If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Графично представяне на частните производни

Един от най-добрите начини да разсъждаваме за частните производни е като ги сравним със сечения на графиката на функция на много променливи.  Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Привет! Тук е дадена графиката на една функция на две променливи и искам да обсъдим как можем да интерпретираме частната производна на тази функция. Конкретно тази фунция, която разглеждаме, е f от (х; у) равно на х на квадрат по у, плюс синус от у. Въпросът е, ако намеря частната производна на тази функция, това може да бъде частната производна по отношение на х, и да кажем, че искам да изчисля производната в точката (–1; 1), тоест търся стойността на частната производна в конкретна точка. Как можем да покажем това на тази графика? Първо да намерим къде е точката (–1; 1). Ако гледаме отгоре, това е оста х, това е оста у, а точката (–1; 1) се намира ето тук. . Това е минус едно, отиваме едно нагоре, и това е мястото, където точката се намира на графиката. Най-напред може би ти ще попиташ: когато намираме частна производна спрямо х, тогава приемаме, че променливата у е константа. Нека да продължим и да пресметнем това. Когато намираме частната производна по отношение на х, х на квадрат е променлива, а у приемаме, че е константа. Синус от у също трябва да е константа. Тогава... Когато диференцираме х на квадрат, получаваме 2 по х, по у, защото сме приели, че у е константа, а производната на константа е нула, а после ще изчислим целия израз за х = –1 и у = 1. Когато заместим тези стойности, получаваме 2 по –1, по 1, което е 2, извинявам се, това е минус 2. Но какво означава това? Изчисляваме частната производна и ти може би си мислиш, че един вид при едно такова малко отместване в посока х това е отместването на стойността на функцията f. Как изглежда това на графиката? Първо, това, че приемаме, че у е константа, е все едно правим сечение на цялата графика с една равнина, която представлява една постоянна стойност за у. Ако това е оста у, тогава равнината ще пресече оста у перпендукулярно, в точката, която представлява постоянната стойност на у. Тази равнина представлява постоянната стойност у = 1, но можеш да си представиш как преместваме тази равнина напред-назад, което представлява различни стойности на у. И така, общата частна производна – можеш да си представиш която си избереш, но тази тук се отнася за у = 1, и аз ще направя сечението на графиката в тази точка и ще построя една червена крива. Тази червена крива съдържа всички точки от графиката, за които у е равно на 1. Искам да подчертая, че тук у е равно на 1. Това е у равно на 1. Когато разглеждаме това, можем да кажем, че частната производна е наклонът, защото гледаме тази точка ето тук, и питаме как се променя функцията, когато се движим в посока х. От анализа на функции на една променлива вероятно знаеш, че разглеждаме това като наклона на правата, а за да бъда по-конкретен, мога да кажа, че започваме ето тук, разглеждаме някакво малко изместване тук, една малка стъпчица. Аз я чертая така, че да се вижда, но ти си представи една наистина малка стъпка, като нашето dx, а след това разстоянието при стойността на функцията тук е промяната на стойността на функцията... казах dx, обаче трябваше да кажа частно dx и частно f. Когато това изменение става все по-малко и по-малко, тази промяна тук ще съответства на същността на допирателната права, и затова имаме усещане за нарастване на наклона. Когато гледаш тази стойност, самата права притежава наклон приблизително минус 2, така че изглежда логично, че получаваме минус 2, като имаме предвид това, което наблюдаваме на графиката. Сега да намерим частната производна по отношение на у. Ще изтрия това тук и после ще върна графиката в първоначалния ѝ вид. Ще се отърва от тези неща, така че сега нямаме сечение спрямо у. Вместо това сега ще направим сечение за постоянна стойност на х. Това е оста х, а тази равнина представлява постоянната стойност х = –1. Можем да направим сечение на графиката тук. Един вид я срязваме и отново чертая тази червена линия, която представлява крива, но сега тази крива съответства на стойността х равно на –1. Това са всички точки от графиката, за които х е равно на минус 1. Когато намираме частната производна, ще разгледаме това като сечението... грешка, като наклона на получената крива. Този наклон ще изглежда ето така, това е нашата синя права, а сега да намерим частната производна на f по отношение на у. Ще работя тук и ще използвам различен цвят. Значи търсим частната производна на f по отношение на у, частно у. Връщам се тук горе и виждам, че имаме х^2 по у. Сега приемаме, че х^2 е константа. Поглеждаме тук и казваме: хей, х, ти си константа, у – ти си променлива, имаме константа по променлива, производната ще бъде равна просто на тази константа. Значи това е х^2. Ето тук имаме синус от у. Производната по отношение на у е косинус от у. Ако искаме да изчислим тази частна производна за точката (–1; 1), имаме –1 на квадрат плюс косинус от 1. Не съм сигурен колко е косинус от 1, но то трябва да е някаква малка положителна стойност, така че крайният резултат, който получаваме тука, ще бъде 1 плюс нещо, не знам плюс колко, но е нещо положително, а това е логично, защото като разгледаме наклона тук, виждаме, че той е малко над единица. Не съм сигурен колко е точно, но е малко повече от едно. Вероятно често ще чуваш да се говори за частни производни като наклон на сечение от графиката. Което е страхотно, ако разглеждаш функция, която има двумерен аргумент и едномерна изходна стойност, тъй като тогава можем да я представим графично. Но в други случаи това може да не е така. За функция, чийто аргумент съдържа много променливи, което ще обсъждаме по-нататък, когато имаш векторна функция, как ще изглежда производната... но е възможно да има функция, която има сто променливи и тогава със сигурност няма да можеш да я представиш графично. Но общият принцип е: Ако имаме една малка стъпка в тази посока – всъщност ще го разгледам отново в контекста на тази графика. Гледаме нашата точка тук и казваме, че ще направим една малка стъпчица в посока у. Това ще наречем нашето частно у. Това води до някаква промяна, предизвиква промяна в стойността на функцията, която ще нарека частно f. И ако си представим, че това изменение е много, много малко, получената промяна също ще бъде много, много малка. Нарастването на изместването ще ни даде наклона на допирателната в тази точка. Това е един от начините за тълкуване на това отношение, промяната на изходната стойност, която съответства на малка промяна на входната стойност. По-нататък ще разгледаме различни начини, по които можем да правим това. Мисля, че графиките са много полезни (смее се). Когато изместя това, текстът не се измества. Мисля, че графиките са много полезни за разглеждане на тези неща, но те не са единственият начин и не искам да свикваш прекалено много с тях, въпреки че са толкова удобни, когато работим с двумерен аргумент и едномерна стойност на функцията. До скоро!