Въведение във векторни функции

Нека да кажем, че е дадена една крива c, която е дефинирана чрез параметър. Нека да кажем, че х = х(t), а у е равно на някаква функция y(t). И нека да кажем, че тези функции са дефинирани в интервала между а и b. t е по-голямо или равно от а, и t е по-малко или равно от b. Ако трябваше да начертая кривата, то бих я начертал по следния начин. Засега ще остане много общо. Това не е много конкретен пример. Това е оста х, а това е оста у. Дадената крива – нека да кажем, че това е t равно на числото а – би могла да изглежда по ето този начин. Не знам какво точно прави, но нека да кажем, че е прекъсната ето тук. Това е t равно на числото b. Тази конкретна точка тук ще бъде x от b - това е х координатата, т.е. функцията е изчислена в т. b, и у от b. Тоест, (х(b); у(b)). А тази тук, разбира се, е изчислена за t равно на числото а. Действителните координати ще бъдат х(а), което е тази стойност тук, и след това у(а), което е тази стойност ето тук. Тоест, (х(а); у(а)). Виждали сме подобен случай в предни уроци. Това е стандартен начин за определяне на параметрично “ уравнение, или за крива, като се използват две параметрични уравнения. Това, което искам да направя сега, е, да опиша същата тази крива, като използвам векторно зададена функция. Ще дефинирам какво е векторно зададена функция – ако не си спомняш какво представлява, - ще направим кратък преговор в настоящия урок. Нека да кажем, че имаме дадена векторна функция r. Ще поставя малка стрелка за вектор отгоре над буквата. В много учебници буквата r просто е удебелена, а скаларните функции не са с удебелен шрифт. Трудно е обаче да я направя удебелена, така че ще поставя малък знак за вектор отгоре над буквата. Нека да кажем, че r е функция на t. Това ще бъдат радиус-вектори. Радиус-вектори. Радиус-вектори. Наблягам на това, защото по принцип, когато говорим за вектори, този и ето този вектор се считат за еквивалентни, доколкото имат еднаква дължина и посока. Никой не се интересува в действителност какви са техните начална точка и крайна точка, доколкото направлението и дължината им са еднакви. Когато говорим за радиус-вектори обаче, все едно казваш, "Не, всички тези вектори ще започват от нулата, т.е. от началото на координатната система." Когато заявиш, че това е радиус-вектор, все едно неявно заявяваш, "Този вектор определя уникално местоположение (позиция)." В дадения случай ще се намира в двумерно пространство, но може и да е в тримерно пространство. Или дори четири, пет, или n-мерно пространство. Когато заявиш, че имаш радиус-вектор, все едно казваш, "Добре, този вектор буквално определя ето тази точка в пространството." Нека сега да видим дали може да опишем тази крива като векторна функция, зададена с радиус-вектори. Може да кажем, че е дадено r(t). Нека да сменя с този розов цвят. О, продължава да бъде зелен! r от t е равно на х от t, умножено по единичния вектор i в направлението на х. Единичният вектор има знак като една малка колибка отгоре. Нещо като малка шапка, която е вместо стрелката за вектори. Това просто означава, че е единичен вектор. Плюс у от t по j. Ако имах дадена крива в три измерения, щях да запиша плюс z от t, по k. Действително обаче имаме дадена крива в две измерения. Начинът, по който се получават векторните функции, просто вземаш... Имаме всяка стойност t, a t отново ще бъде по-голямо или равно на а, и по-малко или равно от b. Дефинирана така, тази функция е абсолютно същата функция като тази. Нека само да я начертая отново. Нека да начертая координатната система. Координатната система ето тук. Това са осите. Това е оста у, а това е оста х. И така, имаш да изчислиш функцията r(а), нали така? Това е началната точка за функцията. Имаме r(а), което ще запиша ето тук. Функцията, зададена с радиус-вектори, в точката t = а ще бъде равна на х от а, умножено по единичния вектор в направлението на х. Плюс у от а, умножено по единичния вектор във вертикално направление, т.е. в направлението на оста у. А как ще изглежда това на графиката? х(а) е ето това нещо тук. Имаме х от а, умножено по единичния вектор. Реално, единичният вектор може би е с ето тази дължина. Има стойност единица, така че сега просто имаме дължината на х(а) в направлението на х. Същото нещо се получава и за у(а). Ще се получи дължината на у(а) в направлението на у. Накрая обаче, т.е. резултантният вектор r от a ето тук, ако събереш тези два вектора, които получи от умножението на тези два единични, вектора то ще получиш вектора r(а), който изглежда по следния начин. Ще бъде вектор, който изглежда като нещо такова. Ето така. Това е вектор. Радиус-вектор. Затова го привързваме към началото на координатната система, но го чертаем в стандартен мащаб и позиция. Изобразеното тук е векторът r от a. А какво се случва, ако а нарасне малко? На какво е равно r от а плюс още малко? Може да го наречем r от a плюс делта, или r от а плюс h. Ще го запиша с различен цвят. Нека да кажем, че увеличим числото а с малко, тогава се получава r от а плюс тази малка разлика h. Ще се получи х от а плюс h, умножено по единичния вектор i, плюс у от а плюс h, умножено по единичния вектор j. А как ще изглежда това? Просто ще се придвижим още малко по-напред по кривата. Същото е като да изберем координатите х от а плюс h и y от a плюс h. Може да се получи ето тази точка тук, така че ще се получи нов единичен вектор. Ще се получи нов единичен вектор. О, извинявам се! Ще се получи нов радиус-вектор, а не единичен вектор. Не е задължително получените вектори да са с дължина единица. Това може да е тази точка ето тук. Нека да я направя със същия цвят като ето тази. Може би се получава нещо ето такова. Нещо подобно. Тогава този вектор ето тук е r от а плюс h. Забелязваш, че когато увеличаваш стойността на параметъра t, докато достигнеш до b, получените радиус-вектори продължават да определят конкретни точки от дадената крива. Нека да начертая кривата с различен цвят. Кривата изглежда като нещо такова. Трябва да изглежда точно както кривата, която съм начертал тук горе. Например, r от b ще бъде вектор, който изглежда като нещо такова. Ще бъде вектор, който изглежда по подобен начин. Искам да го начертая сравнително прав. Този вектор ето тук, е векторът r от b. Надявам се, че разбираш, че тези радиус-вектори наистина определят същите точки от кривата, както първоначалните параметрични функции, които определят кривата. Исках да направя този урок като малък преговор, защото предстои да се захванем с идеята за намиране на производна на векторни функции. Точно това ще разгледам в следващия урок.