If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Частни производни (въведение)

Частните производни ни показват колко се променя дадена функция на много променливи, когато се променя само една от входните променливи. Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Нека е дадена някаква функция на много променливи например функцията f от (х; у). Входните ѝ стойности са двумерни, и функцията е равна на, да видим, х^2 по у, плюс синус от у. Допустимо е само едно число. Това е функция със скаларни стойности. Въпросът е как можем да намерим производната на един такъв израз? Съществува метод, в който се използва т.нар. частни производни, които са много подобни на обикновените производни и аз искам да ти покажа, че те са по един прикрит начин едно и също нещо. За да го направя, първо да си припомним как тълкуваме начина на записване на обикновените производни. Ако имаме функцията f(х) = х^2, и ако искаме да намерим нейната производна, ще запиша това като df/dx. Искаме да намерим стойността на производната за х = 2. Харесвам този начин на записване на производните, защото той ми подсказва какво точно се случва. Ще скицирам една графика. На тази ос ще бъдат стойностите на функцията, тази ос представя входните стойности или аргументите на функцията. Графиката на функцията х^2 има параболична форма. Изглежда ето така. Сега да видим входната стойност х равно на две Това dx тук можем да опишем като много малко изместване в посока х. Това е един вид размера на това малко изместване. След това df е получената като резултат от промяна на изходната стойност, след като сме направили тази малка промяна на входната стойност. Значи това е получената промяна като резултат. Когато разглеждаш това отношение на графиката на функцията, това е наклонът. Това е един вид изменение след изместването, отношението на тази малка промяна на изходната стойност, която е резултат от малката промяна на входната стойност. Разбира се, това зависи откъде започва промяната. Тук х е равно на 2. Но можеш да разглеждаш това и без графиката на функцията, ако искаш. Можеш да си представиш дефиниционното множество просто като една числова ос, а множеството от стойностите на функцията също като числова ос, ето тук е изходната стойност на f. Така просто трябва да си представиш как да изобразиш числата от едната числова ос на другата числова ос. В този случай първоначалната промяна, първоначалното малко dx, ще бъде същата промяна на числовата ос. Искаш да разбереш как това влияе на самата функция. Може би тази промяна предизвиква четири пъти по-голямо изменение, което означава, че производната е четири по стойността на тази точка. Разглеждам всичко това, защото в света на функциите на много променливи ще правим до голяма степен съвсем същото нещо. Можеш да напишеш df/dx и да го тълкуваш по следния начин: как една малка промяна на входната стойност в посока х влияе на изходната стойност на функцията? Но в този случай начинът, по който можеш да визуализираш това, е че тук разглеждаш дефиниционното множество като пространство. Ще го начертая ето тук като равнината ху. Сега няма да чертая функцията, а тук всяка точка в тази равнина е входна стойност. Да кажем, че разглеждаме тази точка (1; 2). В този случай намирам входната стойност (1; 2) и искам да разбера как малка промяна на входната стойност, тази малка промяна dx – как тя влияе на стойността на функцията. В този случай стойността на функцията отново е просто едно число. Ето тук отстрани ще начертая една числова ос, която представя стойностите на функцията. Да си представим, че тази функция изобразява точките от тази равнина върху числовата ос. Казваме, че това е dx, тогава каква ще е промяната на стойността на функцията? Може би тази промяна сега ще е отрицателна. Зависи от конкретната функция. Това тук е df. Можем да използваме и променливата у. Няма причина да не можем да вземем dy/df и да я разгледаме в точката (1; 2). Ще я тълкуваме по съвсем същия начин. Само че този път dy e промяната по оста у. Тук може би трябва да акцентирам, че dx е промяната в посока х, а dy е промяната в посока у. Когато разглеждаме промяната на функцията в посока у, може би се случва нещо различно. Може би стойността на функцията нараства много, може би тя е по-чувствителна към промяната в посока у. Това зависи изцяло от конкретната функция. Ще ти покажа как можеш да пресметнеш нещо такова само след минутка. Но първо искам да покажа нещо, което е дразнещо, във връзка с частните производни, защото тях не ги записваме с оператора d като dx/df. Използва се различен начин за записване, който просто да показва на този, който гледа уравнението, че става въпрос за функция с много променливи. Това, което се прави, е да запишеш d, обаче с един вид извивка в горния край. Това е нов символ, който често се чете като "частно". Така че се чете като частно f, частно у. Ако обаче се чудиш защо наричаме тези производни частни, това донякъде показва, че производната не отразява в пълна степен как се променя f, защото тя не се променя само в посока х. Тук в този случай функцията не се променя само в посока у. Така че всяка от частните производни описва само част от картината. Да намерим една такава частна производна. Ще почистя