Разглеждане на частните производни на вектори полета по отделни компоненти

Да продължим разглеждането на частните производни на векторни полета. Това е от тези неща, които са много добра подготовка за някои важни понятия, с които предстои да се запознаем в анализа на функции на много променливи, също така е добре да вземем едно сложно нещо и един вид да го разбием на части и да го разгледаме стъпка по стъпка. Едно векторно поле като това, което виждаш тук, може да се представи чрез векторна функция, и понеже е двумерно, то ще има някакъв вид двумерни входни стойности. Изходната стойност е вектор, като всеки от компонентите му е някакъв вид функция на х и у, нали така? Ще запиша просто Р от х и у като х-компонент, и Q от х и у като у-компонент. Това са просто две скаларни функции. Прието е най-често тези функции да се означават като Р и Q. Това е едно от тези неща, които понякога ще срещаш даже в теореми във векторния анализ, където просто се използват Р и Q, и един вид се очаква от читателя да се досети, че Р и Q винаги се отнасят за х- и у-компонентите на изходната стойност на векторното поле. В този конкретен случай функцията, която съм избрал, всъщност е същата, която използвахме в миналия урок. Р равно на х по у, Q равно на у на квадрат минус х на квадрат. В предходното видео разгледахме как да интерпретираме частната производна на векторната функция v по отношение на една от променливите, което има своите предимства и мисля, че е добър начин да разберем векторните функции като цяло. Но сега ще направя нещо различно. Това е още едно ценно умение – да разсъждаваме поотделно за всеки отделен компонент. Ако просто разглеждаме функциите P и Q, ще имаме четири възможни частни производни, с които да работим – две от тях са по отношение на Р. Можеш да си представиш частната производна на Р по отношение на х и частната производна на Р по отношение на у. По същия начин за Q можем да разгледаме частната производна на Q по отношение на х – това трябва да е частно – или частната производна на Q по отношение на у. Имаме четири различни стойности, които можем да разгледаме, и да видим как те влияят на промяната на векторното поле като цяло. В този конкретен пример – всъщност нека да намерим тези производни. Производната на Р по отношение на х – Р е първият компонент ето тук. Намираме частната производна на първия компонент по отношение на х. у приемаме за константа. Константа по х – производната е просто тази константа. Ако намерим производната по отношение на у, ролите се разменят и частната производна е х, защото приемаме, че х е константа. Частната производна на Q по отношение на х – у приемаме за константа, минус х на квадрат дава минус 2 по х. След това производната по отношение на у – у на квадрат е функция, чиято производна е 2 по у, а минус х на квадрат приемаме за константа. Това са четирите възможни частни производни. Да видим дали можем да разберем как те влияят на функцията като цяло. Какъв е техният смисъл на чертежа, който виждаме ето тук. По-точно да се фокусираме върху една точка, някаква конкретна точка – избирам ето тази точка. Тя лежи на оста х. Тук у-компонентът е 0, а х е някакво положително число. Може би тук х е приблизително 2. Стойността, която искам да разгледаме, е (х; у), когато х е равно на 2, а у е равно на 0. Ако заместим тези стойности в частните производни, тогава това става нула, това става 2, минус 2 по х става минус 2. (допуска грешка, това е минус 4) После минус 2 по у дава 0. Сега да разгледаме частните производни на Р по отношение на х. Това означава, че разглеждаме как х-компонентът на тези вектори се променя, когато се движим в посока х. Например, около тази точка ние разглеждаме придвижване в посока х, най-общо казано. Ще разгледаме двата съседни вектора, като ни интересува какво се случва в посока х. Но тези вектори – единият сочи право надолу. Този вектор също сочи право надолу, както и този. Така че тук няма никаква промяна, когато разглеждаме х-компонентите на тези вектори, което е логично, защото стойността на частната производна в тази точка е нула. Частната производна на Р по отношение на х е нула, така че не очакваме промяна. Но от друга страна, ако разгледаме частната производна на Р по отношение на у, това трябва да е положително. Това означава, че промяната на х-компонента, когато се движим в посока у е положителна промяна. Идваме тук горе и сега няма да разглеждаме промяната в посока х. Сега не ни интересува промяната в посока х. Сега ни интересува какво се случва когато се движим нагоре като цяло. Ще сравним един вид тези два вектора. (огражда ги на чертежа) В този случай х-компонентът на този вектор е малко по-наляво от този на вектора под него, той е малко вляво. След това отиваме при нашия основен вектор, който е нула. Неговият х компонент е нула, защото той сочи право надолу. Тук горе векторът сочи мъничко надясно. Така че, когато у нараства, х-компонентите на тези вектори също нарастват. Повтарям, това е логично, защото частната производна е положителна. Тези два вектора ни показват, че когато у се променя, стойността на Р, т.е. на х-компонентът на нашата векторна функция – вероятно би трябвало да оставя това на екрана – х-компонентът на нашата векторна функция нараства, понеже стойността на производната е положителна. Обратно, да кажем, че разглеждаме Q-компонента ето тук. Какво става тук – разглеждаме промените на х, и си задаваме въпроса какво се случва с у-компонента на вектора. Идваме тук горе. Сега не ни интересуват промените в посока у. Вместо това ние разглеждаме какво се случва, когато се променя стойността на х, все едно тук се движим в хоризонтална посока. Отново разглеждаме съседните вектори. Сега у-компонентът в началото е малък, но отрицателен, после става повече отрицателен, после става още по-отрицателен. Ако продължим да разглеждаме тези вектори, виждаме, че у-компонентът става все по-отрицателен, т.е. той намалява. Стойността на Q, което е у-компонентът на тези вектори, намалява. Това е логично, защото частната производна тук е минус 2, което означава, че щом в началото е отрицателен, ще става още по-отрицателен. Ако е положителен в началото, тогава един вид тези вектори ще стават по-къси, защото техните у-компоненти стават по-малки. Накрая, за да завършим нещата, да разгледаме частната производна на Q по отношение на у. Сега ще разгледаме промените в посока у, като започваме да мислим, ако се движим надолу, а после тръгваме нагоре, какво се случва с у-компонента. Тук у-компонентът е малко отрицателен, нали? Сочи надолу и наляво. Надолу, защото е малко отрицателен. Тук у-компонентът също е малко отрицателен. Ето тук той остава малко отрицателен. От евристична гледна точка тук няма видима промяна. Може би се променя малко, но ние не можем да видим с просто око тези вектори така добре, че да го забележим, но всъщност, ако се върнем назад към анализа, ако погледнем какво сме пресметнали, тази частна производна всъщност е нула. Фактът, че изглежда, че тук няма някаква промяна на у-компонента на всеки от тези вектори съответства на факта, че частната производна на този у-компонент по отношение на у по отношение на вертикалното движение, е нула. Така че този вид анализ ни дава по-добра представа как да разбираме различните възможни частни производни и какво показват те във връзка с векторното поле, което дава добри възможности да се упражнява това разбиране, когато ще учим за дивергенция и ротация и се опитаме да разберем защо всеки един от тях представлява това, което трябва да представлява. Ще разбереш какво имам предвид само след няколко урока.