Основно съдържание
Анализ на функции на много променливи
Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 2
Урок 7: Частни производни на векторни функции- Намиране на частна производна на векторна функция
- Графично представяне на параметрични повърхнини
- Частна производна на параметрично зададена повърхнина, част 1
- Частна производна на параметрично зададена повърхнина, част 2
- Частни производни на векторни функции
- Частни производни на векторно поле
- Разглеждане на частните производни на вектори полета по отделни компоненти
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Частна производна на параметрично зададена повърхнина, част 2
Разглеждаме повърхнината, дадена в предходния пример, но сега разглеждаме нейната производна в другата посока. Създадено от Грант Сандерсън.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Привет! В предишното видео разглеждахме как можем
да интерпретираме частната производна на
една параметрична повърхнина, на функция, която има
двумерни входни стойности и тримерни векторни
изходни стойности. Обикновено визуализираме това
като повърхнина в тримерно пространство. Всичко се свежда до това
да разгледаме как един участък от равнината ts се изобразява в съответните
изходни стойности. Признавам си отново, че
един вид мамя с тази анимация, защото това тук не е
равнината ts, нали? Това е равнината ху. Равнината ts трябва да е
някакво отделно пространство ето тук, като си представяме, че
движим това отделно пространство в три измерения. Но това е по-трудно за анимиране,
така че няма да правя това, а вместо това ще поставя
нещата в тази равнина ху. Разглеждаме един участък, в който стойностите
на t и s са в интервал от 0 до 3. Както казах, частната производна
по отношение на t – ако си представиш една права, която представя движението
по направление на t – виждаме как тази права
се изобразява, като всички точки се преместват
в съответните им изходни стойности. Векторът на частната производна ни дава някакъв тангенциален вектор към кривата, която
изобразява тази права, която съответства на
движението в посока t. Колкото по-голяма е дължината
на този вектор, толкова по-бързо е движението, толкова е по-чувствителна
по отношение на малки промени в посока t. В посока s – да кажем, че
разглеждаме частната производна
по отношение на s. Ще изчистя това тук. Ще изчистя и това. Да се запитаме какво се случва, ако разгледаме производната
по отношение на s. Да разгледаме частната производна
на векторната функция v по отношение на s. Ще направим нещо много подобно. Интересува ни коя е правата,
която съответства на движението по посока s. Начинът, по който я начертах – тя винаги ще бъде вертикална, защото сме в равнината ts, а оста t е перпендикулярна
на оста s. В този случай тази права
съответства на t = 1, нали? Приемаме, че t винаги
е равно на 1, а стойностите на s се променят. Ако разгледаме как се изобразява
тази права, когато се движим във
входното пространство, как се изобразява в съответните
точки на изходното пространство, тази линия ни показва
какво се случва, когато се променя стойността s
на входните аргументи. Тя започва да се извива
по този начин, а след това се извива силно нагоре и се отдалечава ето тук. Тези линии на мрежата
тук са много полезни, защото при всяко пресичане
на тези линии на мрежата – едните линии представляват
движението в посока t, а другите линии съответстват
на движението в посока s. При частните производни
разсъждаваме по подобен начин. Представяме си, че това частно s
представлява... Да разгледаме отблизо ето тук. Това частно s можем
да си представим, че представлява съвсем малко преместване
в посока s, едно съвсем малко преместване, тази точка тук се измества
съвсем мъничко. После съответната малка
промяна, която се случва в изходното
пространство – казваме, че ако имаме такава
малка промяна на входната стойност, и ако разгледаме изходната стойност... може би тази малка стъпка съответства на промяна,
която е три пъти по-голяма. Струва ми се, че нещата
се уголемяват. Така че тази малка промяна
може би се превръща в нещо, което пак е малко, но може би е три пъти по-голямо
от нея. Това е един вектор. Сега разглеждаме този вектор като нашето частно v, мащабираме го с коефициент,
който има размера на това частно s, нали? Резултатът, който получаваме, е тангенциален вектор, който
не е чак толкова малък, но реално е един
големичък тангенциален вектор. Той ще съответства на
скоростта, с която се променя, но не просто
една малка промяна, а скоростта, с която се променя s, защото това е движението
в изходното пространство. Да го пресметнем за този случай, за да се упражним в
изчисленията. Ако погледнем тук горе, тази стойност на t я разглеждахме като променлива, когато намирахме производната
по отношение на t. Но сега тази стойност на t
изглежда като константа, така че нейната производна е нула. После това минус s на квадрат,
по отношение на s, неговата производна е минус 2 по s. s по t – s разглеждаме като
променлива, t като константа, а производната е просто
тази константа t. Отдолу имаме t по s на квадрат,
t е константа, s е променлива, така че производната е 2 по t по s. После ето тук изваждаме, s е променлива, t на квадрат е константа, значи производната
е равна на константата. Сега да заместим стойността (1; 1). Тази червена точка съответства на (1; 1). Да видим какво ще получим. s е равно на 1, това дава минус 2, t е равно на 1, така че това е 1, после 2 по 1 по 1 – ще го запиша. 2 по 1, по 1 минус 1 на квадрат, това е 2 минус 1, което дава 1. Ето какво можем да очакваме за
тангенциалния вектор, вектора на частната производна, компонентът х ще е с отрицателен знак, компонентите у и z
ще са положителни. Ако дойдем тук и разгледаме какво движение има
действително на кривата, това е логично, нали? Защото, когато се движим
по кривата, преместваме се наляво,
така че компонентът х на частната производна
трябва да е с отрицателен знак. Изкачваме се нагоре
по отношение на у и можеш да видиш, че
това движение наляво е един вид два пъти по-бързо
от движението нагоре. Наклонът е по-голям
в посока х. Когато разглеждаме
компонентът z, тук по същество отиваме нагоре. Може би ще попиташ как разбираме в каква посока
се движим, дали се движим насам, или всичко се движи в обратната посока. Ползата от анимацията е, че можем да кажем:
"Когато s е в интервала от нула до три, това е посока на нарастване." Просто гледаш в каква посока се променят нещата. Тази посока на нарастване
един вид съответства на движението на кривата
в тази посока. Така че тангенциалният
вектор е в обратната посока. Хубавото във връзка с това е, че два различни вектора
на частната производна, които намерихме, за всеки от тях можем да кажем, че е тангенциален вектор
към повърхнината, нали? Единият е частната производна по отношение на t, ето тук, който един вид отива в една посока, а другият един вид ти дава
различно означание на това какъв може да е
тангенциалният вектор към повърхнината. Може да си представиш
и производна по направление, която комбинира
тези по различен начин, и може да ти покаже
много различни начини, по които можем да имаме вектор, който да е
тангенциален към повърхнината. По-късно ще разгледаме
т.нар. тангенциални равнини, ако искаме да покажем какво представлява
една тангенциална равнина. Можеш да разглеждаш такава равнина,
все едно е дефинирана чрез два различни вектора. Засега това е всичко, което
трябва да знаеш, относно частните производни
на параметричните повърхнини. В следващите няколко урока
ще разгледаме какво представляват частните
производни на векторните функции в други контексти, защото не винаги разглеждаме
параметрични повърхнини и може би не винаги
разглеждаме как кривата се движи. Но все пак ще разсъждаваме
как една малка промяна на входа съответства на промяната
на изхода на функцията, и какво е отношението между
тези две промени. Приключвам с това
и до скоро!