дъската. Мисля, че аналогията с едномерна функция вече сме я разгледали. Ще оставя тези тук. Ако имаш такава ситуация – ще напиша отново тук отгоре. Частната производна на f спрямо х – имаме тази точка (1; 2). Интересува ни само движението спрямо посоката х, така че ще разглеждаме у като константа. Ще пренебрегнем факта, че у се променя. В този случай приемаме, че у винаги е 2. Значи можем да го заместим предварително. Казваме, че частно х – това е друг начин за записване – и поставяме тук израза. Казвам х на квадрат, но вместо да пиша у, просто замествам тази константа предварително. Защото, когато се движим само в посока х, това е един вид начинът, по който функцията с много променливи вижда света. Ще поставя малка бележка, че анализираме цялото нещо за х равно на 1. Това сега е една обикновена производна. Това е израз, който съдържа х, интересува ни как се променя, когато х се променя, и ние знаем как да определим това. Просто намираме производната на х^2 по 2, която е 4 по х, защото производната на х^2 е 2х. Производната на константа, синус от 2 е просто константа, и това е нула. Изчисляваме производната за х равно на 1, така че крайният резултат е 4. Само за упражнение можем да намерим и производната спрямо у. Поглеждаме тук – ще напиша същото нещо. Търсим частната производна на f спрямо у. Ще я изчислим за същата точка (1; 2). Този път не ни интересува промяната в посока х. Сега ще разглеждаме това, все едно х е просто константата 1. Записвам 1 на квадрат, по у, плюс синус от у. Сега можеш да кажеш: да изчислим това за у = 2. Един вид я пресмятаме за у = 2. Когато намираме производната, тя е просто 1 по у. Значи производната е 1. Ето тук производната е косинус от у – повтарям, че изчисляваме за у = 2. Значи крайният отговор е 1 плюс косинус от 2. Не съм сигурен колко е косинус от 2, но това е крайният отговор. Това е частната производна в дадената точка, но много често от теб няма да се иска да я пресмяташ за дадена точка, а ще се търси просто общата формула, в която можем да заместим всяка точка (х; у) и да получим съответния резултат. Така че нека да ти покажа как се прави това. То всъщност е много подобно, но сега, вместо да заместваме константа предварително, просто се преструваме, че имаме константа. ще направя малко място ето тук. Това повече няма да ни трябва. Ще оставя частно f, частно у. Искам някакъв общ случай на функция от х и у. Ще направим един вид съвсем същото нещо. Казваме, че това е производната по отношение на променливата х, като използвам знака за частна производна, за да подчертая, че това са частни производни. Сега записвам х на квадрат, а после подчертавам, че това е константната стойност на променливата у, плюс синус, и отново казвам у. Тук записвам променливата у, но ние се преструваме, че тя е константа, преструваме се, че заместваме 2 или някоя друга стойност. И просто намираме производната. В този случай производната на х^2 по някаква константа, е просто 2 по х, по тази константа. Ето тук производната на константата е винаги нула. Значи тази част винаги ще бъде нула. Това е частната производна, дадена с обща формула. Когато заместим 1, а тук заместим 2, ще получим предишния резултат. По същия начин можем да намерим частната производна по отношение на променливата у. Записвам съвсем същите неща, но сега производната е по отношение на у. Всъщност просто ще копирам ето тази формула. Този път ще приемем, че всички членове, които съдържат променливата х, са константи. В този случай, когато намираме производната по отношение на у от някаква константа, константата на квадрат дава друга константа, по у, което ще бъде равно на тази константа. Получаваме х на квадрат. Ето тук търсим производната на синус от у. Тук няма х, така че остава само синус от у. Това сега е една по-обща формула. Ако заместим 1 и 2, ще получим 1. О, извинявам се, това е косинус от у. Това е косинус от у, защото това е производната от синус. Ако заместим 1 и 2, ще получим 1 плюс косинус от 1, което е същото като това, което получихме преди. Това е точно начинът, по който ще срещаш как се намират частни производни. Преструваш се, че едната от променливите е константа и намираш обикновена производна по отношение на другата променлива. Но през цялото време можеш да си представяш, че се движим само в едната посока за някакъв аргумент, за да видим как това повлиява функцията. После може да разгледаме движението в една посока за друг аргумент, за да видим как това влияе на функцията. В следващото видео ще ти покажа какво означава това по отношение на графиките и наклоните, но по-важното е да разбереш, че графиките и наклоните не са единственият начин да осмислим какво са производните, защото започнем ли да разглеждаме векторни функции или функции в повече от две измерения, тогава вече няма да можем да ги представяме графично. Но тази представа за леко преместване на аргумента в някаква посока и определяне как това влияе на стойността на функцията, а после намирането на отношението на изменението на стойността на функцията към изменението на аргумента, това е един много универсален начин за разглеждане на нещата. Това ще ни бъде от голяма полза, когато продължаваме напред в анализа на функции на много променливи.