Трансформации, част 3

Сега ще дам само още един пример за трансформация, след което ще преминем към самия анализ на функции на много променливи. В урока за параметрични повърхнини показах тази функция. Тя изглежда много сложна, има двумерни входни стойности и тримерни изходни стойности. Казхаме, че можем да я разглеждаме като начертаем повърхнина в едно тримерно пространство, която повърхнина се оказа повърхнината на един донът, който се нарича също така и тор. Сега искам да разгледаме как можем да разгледаме тази функция като трансформация. Първо искам да разгледаме какво е дефиниционното множество на тази функция. Можем да разглеждаме дефиниционното множество като цялата равнина (t;s), нали? Ще начертая оста t и оста s и цялата тази равнина и после да видим къде се изобразява тя. Но можем да вземем и едно малко подмножество. Ако поставим граници t да принадлежи на интервала от нула до 2 по пи, а после ако ограничим s в интервала от 0 до 2 по пи, вероятно се досещаш, че това е един вид област с форма на квадрат. Просто ще разгледаме този участък, и всъщност ще имаме всички точки, които са нужни, за да начертаем тора. Основната причина за това е, че когато t се изменя в интервала от 0 до 2 по пи, косинус от t приема всичките си стойности в целия интервал, преди да започне периодично да ги повтаря. Синус от t прави същото, както и функциите синус и косинус от s. Ако s се изменя в рамките на интервала от нула до 2 по пи, тогава се покрива един цял период на косинус и цял период на синус, така че няма да получим никаква нова информация при стойностите извън интервала. Това, което можем да направим, е да разгледаме този участък от равнината t;s, който един вид се намира вътре в едно тримерно пространство, което е един вид хитруване, но прави нещата по-лесни, за да си представим преместването на една конкретна област в пространството. Поне що се отнася до изработването на анимацията, е по-лесно да започнем в три измерения. Това, което си мисля сега, е, че този квадрат представя тази равнина t;s и тази функция, която взима всички точки в тази област с форма на квадрат като входящи стойности и приема стойности в тримерно пространство, като можеш да помислиш как тези точки се преместват в техните съответни изходни точки. Ще ти покажа отново анимацията. Започваме с равнината t;s и ако проследиш всяка входна точка по време на цялата тази трансформация, мястото, на което тя ще се окаже, е съответната изходна стойност на функцията. Тук трябва да спомена, че всички точки, които интерполираме между тези крайни стойности на интервала, нямат значение. Тяхната функция по същество е нещо много статично, има само входна стойност и изходна стойност. Ако разсъждавам в светлината на една трансформация, която по същество ги премества, то тогава тук има малко намесена магия, която трябва да се приложи, за да може анимацията да направи това и в този случай аз един вид я постявам в две различни фази, за да мога един вид да загъна едната страна и да навия другата, но това всъщност не е толкова важно, тъй като общата идея е, че започваме с квадрат, който сгъваме по някакъв начин, така че както и да решим да го сгънем, това всъщност е една много елегантна идея. Когато навлезем в анализа на функции на много променливи и започнеш да разглеждаш по-задълбочено повърхнините, мисля, че ще ти е наистина полезно да си представяш как ще изглежда как едно малка промяна на аргумента ето тук в твоето дефиниционно множество – какво се случва с тази малка промяна или как изглежда това малко преместване, ако направим същото движение някъде в пространството на изходните стойности. Ще имаш много възможности да мислиш върху това и да осмислиш идеята. Тук исках само да те амбицирам да разсъждаваш за този много елегантен начин за разглеждане на това какво правят функциите.