If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Диференциал на векторна функция

Разбиране на диференциала на векторна функция. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В последните няколко урока разгледахме как можем да опишем една крива чрез радиус-вектор т.е. чрез една векторна функция. Най-общо казано, това е компонентата х като функция на времето, по единичния вектор в хоризонтална посока, плюс компонентата у като функция на времето, по единичния вектор във вертикална посока. Това евентуално ще опише – ако например си представиш една частица, а да кажем, че с параметъра t означим времето – това ще опише къде се намира частицата в определен момент. Ако искаме да опишем конкретна крива, като това се отнася само за някои криви – това е функцията r от t. Това е приложимо само тогава, когато t е по-голямо от а и t е по-малко от b. Това може да опише някаква крива в две измерения. Ще я начертая ето тук. Това е просто преговор на последните два урока. Значи тази крива може да изглежда приблизително по този начин, като тук t е равно на а, а тук t е равно на b. r от а ще бъде този вектор ето тук, който завършва в тази точка. После, когато t... ако си представиш, че параметърът, който представлява времето, не е задължително да е времето, но просто така е по-удобно да си го представим. Всяка съответна на t точка от кривата, когато t става все по-голямо и по-голямо, е различна – уточнявам, дефинираме различни точки от траекторията. Видяхме това преди два урока. В последното видео разгледахме какво означава да намерим производната на една векторна функция. И достигнахме до идеята, че – всъщност това не е хипотеза, защото ние по същество го доказахме. Ние изведохме определението, че производната – можем да я означим с r прим от t – че тя е вектор. Производната на една векторна функция също е векторна функция. Тя е равна на – по начина, по който я дефинирахме – равна е на х прим от t, по i, плюс у прим от t, по j. Можем да запишем това – аз ще покажа всички различни начини на записване, за да ги познаваш – dr/dt е равно на dx/dt. Това е просто една стандартна производна. х от t е скаларна функция. Това е стандартната производна, умножена по i, плюс dy/dt по j. Ако искаме да разгледаме диференциалната форма, едно нещо, за което можем да помислим – винаги, когато намирам диференциалната форма, го правя малко повърхностно. Не го правя съвсем изчерпателно. Но ако си представиш, че умножим двете страни на уравнението по много малко dt или точно по това dt, тогава получаваме, че dr е равно на... ще го оставя така, dx/dt по dt – мога да съкратя тези, но засега няма да го правя – по единичния вектор i плюс dy/dt по dt, по единичния вектор j. Можем да преработим това. Просто го разписвам по всички различни начини, по които можем да го запишем. Можеш също така да напишем, че dr е равно на х прим от t, dt, по единичния вектор i. Това трябва да е х прим от t, dt. Това е х прим от t ето тук, по единичния вектор i, плюс у прим от t – това е точно това ето тук – (посочва на екрана) по dt, по единичния вектор j. И за да станат три за щастие другият начин, по който можем да запишем това, е, че dr е равно на... ако съкратим тези, тогава получаваме равно на dx по i, плюс dy по j. Това е много логично. Ако разгледам произволно dr, да кажем, че разгледаме промяна между този вектор и този вектор, (посочва на екрана) да кажем, че това е една много малка промяна ето тук, което е нашето dr, което се състои от... това е нашето dx, промяната на х, която е точно ето тук. (посочва на екрана) Можеш да си представиш, че точно това по... но ние го превръщаме във вектор, като го умножаваме по единичния вектор в хоризонтална посока. Плюс dy по единичния вектор във вертикална посока. Когато умножаваме това по разстоянието, по единичния вектор, по същество получаваме този вектор Когато умножим това – всъщност промяната по у тук е отрицателна – тогава ще получим този вектор ето тук. Когато съберем тези два вектора, получаваме изменението на действителния радиус-вектор. Всичко това е донякъде подготовка. Това ще ни бъде полезно в следващите видео уроци. Всъщност ще спра дотук, защото наистина исках само да ти покажа начините на записване, за да ги познаваш. В следващия урок ще ти покажа какво точно означава това, което записахме ето тук, (посочва трите формули на екрана) как се променя в зависимост от различните параметризации. Ще направя две различни параметризации за една и съща крива.