Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2

Урок 3: Частни производни и градиент (статии)

Градиент

Градиентът е векторът от частни производни на дадена функция на много променливи. Освен това градиентът може да бъде интерпретиран като допирателна към графиката на функцията.

С какво трябва да си запознат/а, преди да започнеш тази статия:

Частни производни
Векторни полета
Контурни графики—само за последната част на статията.

Основни идеи

Градиентът на дадена скаларна функция $f (x; y; \dots)$ ‍, означен с $\nabla f$ ‍, е вектор от частните производни на функцията:
$\nabla f = [\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ ⋮ \end{matrix}]$ ‍
По-точно, това означава, че $\nabla f$ ‍ е векторна функция.
Ако си представим, че се намираме в точката ( $x_{0}; y_{0}; \dots$ ‍) в дефиниционната област на $f$ ‍, векторът $\nabla f (x_{0}; y_{0}; \dots)$ ‍ е посоката, в която стойността на $f$ ‍ се повишава най-бързо.
Градиентите на функцията— $\nabla f (x_{0}; y_{0}; \dots)$ ‍ също така са и перпендикулярни на контурните линии на $f$ ‍.

Дефиниция

След като научихме, че функциите на много променливи имат частни производни, логично е да помислим какво би представлявала общата производна на една такава функция. При скаларните функции на много променливи тази производна се нарича градиент.

Градиентът на дадена функция

f

, означен с

\nabla f

, е векторът от частните производни на

f

Нека разгледаме един пример.

Пример 1: Две променливи

Ако

f (x; y) = x^{2} - x y

, коя от следните функции е

\nabla f

Избери един отговор:
(Избор А)
$[\begin{matrix} 2 x - x \\ x^{2} - y \end{matrix}]$ ‍
(Избор Б)
$[\begin{matrix} 2 x - y \\ - x \end{matrix}]$ ‍

Функцията

\nabla f

е векторна. Тя приема двумерен аргумент и стойностите ѝ са двумерни вектори. Това означава, че можем да я изобразим като векторно поле в дефиниционната област на

f

, т.е. в равнината

x y

Това векторно поле наричаме градиентно поле на

f

Въпрос за размисъл: Защо векторите в това векторно поле са толкова къси по диагонала на равнината

x y

Векторното поле се определя от градиента:

\begin{array}{r} \nabla f (x; y) = [\begin{array}{c} 2 x - y \\ - x \end{array}] \end{array}

Това означава, например, че векторът от векторното поле, свързан с точка

(2; 3)

, е:

$[\begin{matrix} 2 (2) - 3 \\ - 2 \end{matrix}]$ ‍ $= [\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix}]$ ‍

За да е малък даден вектор от полето, и двете му компоненти

x

y

трябва да са малки.

x

-координатата на всеки вектор от полето е

2 x - y

, равна на нула върху правата

y = 2 x

. Следователно всички вектори близо до тази права имат малка хоризонтална компонента.

y

-координатата на всеки един вектор е

- x

. Тази стойност е малка в точките

(x; y)

, които са близо до оста

y

Следователно точките, които са близо до правата

y = 2 x

и до оста

y

, съответстват на къси вектори от полето. Виж фигурата по-горе за визуализация на тази област.

След малко ще видим, че когато векторите на градиента са къси в дадена област, графиката на

f (x; y)

е сравнително плоска.

Пример 2: Три променливи

На колко е равен градиентът на функцията

f (x; y; z) = x - x y + z^{2}

Избери един отговор:
(Избор А)
$\nabla f (x; y; z) = [\begin{matrix} 1 - y \\ - x \\ 2 z \end{matrix}]$ ‍
(Избор Б)
$\nabla f (x; y; z) = [\begin{matrix} 1 - y + z^{2} \\ x - x + z^{2} \\ x - x y + 2 z \end{matrix}]$ ‍

\nabla f

е функция на три параметъра, чиито стойности са тримерни вектори. Тогава е най-удобно да представим тази функция като векторно поле в тримерното пространство.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Как интерпретираме градиента

Във всеки един от примерите по-горе представихме

\nabla f

като векторно поле, но какво по-точно означава то?

Нека разгледаме случая, в който

f

е функция на две променливи. Тогава градиентът е функция, съпоставяща вектор на всяка точка

(x_{0}; y_{0})

в равнината.

\begin{array}{r} \nabla f (x_{0}; y_{0}) = [\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}; y_{0}) \\ \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}; y_{0}) \end{array}] . \end{array}

Какво ни казва този вектор за поведението на функцията в точката

(x_{0}; y_{0})

Нека си представим графиката на

f

като хълмиста местност. Ако застанем в точката, съответстваща на

(x_{0}; y_{0})

, наклонът на хълма зависи от посоката, в която се движим. Например, ако стъпим в посока оста

x

, наклонът е

\frac{\partial f}{\partial x}

; ако стъпим в посока оста

y

, наклонът е

\frac{\partial f}{\partial y}

. Всички останали посоки са комбинация от тези две частни производни.

Важен факт за градиента: Стойността на градиента на $f$ ‍ в дадена точка $(x_{0}; y_{0})$ ‍ е равна на посоката с най-стръмен (положителен) наклон.

Ако вървим в посока градиента на функцията, то винаги ще се движим вертикално нагоре по хълма. Съответно дължината на вектора $\nabla f (x_{0}; y_{0})$ ‍ отразява наклона на хълма в посока градиента.

Все още не е съвсем ясно защо векторът от частните производни дава посоката на най-стръмния наклон. По темата ще научим повече в статията за производни по направление.

