Симетрия на вторите частни производни

В последните няколко урока разглеждахме частните производни на функции на много променливи. Сега ще разгледаме втора частна производна. Ще напиша някаква функция на много променливи. Нека да е дадено синус от х, по у на квадрат. Синус от х, умножено по у на квадрат. Частната производна има два варианта, защото имаме две променливи. Можем да изберем едната посока и да намерим частната производна на f по отношение на х. Това, което трябва да направим, е да приемем, че х е променлива, когато разглеждаме посоката х. Приемаме, че у е константа. Диференцираме функцията, като казваме, че производната на синус от х е косинус х. Знаеш, че диференцираме по отношение на х. После това изглежда, че умножаваме по константа. Просто продължаваме да умножаваме това по константа. Но можем да разгледаме и другата посока. Можем да решим да намерим частната производна по отношение на у. В този случай приемаме, че у е променлива. Ето тук разглеждаме у. Разглеждаме у на квадрат като променлива. х сега е константа. Синус от х тогава е синус от константа, което също е константа. Това ще бъде константата – синус от х, умножена по производната на у на квадрат. Тази производна е 2 по у. Това са така наречените първи частни производни. Можем да ги запишем и по друг начин – df, dy. Можем да използваме също и долен индекс у. Ето тук, по същия начин, можем да запишем f с долен индекс х. Всяка от тези две функции, тези две частични производни, които получихме, също са функции на много променливи. Техният аргумент съдържа две променливи, а изходната им стойност е скалар. Така че можем да направим нещо много подобно, можем да намерим частната производна по отношение на х на тази частна производна на оригиналната функция, тази частна производна по отношение на х. Това е точно като втората производна в обикновения математически анализ, но сега намираме частна производна. Когато диференцираме по отношение на х, косинус от х е косинус от променлива. Производната му е минус синус от тази променлива. у на квадрат отново е просто константа. у на квадрат си остава константа. После, по същия начин, можем да изберем някой друг вариант. Да намерим, например, частната производна по отношение на у от тази функция тук, която самата е частна производна по отношение на х. Ако направим това, тогава у на квадрат вече е променлива. Намираме производната на у на квадрат, която е 2 по у. Това, което е отпред, сега е константа, поне по отношение на променливата у, спрямо която диференцираме. Значи това остава косинус от х. Да видим как се записва това. Първо, точно както в обикновения математически анализ, прието е да се използва едно грубо записване, като този вид производна записваме частна втора производна от f, делено на частно х с горен индекс 2. Това обичайно... не знам. Когато учих тези неща за пръв път, това винаги ме объркваше, защото това записване по Лайбниц, то ни дава добра представа, досещаш се – промяна на х и промяна на f. Това е един вид се загубва, когато записваме по този начин. Но е логично, когато разглеждаш този знак за частна производна – това частно х – ако го разглеждаме като оператор, който просто прилагаме два пъти. Ето тук, начинът, по който това изглежда, това е донякъде смешно. Защото пак имаме този горен индекс 2 на частната производна на f. После отдолу записваме частно у, частно х. Подреждам ги по този начин, само защото показва, че съм диференцирал в този ред. Това показва, че първо съм намерил частната производна по отношение на х. След това намираме частната производна по отношение на у. Можем да направим това тук отстрани. Това е доста трудоемко, но си заслужава да се направи, защото ще получим резултата, който виждаме ето тук, което намирам за изненадващо, всъщност. Тук, ако следваме пътя на намиране на частните производни, в този случай това е частната производна по отношение на х. Разглеждаме това, че диференцираме нашата оригинална частна производна по отношение на х. Тук синус от х е променлива. 2 по у е константа. Това, което получаваме, е производната на синус от х – косинус от х, умножена по това 2 по у. Тук трябва да отбележа нещо, което е много готино, което може би приемаш за дадено. Може би си помисли, че е изненадващо, както си помислих аз, когато го видях за пръв път. Тези две частни производни се оказват равни. Въпреки че минахме по различен път, стигнахме до едно и също нещо, нали? Първо намерихме частната производна по отношение на х, получихме косинус от х, по у на квадрат. Това е различно от синус х, две по у. Но после, когато диференцирахме по отношение на у, получихме някаква стойност. И когато минахме по другия път ето тук, получихме същата стойност. Може би начинът, по който записваме втората частна производна, е начин да кажем, че... Само ще копирам това ето тук. Можеш да кажеш, че частната производна на f, когато диференцираме в другата последователност, когато вместо първо да диференцираме по отношение на х, а после по отношение на у, ако диференцираме по у, а после по х... Частно х. Тогава тези две втори частни производни са равни помежду си. Това е много хубав резултат. В този случай, понеже първоначалната функция е произведение на два множителя, можем един вид да разберем защо това е така. Но изненадващото е, че това важи за... всъщност не важи за всички функции. Съществува определен критерий. Има специална теорема, която се нарича теорема на Шварц. Тя гласи, че ако вторите частни производни на функцията са непрекъснати в дадена точка, това е условие те да са равни помежду си. Но в общия случай, функциите, за които можеш да очакваш да срещнеш, това, е вярно. Че редът на диференциране при вторите частни производни е без значение. Това е вярно, което всъщност е много яко. Препоръчвам ти да си поиграеш с някои други функции. Просто вземи някакви функции на много променливи, може би малко по-сложни от произведение на две различни неща, и виж дали това е вярно. Опитай се да докажеш защо това е вярно в определени случаи. Мисля, че това е едно много хубаво упражнение. И преди да приключа, трябва да спомена още нещо, свързано с начина на записване, който се използва. При втората частна производна понякога вместо да записваме частно f с горен индекс 2, частно х с горен индекс 2, просто се записва частно и после х, х. Ето тук това ще бъде частно. Да видим, първо диференцираме по х, а после по у. Ето тук диференцираме първо по х, а после по у. Един вид в обратен ред. Защото четем от ляво надясно. Но когато използваме този ред, един вид четем от дясно наляво това по какъв ред умножаваме. Което означава, че това тук, да видим – ето това тук. Сега това е частната производна. Първо диференцираме по у, а после диференцираме по х. Така че просто записваме по два различни начина едно и също нещо. Искам да кажа, че по този начин може да е малко по-удобно, когато искаш да запишеш цялото частно f с горен индекс 2, делено на частно х с горен индекс 2, или други подобни. С това приключвам.