Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Втора частна производна

Кратко въведение в понятието втора частна производна, симетрия на смесените частни производни и производни от по-висок ред.

Обобщение на втората производна

Нека разгледаме функция на две променливи, например
f(x;y)=x2y3.
Частните производни на функцията – fx и fy – са функции на две променливи (x;y):
fx=x(x2y3)=2xy3fy=y(x2y3)=3x2y2
Следователно можем да говорим за частните производни на тези частни производни.
Наричаме ги втори частни производни и ги записваме подобно на d2fdx2 при обикновените производни:
x(fx)=2fx2x(fy)=2fxyy(fx)=2fyxy(fy)=2fy2
Ако използваме означението fx за частна производна (в случая по x), то можем да запишем горните изрази по следния начин:
(fx)x=fxx(fy)x=fyx(fx)y=fxy(fy)y=fyy
Производните, включващи повече от една променлива (в случая fyx и fxy), се наричат "смесени частни производни".

Пример 1: Пълното дърво

Задача: Да се намерят всички втори частни производни на функцията f(x;y)=sin(x)y2
Решение: Първо намираме двете частни производни:
x(sin(x)y2)=cos(x)y2y(sin(x)y2)=2sin(x)y
След това за всяка една от тях намираме двете частни производни:
x(x(sin(x)y2))=x(cos(x)y2)=sin(x)y2x(y(sin(x)y2))=x(2sin(x)y)=2cos(x)yy(x(sin(x)y2))=y(cos(x)y2)=2cos(x)yy(y(sin(x)y2))=y(2sin(x)y)=2sin(x)
sin(x)y2xycos(x)y22sin(x)yxyxysin(x)y22cos(x)y2cos(x)yСмесените частни производни са еднакви!2sin(x)

Симетрия на смесените частни производни

Обърни внимание, че в горния пример двете смесени частни производни 2fxy и 2fyx са равни. Това не е съвпадение; тези две производни са равни за почти всяка функция, която бихме срещнали на практика. Например, ако разгледаме общ член на полином на две променливи от вида xnyk:
x(y(xnyk))=x(kxnyk1)=nkxn1yk1y(x(xnyk))=y(nxn1yk)=nkxn1yk1
Двете смесени производни не винаги са равни. Теоремата на Шварц (понякога наричана теорема на Клеро) гласи, че тези две производни са равни в дадена точка, ако всичките 4 втори производни са непрекъснати в тази точка. За да разберем по-добре твърдението и доказателството на тази теорема, трябва да използваме малко по-сериозен анализ от съдържанието на този урок.
Все пак е полезно да знаем, че има изключения от това правило. Иначе, двете смесени производни са равни за всяка "нормална" функция, която бихме разгледали в тази или следващите статии.

Пример 2: Производни от по-висок ред

Аналогично на вторите частни производни, можем да продължим и да пресметнем трети, четвърти, пети, и т.н. производни на дадена функция.
Задача: Дадена е функцията f(x;y;z)=sin(xy)ex+z. Коя е частната производна fzyzyx?
Решение: fzyzyx означава ((((fz)y)z)y)x, така че трябва да диференцираме по z, след това по y, след това по z, след това пак по y, и накрая по x. Тоест следваме променливите от ляво на дясно.
Тук е моментът да обърнем внимание, че при другия запис на частните производни редът е обратен:
xyzyfz=5fx5таy4таz3таy2раz1ва
Тук редът на производните е от дясно наляво.
След като уточнихме това, нека започнем с решението на задачата. Ще означим трите променливи в различни цветове - x,y,z - за да можем да ги различаваме по-лесно:
f(x;y;z)=sin(xy)ex+zfz(x;y;z)=fz(sin(xy)ex+z)=sin(xy)ex+zfzy(x;y;z)=fy(sin(xy)ex+z)=cos(xy)xex+zfzyz(x;y;z)=fz(cos(xy)xex+z)=cos(xy)xex+zfzyzy(x;y;z)=fy(cos(xy)xex+z)=sin(xy)x2ex+zfzyzyx(x;y;z)=fx(sin(xy)x2ex+z)=cos(xy)yx(sin(xy))x2ex+z=sin(xy)2xxx2ex+z=sin(xy)x2ex+zxex+z
В последната стъпка използвахме правилото за диференциране на произведение от три функции:
=ddx(f(x)g(x)h(x))=f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)
Оле, мале! Този пример беше изтощаващ! Но ако спокойно проследи всички стъпки от решението, то можеш да си сигурен/на, че няма да имаш проблеми с частните производни от по-висок ред. Тяхното пресмятане по-скоро разчита на добра съсредоточеност, отколкото на математически гений.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.