Когато функцията

f

има повече от два аргумента, вече не можем да си представим графиката ѝ като хълмиста местност. Въпреки това принципът е същият. Без значение дали функцията

f

приема два, три или милион аргумента, градиентът на

f

сочи в посоката, в която стойността на

f

се увеличава най-бързо.

Пример 3: Локални максимуми

Нека разгледаме функцията

f (x; y) = - x^{4} + 4 (x^{2} - y^{2}) - 3

. На колко е равен градиентът ѝ?

Ето как изглежда графиката на

f

Обърни внимание, че графиката има два максимума. Ето как изглежда векторното поле

\nabla f

—в червено са означени по-дългите вектори, а в синьо по-късите:

Двете точки, съответстващи на максимумите на

f

, са оградени със стрелки, сочещи към тях. Защо?

Това е така, защото около върха на хълм наклонът винаги е към върха.

Въпрос за размисъл: Как би изглеждало векторното поле около локален минимум на функцията?

Градиентът е перпендикулярен на контурните линии

Точно както при векторните полета, ние чертаем контурни графики в дефиниционната област на дадена функция. Съществува много интересна връзка между векторното поле на

\nabla f

и контурните линии на

f

Да разгледаме функцията

f (x; y) = x y

На изображението по-горе всеки вектор е перпендикулярен на контурната линия, до която се допира.

За да разберем защо това е така, нека разгледаме определена контурна линия, например тази, изобразяваща

f (x; y) = 2

. Знаем, че градиентът

\nabla f

изобразява посоката, в която стойността на

f

расте най-бързо. Обаче можем да интерпретираме градиента и по друг начин:

Избираме фиксирана дължина и намираме посоката, в която стойността на $f$ ‍ се увеличава най-бързо след стъпка с фиксираната дължина.
При стъпки с равна големина от дадена отправна точка градиентът е посоката, в която стойността на f расте най-бързо.
Фигура 1
Избираме фиксирана стойност и намираме посоката, в която $f$ ‍ най-бързо се увеличава с тази фиксирана стойност.
При стъпки, за които стойността на f се увеличава константно, градиентът дава посоката на най-късата стъпка.
Фигура 2

И в двата случая се опитваме да максимизираме увеличението в стойността на

f

спрямо промяната на аргументите - в единия случай търсейки най-голямата стойност, а в другия най-малката промяна в аргументите.

Контурните графики изобразяват втория подход. На фигура 2 виждаме още една контурна линия, съответстваща на стойността

2, 1

, което е малко повече от стойността 2, изобразена от първата контурна линия. Градиентът на

f

показва посоката, в която разстоянието между двете контурни линии е най-малко.

Ако разгледаме контурната графика под лупа, контурните линии ще започнат да изглеждат като прави успоредни линии. Тогава най-краткото разстояние между контурните линии е перпендикулярно на тях, тоест градиентът е перпендикулярен на контурните линии.

Операторът "набла"

В математическия анализ—и не само—думата оператор се появява доста често. Макар че звучи доста сложно, всъщност операторът е просто машина, която превръща функция в друга функция.

Производната, например, е оператор, тъй като превръща функцията

f

в нова функция

f^{'}

. Диференциални оператори наричаме всички оператори, които по някакъв начин обобщават идеята за производна, но в различен контекст.

Примери за диференциални оператори


Име	Символ	Пример
Производна	$\frac{d}{d x}$ ‍	$\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x$ ‍
Частна производна	$\frac{\partial}{\partial x}$ ‍	$\frac{\partial}{\partial x} (x^{2} - x y) = 2 x - y$ ‍
Градиент	$\nabla$ ‍	$\nabla (x^{2} - x y) = [\begin{matrix} 2 x - y \\ - x \end{matrix}]$ ‍

Символа

\nabla

наричаме "набла" или "дел". Обикновено "набла" казваме, когато имаме предвид самия символ, а "дел" - когато говорим за диференциалния оператор. Всъщност в математиката има още един символ, който наричаме "дел", и той е

\partial

, но математическата терминология и без това рядко е удобна за крайния потребител.

Както и да го наричаме, операторът

\nabla

е нещо подобно на вектор от частни производни:

$\nabla = [\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ ⋮ \end{matrix}]$ ‍

Това не е съвсем точна дефиниция. Като за начало, този вектор няма фиксирана размерност, тъй като зависи от броя аргументи на функцията, върху която прилагаме оператора

\nabla

. Освен това е малко смело от наша страна да събираме оператори във вектор. Въпреки това в повечето случаи е ясно за какво става въпрос и подобно означение се среща често в литературата.

Какво става, когато "умножим" този вектор по скаларна функция?

$\begin{aligned} \nabla f & = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ ⋮ \end{array}] f \\ = [\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ ⋮ \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Разбира се, не става въпрос за директно умножение - по-скоро заместваме скаларната функция във всеки един числител на вектора. Но въпреки това е изключително полезно да разглеждаме оператора

\nabla

по този начин, особено когато се появи отново в уроците за дивергенция, ротация и лапласиан.

Обобщение

Градиентът на дадена скаларна функция $f (x; y; \dots)$ ‍, означен с $\nabla f$ ‍, е вектор от частните производни на функцията:
$\nabla f = [\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ ⋮ \end{matrix}]$ ‍
По-точно, това означава, че $\nabla f$ ‍ е векторна функция.
Ако си представим, че се намираме в точката $(x_{0}; y_{0}, \dots)$ ‍ в дефиниционната област на $f$ ‍, векторът $\nabla f (x_{0}; y_{0}; \dots)$ ‍ е посоката, в която стойността на $f$ ‍ се повишава най-бързо.
Градиентите на функцията $\nabla f (x_{0}; y_{0}, \dots)$ ‍ са перпендикулярни на контурните линии на $f$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.