If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Градиент

Градиентът е векторът от частни производни на дадена функция на много променливи. Освен това градиентът може да бъде интерпретиран като допирателна към графиката на функцията.

С какво трябва да си запознат/а, преди да започнеш тази статия:

Основни идеи

  • Градиентът на дадена скаларна функция f, left parenthesis, x, ;, y, ;, dots, right parenthesis, означен с del, f, е вектор от частните производни на функцията:
    f=[fxfy] \nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\\\ \vdots \end{array} \right]
    По-точно, това означава, че del, f е векторна функция.
  • Ако си представим, че се намираме в точката (x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, ;, dots) в дефиниционната област на f, векторът del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, ;, dots, right parenthesis е посоката, в която стойността на f се повишава най-бързо.
  • Градиентите на функцията—del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, ;, dots, right parenthesis също така са и перпендикулярни на контурните линии на f.

Дефиниция

След като научихме, че функциите на много променливи имат частни производни, логично е да помислим какво би представлявала общата производна на една такава функция. При скаларните функции на много променливи тази производна се нарича градиент.
Градиентът на дадена функция f, означен с del, f, е векторът от частните производни на f.
Нека разгледаме един пример.

Пример 1: Две променливи

Ако f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y, коя от следните функции е del, f?
Избери един отговор:

Функцията del, f е векторна. Тя приема двумерен аргумент и стойностите ѝ са двумерни вектори. Това означава, че можем да я изобразим като векторно поле в дефиниционната област на f, т.е. в равнината x, y.
Това векторно поле наричаме градиентно поле на f.
Градиентът на f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y като векторно поле.
Въпрос за размисъл: Защо векторите в това векторно поле са толкова къси по диагонала на равнината x, y?
Маркирай празната област.

Пример 2: Три променливи

На колко е равен градиентът на функцията f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, equals, x, minus, x, y, plus, z, squared?
Избери един отговор:

del, f е функция на три параметъра, чиито стойности са тримерни вектори. Тогава е най-удобно да представим тази функция като векторно поле в тримерното пространство.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Как интерпретираме градиента

Във всеки един от примерите по-горе представихме del, f като векторно поле, но какво по-точно означава то?
Нека разгледаме случая, в който f е функция на две променливи. Тогава градиентът е функция, съпоставяща вектор на всяка точка left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis в равнината.
f(x0;y0)=[fx(x0;y0)fy(x0;y0)].\begin{aligned} \quad \nabla f(x_0; y_0) = \left[ \begin{array}{c} \\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0; y_0) \\ \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0; y_0) \end{array} \right]. \end{aligned}
Какво ни казва този вектор за поведението на функцията в точката left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
Изкачване по най-стръмния наклон.
Нека си представим графиката на f като хълмиста местност. Ако застанем в точката, съответстваща на left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, наклонът на хълма зависи от посоката, в която се движим. Например, ако стъпим в посока оста x, наклонът е start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction; ако стъпим в посока оста y, наклонът е start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction. Всички останали посоки са комбинация от тези две частни производни.
Важен факт за градиента: Стойността на градиента на f в дадена точка left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis е равна на посоката с най-стръмен (положителен) наклон.
Ако вървим в посока градиента на функцията, то винаги ще се движим вертикално нагоре по хълма. Съответно дължината на вектора del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis отразява наклона на хълма в посока градиента.
Все още не е съвсем ясно защо векторът от частните производни дава посоката на най-стръмния наклон. По темата ще научим повече в статията за производни по направление.
Когато функцията f има повече от два аргумента, вече не можем да си представим графиката ѝ като хълмиста местност. Въпреки това принципът е същият. Без значение дали функцията f приема два, три или милион аргумента, градиентът на f сочи в посоката, в която стойността на f се увеличава най-бързо.

Пример 3: Локални максимуми

Нека разгледаме функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, minus, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 4, left parenthesis, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis, minus, 3. На колко е равен градиентът ѝ?
Избери един отговор:

Ето как изглежда графиката на f:
Графика на f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, minus, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 4, left parenthesis, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis, minus, 3
Обърни внимание, че графиката има два максимума. Ето как изглежда векторното поле del, f—в червено са означени по-дългите вектори, а в синьо по-късите:
Двете точки, съответстващи на максимумите на f, са оградени със стрелки, сочещи към тях. Защо?
Това е така, защото около върха на хълм наклонът винаги е към върха.
Въпрос за размисъл: Как би изглеждало векторното поле около локален минимум на функцията?

