Трансформации, част 1

Говорих доста за различните начини, с които могат да се визуализират функции на много променливи. Този вид функции се характеризират с някакъв вид многомерни входни данни или изходни стойности. Сред тези начини на визуализация са графиките в три измерения, които са често срещани. както и контурни карти, векторни полета и параметрични функции. Сега искам да разгледаме един от най-любимите ми начини за анализ на функции и това са трансформациите. Винаги, когато имаме някаква функция, ако я разглеждаме съвсем абстрактно, си представяме, че съществува някакво дефиниционно множество. Ще го нарисувам като един балон, въпреки че, както се досещаш, това може да бъде и една числова ос. Може да е числова ос или може да е пространство с три измерения. После имаме множество от стойностите на функцията. Отново съвсем общо ще го представя като ето този балон. Разбира се, че то може да е и числова ос, равнина х-у или пространство с три измерения. Функцията е просто един начин да свържем аргументите на функцията и стойностите на функцията. Всеки път, когато опитваме да визуализираме една функция, например с помощта на графика или на контурна карта, се опитваме да свържем двойки аргумент - стойност на функцията. Досещаш се, ако аргументът на f е... например аргументът е 3 и се изобразява във вектор (1;2). Въпросът е как свързваме числото 3 с вектора (1; 2). Идеята на трансформациите е, че просто наблюдаваме как действителните точки от дефиниционното множество се изобразяват в множеството на стойностите на функцията. Ще дам един прост пример с една едномерна функция. Аргументът на функцията съдържа една променлива. Стойността на функцията също съдържа една променлива. Да разгледаме функцията f от х равно на х на квадрат минус 3. Начинът за визуализиране, с който сме свикнали, когато имаме подобна функция, е да построим графика. Може би си представяш някакъв вид парабола, която е леко смачкана надолу с три. Но сега аз не искам да използвам графики. Искам просто да се запитам: как тези аргументи се преместват до тези изходящи стойности? Например, ако вземем нула, когато заместим с нула, получаваме минус 3. Нула на квадрат минус три е равно на минус три. Значи някак нулата трябва да отиде в минус три. По същия начин, ако заместим х с 1, получаваме 1 на квадрат минус 3, което дава минус 2. Искаме да видим как едно отива в минус 2. Само още един пример. Да кажем, че заместим със самото 3. 3 на квадрат минус 3 е 9 минус 3, което дава 6. Значи при тази трансформация искаме да видим как 3 се премества в 6. С помощта на анимиране можем да видим как се случва това. По същество наблюдаваме, че тези три аргумента се преместват в съответните на тях стойности на функцията. Ето така. Всяко число се движи и финишира при съответната стойност на функцията. Сега ще почистя дъската. Записах кои са първоначалните входни числа ето тук отгоре. Това беше един начин да видим самото преместване. Ще пусна анимацията отново. Сега наблюдавай къде всяко число от дефиниционното множество се премества в съответната стойност на функцията. При функция с една променлива това се вижда хубаво, защото получаваме представа как аргументите се преместват в стойностите на функцията. Но става наистина забавно, когато разглеждаме функции на много променливи. Сега да разгледаме една функция, която има едномерни аргументи и двумерни стойности. Нека това да е функцията f от х с х-компонент косинус от х, а у-компонентът ще бъде х по синус от у. Извинявам се, х по синус от х. Да видим няколко примера. Ако заместим с нула, например, и ако проследим къде ще ни отведе нулата, ще имаме f от нула равно на косинус от нула, което е едно. После нула по всяко число дава нула. Значи ще видим, че нула отива в точката (1; 0). Значи очакваме нула да се премести ето тук. Сега да вземем числото пи. Търсим стойността на f от пи. Косинус от пи е минус едно. Получаваме пи по – синус от пи е нула. Значи това отново е нула. Тази точка е стойността, която съответства на нула. А това е точката, в която очакваме да финишира стойността на функцията за пи. Ако видим анимирано как се случва това, по същество наблюдаваме, че всеки елемент на дефиниционното множество се премества в множеството от стойностите на функцията, и получаваме нещо подобно. Повтарям – това е просто един добър начин да разглеждаме това, което реално се случва. Може да попиташ дали самото пространство се разтяга или се свива. Обърни внимание, че това е начинът, по който би изглеждала параметричната карта на функцията. Ако я разглеждаме като параметрична функция, ще получим ето това. Но докато при параметричните карти се изгубва информацията за входните данни, тук един вид виждаме как нещата се движат, когато отиваме от дефиниционното множество в множеството на стойностите на функцията. В следващото видео ще разгледаме как можем да анализираме функции с двумерни аргументи и двумерни изходни стойности като трансформации.