If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:9:29

Видео транскрипция

Току-що изчислихме векторната частна производна на една векторна функция, но въпросът е какво означава тя. Какво означава тази купчина символи, ако искаме една разбираема геометрична интерпретация? Тук всичко опира до това как ще изобразим функцията. За тази конкретна функция, която има двумерни входни стойности, а тримерни изходни стойности, т.е. изходните стойности имат повече измерения от входните стойности, тук е подходящо да я представим като параметрична повърхнина. Начинът да го направим е, начинът да онагледим това, е като трансформация, защото по същество искам да разгледам една равнина ts, в която се намират всички входни стойности, и да си представя как по някакъв начин те се изобразяват в едно тримерно пространство. Но когато правя това, по същество аз малко ще излъжа. Вместо тук да имам отделна равнина ts, аз един вид ще нанеса тази равнина върху равнината ху, ще поставя равнината ts ето така, като това не е цялата равнина ts. Това всъщност представлява само стойностите на t в интервала от нула до три, така че всяко деление на графиката съответства на една втора. Значи това е едно, това е две, и това тук е три. Същото правим и с s. s е в интервала от нула до три. Причината да поставя тази равнина тук долу в това тримерно пространство, е един вид подмяната на равнината ху с равнината ts, е за да улесня анимацията. Можеш да кажеш, че това е от мързел. Предимството е, че сега можем да наблюдаваме всяка точка, а всяка от тези точки, която разглеждаме, съответства на някаква наредена двойка (t; s), някаква входна стойност, която е просто наредена двойка числа. Ще наблюдаваме всяка от тези точки как се пренася към съответната изходна стойност. Изходната стойност е тримерна, един тримерен вектор или точка, можеш да избереш как да я разглеждаш, и начинът, по който изглежда това, когато го анимираме, по същество е, че всяка от тези точки в нашата квадратна област ts се пренася в съответната изходна стойност и получаваме някаква повърхнина. За да бъда малко по-конкретен, това, което се случва тук... да се фокусираме върху една точка, и ще изберем тази точка не само за да визуализираме функцията, а за да визуализираме и частната производна. Функцията, или по-точно точката, която ни интересува, е (1; 1). Тази точка тук представлява двойката (t; s), като всяка от тези координати е равна на 1. Точка (1; 1). Първо можем да предвидим къде ще се намира изходната стойност. За да го направим, просто заместваме тези стойности във функцията. Това един вид показва какво означава тази визуализация, когато заместваме тези t и s с 1 и 1. Горната част е 1 на квадрат минус 1 на квадрат, което дава нула. Средният компонент е 1 по 1, което е 1, после тук имаме 1 на квадрат, което е 1 минус 1, по 1 по 1 на квадрат, което пак е 1. Вероятно виждаш, поради симетрията, че тези също се съкращават, получаваме нула, което означава, че изходната стойност, която съответства на този аргумент, ще бъде вектор [0; 1; 0]. Това е вектор с дължина единица, който сочи по направление на оста у. Ако погледнеш тук, това е оста х. Това е оста у. Значи това ще бъде вектор, който изглежда по този начин. Единичен вектор по направление на оста у и точка от повърхнината, която съответства на върха на този вектор. Ето по този начин визуализираме параметричните неща. Просто разглеждаш върха на вектора, все едно се движи в пространството и очертава нещо. В този случай очертава една повърхнина. Ако гледаме отново анимацията, ако пусна нещата да се изобразяват, тази точка, съответстваща на аргумент (1; 1) се превръща във върха на този вектор. Поне за тази стойност можеш да видиш, че не те мамя с анимацията. По принцип можеш да направиш това за всяка отделна точка. Ако дадена входна точка я заместиш във функцията, ако начертаеш вектора в тримерно пространство, както когато гледаш анимацията, тази точка ще се изобрази във върха на този вектор. Така че... Сега, ако искаме да видим какво представлява частната производна – спомни си – това малко dt, частното t, което ни показва една малка промяна в посока t. Тази стъпка, тази промяна, в общия случай това движение, как изглежда то в посока t за нашия участък от равнината ts? Посока t... имам предвид тази посока ето тук, където това представлява една, две, три деления за t, а с тази права представяме някаква константна стойност на s – тук имаме постоянна стойност s равно на 1, знаем че е толкова, понеже правата минава през точката (1; 1). А същевременно стойностите на t се изменят произволно. Ако проследим как това се трансформира при тази трансформация, при изобразяването върху параметричната повърхнина, можеш да си представиш как промените на входните стойности на t се отразяват в изходното