Градиентът е перпендикулярен на контурните линии

Точно както при векторните полета, ние чертаем контурни графики в дефиниционната област на дадена функция. Съществува много интересна връзка между векторното поле на del, f и контурните линии на f.
Да разгледаме функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, y:
Контурна карта на x, y
Градиент на x, y
Контурна графика и градиент на x, y
На изображението по-горе всеки вектор е перпендикулярен на контурната линия, до която се допира.
За да разберем защо това е така, нека разгледаме определена контурна линия, например тази, изобразяваща f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, 2. Знаем, че градиентът del, f изобразява посоката, в която стойността на f расте най-бързо. Обаче можем да интерпретираме градиента и по друг начин:
  1. Избираме фиксирана дължина и намираме посоката, в която стойността на f се увеличава най-бързо след стъпка с фиксираната дължина.
    При стъпки с равна големина от дадена отправна точка градиентът е посоката, в която стойността на f расте най-бързо.
    Фигура 1
  2. Избираме фиксирана стойност и намираме посоката, в която f най-бързо се увеличава с тази фиксирана стойност.
    При стъпки, за които стойността на f се увеличава константно, градиентът дава посоката на най-късата стъпка.
    Фигура 2
И в двата случая се опитваме да максимизираме увеличението в стойността на f спрямо промяната на аргументите - в единия случай търсейки най-голямата стойност, а в другия най-малката промяна в аргументите.
Контурните графики изобразяват втория подход. На фигура 2 виждаме още една контурна линия, съответстваща на стойността 2, comma, 1, което е малко повече от стойността 2, изобразена от първата контурна линия. Градиентът на f показва посоката, в която разстоянието между двете контурни линии е най-малко.
Ако разгледаме контурната графика под лупа, контурните линии ще започнат да изглеждат като прави успоредни линии. Тогава най-краткото разстояние между контурните линии е перпендикулярно на тях, тоест градиентът е перпендикулярен на контурните линии.

Операторът "набла"

В математическия анализ—и не само—думата оператор се появява доста често. Макар че звучи доста сложно, всъщност операторът е просто машина, която превръща функция в друга функция.
Производната, например, е оператор, тъй като превръща функцията f в нова функция f, prime. Диференциални оператори наричаме всички оператори, които по някакъв начин обобщават идеята за производна, но в различен контекст.
Примери за диференциални оператори
ИмеСимволПример
Производнаstart fraction, d, divided by, d, x, end fractionstart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, equals, 2, x
Частна производнаstart fraction, \partial, divided by, \partial, x, end fractionstart fraction, \partial, divided by, \partial, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, minus, x, y, right parenthesis, equals, 2, x, minus, y
Градиентdel(x2xy)=[2xyx]\nabla(x^2 - xy) = \left[\begin{array}{c} 2x - y \\ -x \end{array}\right]
Символа del наричаме "набла" или "дел". Обикновено "набла" казваме, когато имаме предвид самия символ, а "дел" - когато говорим за диференциалния оператор. Всъщност в математиката има още един символ, който наричаме "дел", и той е \partial, но математическата терминология и без това рядко е удобна за крайния потребител.
Както и да го наричаме, операторът del е нещо подобно на вектор от частни производни:
=[xy] \nabla = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial x} \\ \quad \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \quad \\ \vdots \end{array}\right]
Това не е съвсем точна дефиниция. Като за начало, този вектор няма фиксирана размерност, тъй като зависи от броя аргументи на функцията, върху която прилагаме оператора del. Освен това е малко смело от наша страна да събираме оператори във вектор. Въпреки това в повечето случаи е ясно за какво става въпрос и подобно означение се среща често в литературата.
Какво става, когато "умножим" този вектор по скаларна функция?
f=[xy]f=[fxfy]\begin{aligned} \nabla f &= \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \quad \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \quad \\ \vdots \end{array} \right]f \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \quad \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \quad \\ \vdots \end{array} \right] \end{aligned}
Разбира се, не става въпрос за директно умножение - по-скоро заместваме скаларната функция във всеки един числител на вектора. Но въпреки това е изключително полезно да разглеждаме оператора del по този начин, особено когато се появи отново в уроците за дивергенция, ротация и лапласиан.

Обобщение

  • Градиентът на дадена скаларна функция f, left parenthesis, x, ;, y, ;, dots, right parenthesis, означен с del, f, е вектор от частните производни на функцията:
    f=[fxfy] \nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\\\ \vdots \end{array} \right]
    По-точно, това означава, че del, f е векторна функция.
  • Ако си представим, че се намираме в точката left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis в дефиниционната област на f, векторът del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, ;, dots, right parenthesis е посоката, в която стойността на f се повишава най-бързо.
  • Градиентите на функцията del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis са перпендикулярни на контурните линии на f.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.