Частни производни на векторно поле

Сега ще започнем да разглеждаме частните производни на векторни полета. Векторното поле е вид функция. Ще разгледаме пример само с две измерения. Това ще бъде някаква функция, която има двумерни входни стойности. Изходните стойности ще имат същият брой измерения. Това е много важно. Всеки от компонентите на изходната стойност ще зависи по някакъв начин от променливите на аргумента. Примерът, който имам предвид, е х по у като първи компонент, а у на квадрат минус х на квадрат е вторият компонент. Можем да намерим частната производна на тази функция, нали? Да намерим частната производна по отношение на една от входните променливи. Ще избера х. Винаги е подходяща за начало. Частната производна по отношение на х. Ако искам наистина да я сметна, в този случай това е друга функция на х и на у. Това, което правим е да намерим частните производни на отделните компоненти. Започваме от първия компонент и казваме: х приемаме за променлива. у приемаме за константа. Производната ще бъде просто тази константа. После частната производна на втория компонент – у на квадрат е константа; производната на минус х на квадрат по отношение на х е минус две по х. От аналитична гледна точка, ако знаеш как да намериш частна производна, вече знаеш как да намираш частна производна на векторна функция, следователно и на векторно поле. Забавната част, важната част тук е как точно да интерпретираш това. Това е свързано с визуализацията по някакъв начин. Векторното поле – причината да го наричаме векторно поле, означава, че един вид взимаме цялата равнина ху и я запълваме с вектори. По-точно имам предвид, че разглеждаме някаква входна стойност. Коя входна стойност искаш да разгледаме? Може би (1; 2). Да разгледаме това. Да разгледаме (1; 2). Това означава, че тук х е равно на 1. После у е равно на 2. Това е тази входна точка. Сега искаме да свържем тази точка с някакъв изходящ вектор. Да пресметнем какви компоненти има този изходящ вектор. Заместваме с х равно на 1, у равно на 2. х по у дава 2. у на квадрат минус х на квадрат дава 2 на квадрат минус 1 на квадрат, така че това е 4 минус 1, което дава 3. Имаме вектор [2;3], който съответства на тази входна точка. При векторното поле просто свързваме двете неща. Ще взема вектора [2;3] и ще го свържа с тази точка. Имаме х-компонент 2 и после у-компонент 3. Ще изглежда приблизително така, да видим, у-компонентът е 3, нещо като това. Това е векторът, който съответства на тази точка. По принцип трябва да направим това за всички точки. Ако го направим, ще получим нещо подобно. Спомни си, че когато представяме тези, особено с помощта на компютър, обикновено има изопачаване, защото всеки вектор, който е представен тук, е много, много по-къс от реалната си дължина. Но понеже искаме да съберем всички вектори на една страница, така че да не се застъпват, е прието да се използват цветове, които да кодират реалната дължина на векторите. Сините вектори са много по-къси от жълтите вектори, но ние не знаем точно какви са техните дължини. При частните производни ни интересуват много тези конкретни данни. Ако се върнеш назад, за да видиш как интерпретираме частните производни в някои различни контексти, това, което правим, е да си представим частно х тук като една малка промяна по посока х. Значи това е нашата първоначална входна стойност. която можем да си представим, че се премества с малко, а размерът на тази малка промяна, разглеждан като числена стойност, ще бъде частно х. Въпросът е каква е съответната промяна на изходната стойност. Тъй като изходната стойност е вектор, промяната на изходната стойност също ще бъде вектор. Имам предвид, че има някакъв друг вектор, който е свързан с тази точка, нали? Той ще изглежда по много сходен начин. Може би ще изглежда като нещо подобно. Нещо подобно на това, но малко по-различно. Сега искаме да намерим тази разлика във вид на вектор. Ще опиша какво имам предвид след малко, а после делим това на големината на първоначалната стъпка. За да бъда още по-конкретен, ще кажа, че ако сравняваме два различни вектора, които имат общо начало, мисля, че е добра идея да ги преместим в ново