пространство. Тази цялата розова линия ти показва какво се случва, ако стойносттана s е винаги 1, но ако оставим променливата t, входната стойност t, да се променя. Ще получим някаква крива в тримерното пространство. Ако вземем различна константа като s, ще получим друга крива, като може би забелязваш от линиите на мрежата каква форма ще имат тези други линии. Те ще са, в известен смисъл, успоредни на тази крива, която съответства на s равно на 1. Така че вместо да разглеждаме движението на t по принцип, можем да разгледаме само някакви малки стъпки, това цялото частно t е нещо, за което си представяме малки, малки премествания по направление на t. Не толкова много, колкото начертах, а съвсем, съвсем малки стъпки. Това е все едно, че записваме стойността му като частно t, и ако искаме да сме по-конкретни, можем да кажем, например, че частно t е равно приблизително на 0,01. Това по същество е стойност, която клони към нула, става все по-малка и по-малка, но смятам, че е полезно да я разглеждаме като действителна стойност, например като една стотна. После, ако оставиш цялото това нещо да претърпи трансформация и наблюдаваме изходната точка, наблюдаваме линията, която представя t, тази малка стъпка може би ще се уголеми или ще се свие, и ще получим някакъв вектор, който сочи по протежение на кривата, който ще е тангенциален към тази крива. Векторът, който ни казва колко се придвижваме съвсем, съвсем малко, ще бъде тангенциален по някакъв начин на кривата. Този вектор, малката промяна на изходната стойност, разглеждаме като нашата малка промяна на изходния вектор, това частно v. Когато разделим това на нашата малка стойност, ако нашата малка стъпка е 0,01 и разделим на нея, това ще стане по-голямо, така че действителната производна няма да бъде някаква много миниатюрна промяна, която едва се вижда. Тя ще бъде този малък вектор, мащабиран съответно. В този случай това ще разделим на една стотна, а вектора ще умножим по 100. Този вектор пак ще бъде тангенциален на кривата, но може би той има по-голяма дължина. Колкото е по-голямо това, колкото е по-дълъг векторът, това означава, че когато t се променя и един вид се движим по тази розова крива, тези малки стъпки на t съответстват на по-големи премествания. Относителният размер на стъпката е по-голям. Така че, ако имаш много дълъг вектор на частната производна, той пак е тангенциален, но ако стига чак ето тук, това означава, че когато t се променя, ние се движим много бързо. Ако погледнем конкретно тази точка (1;1), това увеличение на 1, можеш да добиеш представа за кривата около тази точка. Казваш: "Добре, добре. По тази крива се движим в положителната посока х. Движим се надясно. Движим се в положителна посока по z. Не, не е по z, а по у. Положителната посока на у е ето тук. В посока z всъщност е отрицателно, нали? Изглежда, че тази крива се спуска надолу в посока z. Така че още преди да го изчислим, ако ти кажа, че ще заместя стойността (1; 1) в тази частна производна, която намерихме в предишно видео, можеш да кажеш, че само като гледаме изображението, можеш един вид да кажеш, че стойността на х ще бъде нещо положително, ще е по-голяма от нула. Стойността на у също ще е положителна, и отново, това е така, защото се движим надясно, значи положително х. Движим се нагоре, значи положително у, но z-стойността трябва да е малко отрицателна, защото ако погледнем тази крива, тя в някакъв смисъл е насочена надолу. Това е нашата прогноза. Като заместим 1 за t и s, виждаме, че 2 по 1 е 2, s е равно на 1, значи това е просто ,, а после ето тук това е 1 на квадрат, минус 2 по 1, по 1, така че това е минус 2. Това е минус 1, така че това е моделът положително, положително, отрицателно, което наблюдаваме. Но дори от тази крива можем да добием представа защо движението в посока х е два пъти повече от движението по посока у. Движим се повече надясно, отколкото нагоре в посока у. После, отново, принципно можеш да си представиш, че правиш това не само за точката (1; 1), а за всяка произволна точка може би за някоя точка от тази крива, или за някоя произволна точка от повърхнината. Съответното движение, посоката, в която се движим по направление на t, ще ни даде някакъв вектор в тримерното пространство. Това е значението, това е смисълът на частната производна на тази векторна функция. Повтарям, това не е реалното преместване на вектора, когато имаме промяна на входната стойност, и тогава получаваме някаква миниатюрна промяна в изходното пространство, а това е разделено на големината на тази малка промяна, така че един вид получаваме нормализирани вектори, а не малки вектори. В следващото видео ще направя почти същото нещо, за да видим какво се случва, когато имаме малка промяна в посока s, само за да получиш по-добна представа какво се случва в този пример.