Трансформации, част 2

В последното видео те запознах с трансформациите и как можеш да разглеждаш функциите като преместващи се точки от едно пространство в друго пространство, а сега искам да ти покажа пример как изглежда това, когато дефиниционното множество е с две измерения. Това тук е нашето дефиниционно множество. Това е просто едно копие на равнината х;у, а множеството на стойностите на функцията също е двумерно, значи това е пространството на стойностите на функцията, което също е двумерна равнина. Сега първо ще покажа един пример за една такава трансформация, а после ще разгледаме по-подробно самата функция и как да тълкуваме трансформацията, която получаваме като резултат. Ето така изглежда. Тук ще се преместим. Това е много сложно, защото се движат толкова много точки. Тук се случват най-различни неща, но общото при този вид трансформации е, че когато разглеждаш движението от две измерения към две измерения, при условие, че това по същество е едно и също пространство, равнината ху, често просто разглеждаме дефиниционното множество и множеството на стойностите на функцията едновременно, вместо да наблюдаваме само как копие на тази равнина се изобразява във себе си. Между другото, когато казвам, че гледаме, нямам предвид, че винаги ще разполагаш с анимация като тази тук, която просто ще ти е на разположение. Когато мисля за трансформации, обикновено това е една много приблизителна представа, но ми помага да разбера какво се случва на практика с функцията. Ще се върна на това в края на видеото, а първо да видим какво представлява тази функция. Функцията, която зададох на компютъра, за да я анимира, е f от (х; у) равно на х на квадрат плюс у на квадрат като х-компонент на стойността на функцията; и х на квадрат минус у на квадрат като у-компонент на стойността на функцията. За да започнем да разбираме това, да разгледаме една проста точка като началото на координатната система. Това е началото с координати (0; 0), а сега да видим какво се случва с него. f от (0; 0). И х, и у са нули, така чу тук отгоре ще имаме нула. Същото важи и за долния компонент, който ще е равен на нула. Което означава, че точката (0; 0) се премества в самата себе си, а ако наблюдаваш анимираната трансформация, това означава, че точката (0; 0) стои на мястото си, все едно си я натиснал с пръста си и на нея не ѝ се случва нищо. Такава точка наричаме неподвижна точка за функцията. Този термин изглежда безсмислен, освен в случаите, когато разглеждаме функцията като трансформация. Да видим още един пример. Да вземем точката (1; 1). f от (1; 1). В дефиниционното множество – ще пусна анимацията, за да можем да разгледаме входната стойност. В дефиниционното множество точката (1; 1) се намира ето тук и ние искаме да разберем къде ще се премести тя. Когато заместим тази стойност във функцията – х^2 плюс у^2 е равно на 1 на квадрат плюс 1 на квадрат, а у-компонентът е х^2 минус у^2, което е 1 на квадрат минус у на квадрат. Опа, тук е 1 на квадрат, това е заместване. Получаваме точката (2; 0). Значи ще очакваме тази точка да се премести в точката (2; 0) по някакъв начин. Ако наблюдаваме анимираната трансформация, ще очакваме да видим как тази точка идва ето тук, като повтарям, че това е трудно да се види, защото има толкова много движещи се точки. Но ако гледаш много внимателно, действително точката ще дойде точно тук. Можеш, по принцип, да направиш това за всяка отделна точка и да видиш как тя се премества в съответната стойност на функцията. Но сигурно искаш да попиташ: "Хей, Грант, какъв е смисълът във всичко това?" Имаме и други начини за визуализиране на функции, които са по-точни и по-малко объркващи, честно казано. Векторните полета са чудесна визуализация за подобни функции, графиките са чудесен начин за визуализиране на функции с едномерен аргумент и едномерна стойност. Защо трябва да използваме трансформациите? Основната причина е концептуална. Тук не става въпрос за това, че винаги ще разполагаш с анимация, нито пък че ще анализираш с молив в ръка куп точки и начинът, по който се преместват. Но в математиката има множество различни концепции, особено при функциите, които, ако ги разглеждаш в светлината на трансформациите, това ти дава едно по-нюансирано разбиране. Например при производните или вариациите на производните, които ще учиш в анализа на функции на много променливи, има различни начини за тълкуване като разпъване или свиване на пространството и други подобни понятия, за които по същество нямат добър аналог при графиките и векторните полета. Така че това прибавя "нов цвят" към твоето разбиране. Трансформациите също така са много важна част от линейната алгебра. В един момент ще учиш каква е връзката между линейната алгебра и анализа на функции на много променливи. Ако имаш задълбочено разбиране на понятието трансформация и в контекста на линейната алгебра, и в контекста на анализа на функции на много променливи, ще можем много по-добре да разбереш връзката между тези два дяла на математиката.