad\qquad 2\sin(x)y \\\\ \small\dfrac{\partial}{\partial x}\large\swarrow&\large\searrow\small\dfrac{\partial}{\partial y}\qquad\qquad\qquad\dfrac{\partial}{\partial x}\large\swarrow&\large\searrow\small\dfrac{\partial}{\partial y} \\\\ \large\sin(x)y^2&\large\maroonD{\underbrace{\blueE{2\cos(x)y\qquad2\cos(x)y}}_{\text{Смесените частни производни са еднакви!}}}&\large2\sin(x) \end{array}

Симетрия на смесените частни производни

Обърни внимание, че в горния пример двете смесени частни производни start fraction, \partial, squared, f, divided by, \partial, x, \partial, y, end fraction и start fraction, \partial, squared, f, divided by, \partial, y, \partial, x, end fraction са равни. Това не е съвпадение; тези две производни са равни за почти всяка функция, която бихме срещнали на практика. Например, ако разгледаме общ член на полином на две променливи от вида x, start superscript, n, end superscript, y, start superscript, k, end superscript:
∂∂x(∂∂y(xnyk))=∂∂x(kxnyk−1)=nkxn−1yk−1∂∂y(∂∂x(xnyk))=∂∂y(nxn−1yk)=nkxn−1yk−1\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}\left( \dfrac{\partial}{\partial \redD{y}}(\blueE{x}^n \redD{y}^k) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(k \blueE{x}^n \redD{y}^{k-1}) = nk \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^{k-1} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redD{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^n \redD{y}^k) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redD{y}}(n \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^k) = nk \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^{k-1} \end{aligned}
Двете смесени производни не винаги са равни. Теоремата на Шварц (понякога наричана теорема на Клеро) гласи, че тези две производни са равни в дадена точка, ако всичките 4 втори производни са непрекъснати в тази точка. За да разберем по-добре твърдението и доказателството на тази теорема, трябва да използваме малко по-сериозен анализ от съдържанието на този урок.
Все пак е полезно да знаем, че има изключения от това правило. Иначе, двете смесени производни са равни за всяка "нормална" функция, която бихме разгледали в тази или следващите статии.

Пример 2: Производни от по-висок ред

Аналогично на вторите частни производни, можем да продължим и да пресметнем трети, четвърти, пети, и т.н. производни на дадена функция.
Задача: Дадена е функцията f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, y, right parenthesis, e, start superscript, x, plus, z, end superscript. Коя е частната производна f, start subscript, z, y, z, y, x, end subscript?
Решение: f, start subscript, z, y, z, y, x, end subscript означава left parenthesis, left parenthesis, left parenthesis, left parenthesis, f, start subscript, z, end subscript, right parenthesis, start subscript, y, end subscript, right parenthesis, start subscript, z, end subscript, right parenthesis, start subscript, y, end subscript, right parenthesis, start subscript, x, end subscript, така че трябва да диференцираме по z, след това по y, след това по z, след това пак по y, и накрая по x. Тоест следваме променливите от ляво на дясно.
Тук е моментът да обърнем внимание, че при другия запис на частните производни редът е обратен:
∂∂x∂∂y∂∂z∂∂y∂f∂z=∂5f∂x⏟5−та∂y⏟4−та∂z⏟3−та∂y⏟2−ра∂z⏟1−ва\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial}{\partial x} \dfrac{\partial}{\partial y} \dfrac{\partial}{\partial z} \dfrac{\partial}{\partial y} \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\partial^5 f}{ \underbrace{\partial x}_{5^{-та}} \underbrace{\partial y}_{4^{-та}} \underbrace{\partial z}_{3^{-та}} \underbrace{\partial y}_{2^{-ра}} \underbrace{\partial z}_{1^{-ва}} } \end{aligned}
Тук редът на производните е от дясно наляво.
След като уточнихме това, нека започнем с решението на задачата. Ще означим трите променливи в различни цветове - start color #11accd, x, end color #11accd, comma, start color #e84d39, y, end color #e84d39, comma, start color #0d923f, z, end color #0d923f - за да можем да ги различаваме по-лесно:
f(x;y;z)=sin⁡(xy)ex+zfz(x;y;z)=∂f∂z(sin⁡(xy)ex+z)=sin⁡(xy)ex+zfzy(x;y;z)=∂f∂y(sin⁡(xy)ex+z)=cos⁡(xy)xex+zfzyz(x;y;z)=∂f∂z(cos⁡(xy)xex+z)=cos⁡(xy)xex+zfzyzy(x;y;z)=∂f∂y(cos⁡(xy)xex+z)=−sin⁡(xy)x2ex+zfzyzyx(x;y;z)=∂f∂x(−sin⁡(xy)x2ex+z)=−cos⁡(xy)y⏟∂∂x(−sin⁡(xy))x2ex+z=−sin⁡(xy)2x⏟∂∂xx2ex+z=−sin⁡(xy)x2ex+z⏟∂∂xex+z\begin{aligned} \quad f(\blueD{x}; \redD{y}; \greenE{z}) &= \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\ f_{\greenE{z}}(\blueD{x}; \redD{y}; \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \greenE{z}} \left( \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}}(\blueD{x}; \redD{y}; \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \redD{y}} \left( \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}}(\blueD{x}; \redD{y}; \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \greenE{z}} \left( \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}\redD{y}}(\blueD{x}; \redD{y}; \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \redD{y}} \left( \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= -\sin(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}\redD{y}\blueD{x}}(\blueD{x}; \redD{y}; \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \blueD{x}} \left( -\sin(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \underbrace{-\cos(\blueD{x}\redD{y})\redD{y}}_{ \small\dfrac{\partial}{\partial x} (-\sin(\blueD{x}\redD{y})) }\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\ &\phantom{=}-\sin(\blueD{x}\redD{y}) \underbrace{2\blueD{x}}_{ \small\dfrac{\partial}{\partial x}\blueD{x}^2 }e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\ &\phantom{=}-\sin(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 \underbrace{e^{\blueD{x} + \greenE{z}}}_{ \small\dfrac{\partial}{\partial x} e^{\blueD{x} + \greenE{z}} } \end{aligned}
В последната стъпка използвахме правилото за диференциране на произведение от три функции:
=ddx(f(x)g(x)h(x))=f′(x)g(x)h(x)+f(x)g′(x)h(x)+f(x)g(x)h′(x)\begin{aligned} &\phantom{=} \dfrac{d}{dx}\Big(f(x)g(x)h(x)\Big) \\\\ &= f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x) \end{aligned}
Оле, мале! Този пример беше изтощаващ! Но ако спокойно проследи всички стъпки от решението, то можеш да си сигурен/на, че няма да имаш проблеми с частните производни от по-висок ред. Тяхното пресмятане по-скоро разчита на добра съсредоточеност, отколкото на математически гений.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.