пространство, където те започват от една и съща точка. В този случай ще начертая едно отделно пространство ето тук. Ще си го представим като мястото, на което живеят тези вектори. И двата вектора са в тази равнина, но те имат общо начало. Първият вектор има компоненти 2 и 3. Ще го именувам, ще го нарека вектор v1. Това е вектор v 1. След това леко промененият изходен вектор ще нарека вектор v2. Да кажем, че вектор v2 също е в това пространство, като малко ще преувелича разликата, просто за да виждаме добре. Да кажем, че този вектор е по-различен. В реалността, ако това е малка промяна, векторите ще се различават съвсем малко. Но нека приемем, че това са нашите два вектора. Разликата между тези вектори ще бъде трети вектор, който свързва техните върхове. Ще го нарека вектор частно v. Начинът, по който можем да разглеждаме това, е да кажем, че този вектор v1, първоначалният вектор, плюс тази малка промяна, разликата между двата вектора, е равна на вектор v2, който е изходният вектор след промяната. По правилото начало към край – това ти е познато – зеленият вектор плюс синия вектор дават розовия вектор, който свързва началото на първоначалния вектор v1 с края на новия вектор v2. Когато разглеждаме частната производна, ние все едно казваме: "Какво се случва, ако вземем тази малка промяна, размера на промяната на изходния вектор, и после я разделим на промяната на входния вектор?" Да помислим колко е първоначалната промяна. Може би размерът ѝ е 1/2 или нула цяло и пет. Това е промяната в посока х. Това означава да дойдем тук и да попитаме колко е това dv. Този вектор на промяната v, разделен на dх, т.е. делим на 0,5, като по принцип можем да кажем, че това означава, че имаме един вид мащабиращ коефициент 2. Все едно да кажем, че това малко dv е 1/2 от някакъв друг вектор. Този друг вектор е това, което е частната производна. Значи този друг вектор тук, този син вектор, е dv, който е мащабиран, смален или уголемен, както искаш го наречи, с мащабиращ коефициент частно х. Точно това прави това... по принцип, ако частно х е много малка промяна, например една стотна, а промяната на изходната стойност също е много малка, например 1/100, или нещо от този порядък, няма да е точно това, но тогава dv, dx, тази промяна, ще бъде вектор с нормален размер. Посоката, в която сочи, отново ще съответства на посоката, в която този зелен вектор трябва да се промени, когато ги съберем. За да бъдем по-конкретни и да пресметнем това, да кажем, че намираме частната производна частно v по отношение на х, и и да я изчислим в точка (1; 2), която разглеждаме – точка (1; 2). Това ще означава, че у е равно на 2, значи първият компонент е 2, а след това х е равно на 1, така че следващият компонент е минус 2. Сега виждаме колко погрешен е моят чертеж, като начало. Аз един вид прогнозирах какъв ще бъде розовият вектор, но се оказва, че той се променя в посока (2; –2). Това ще е нещо такова... ще изтрия това, оказва се, че тази посока тук е грешна. Ще изтрия този вектор. Предполагам, че промяната ще е по направление х-компонент равен на 2, а после у-компонент равен на минус 2. Векторната производна ще изглежда ето така. Това означава, че съответните малки промени dv ще бъдат малки промени, малки промени на това. Това са нашите промени dv. Сочат в тази посока. Във векторното поле това означава, че когато се движим по посока х и разглеждаме различните вектори, свързани с всяка точка, един вид минаваме през точката (1; 2), начинът, по който се променят векторите е малко надолу и надясно. Върхът се премества надолу и надясно. Ако това започне високо горе и надясно, тогава се получава малко по-къс вектор, а след това по-дълъг надясно. След това вектор v2, ако трябва да го начертая по-прецизно, това е как изглежда промененият изходен вектор, той ще изглежда като нещо такова, не знам, може би ето така, като става по-къс в посока у, а по-дълъг в посока х, както се вижда от тази синя стрелка. В следващото видео ще разгледаме още примери за това как да разглеждаме това, как да разглеждаме значението на всеки един от компонентите. Това ще бъде много важно за следващите теми като разходимост и ротация. До скоро!