Контурни карти

Тук виждаме една тримерна графика, което означава, че тя съответства на някаква функция, която има двумерни входни данни и едномерна изходна стойност. Например може да е нещо от вида f от (х;у) равно на – и после следва някакъв израз, който съдържа х и у. Графиките са страхотни, но е доста трудно да се построят. Имам предвид, че не можеш просто да я начертаеш на един лист. Обикновено е нужен някакъв вид графичен софтуер, а когато направиш статична снимка на графиката, не винаги става ясно какво точно се случва. Сега ще ти покажа един начин, по който можеш да описваш тези функции и тези графики двумерно, просто като чертаеш върху лист обикновена двумерна хартия. Това е често срещан начин, който ще виждаш в учебниците или на черната дъска. Това е така наречената контурна или топографска карта. Идеята на контурната карта е, че взимаме тази графика и правим няколко сечения. Правим сечения с различни равнини, които са успоредни на равнината (х;у). Да помислим какво представляват тези равнини. Тази равнина тук долу представлява стойността z равно на минус 2. Това тук е оста z. Когато фиксираме z да е равно на минус 2, а стойностите на х и у нямат ограничения, тогава получаваме тази равнина. Ако увеличим z, но то отново е константа – да го увеличим с единица до минус 1 – получаваме нова равнина, която е успоредна на равнината (x;у), но е отдалечена от равнината (х;у) на разстояние 1. Останалите равнини съответстват на други константни стойности на z. Ако свържем това с нашата графика, това означава, че тези сечения представляват константни стойности на самата графика. Те представляват константни стойности на самата функция. Понеже винаги представяме стойността на функцията като височината над равнината (х;у), тогава имаме константни стойности на стойността на функцията. Това ще изглежда... Сега можем да се запитаме: Къде пресичат графиката тези сечения? Ще покажа всички точки, в които тези сечения пресичат графиката на функцията и се получават т.нар. контурни линии. Ние все още разглеждаме три измерения, така че още не сме приключили. Сега ще взема всички тези контурни линии и ще ги пренеса в равнината (х;у). Това означава, че всяка от тях представя z-компонента в момента, и ние просто ще я "изрежем", ще съберем всички такива контурни линии в една равнина – в равнината (х;у). Сега получихме нещо в две измерения, което отново представя някои от стойностите на функцията. Това не са всички стойности на функцията, това не е идеално, но ни дава доста добра представа за нея. Сега ще премина към двумерна графика. Това съответства на същата функция, която разглеждахме преди малко. Само ще я преместя малко по-централно. Това е същата функция, която току-що разглеждахме, но всяка от тези линии сега представлява конкретна стойност на функцията. Затова е важно да разберем, че ние отново представяме една функция, която има двумерен аргумент и едномерна изходна стойност. Просто сега ние разглеждаме пространството на дефиниционното множество на тази функция като едно цяло. Това пак е функцията f от (х;у), а после някакъв израз, който свързва тези две променливи, но тази линия може да представлява константна стойност на функцията f, когато стойността ѝ тук е равна на 3. Ето тук, също така, тези два кръга ти дават всички стойности, за които стойността на функцията f е равна на 3. Ето тук виждаме кога стойността на функцията е две. Няма как да знаеш тези стойности само от контурната карта, така че обикновено, когато някой ти представя такава графика, ако трябва да знаеш определени стойности, те обикновено ще бъдат отбелязани по някакъв начин. Ще бъде показано на каква стойност съответства всяка линия, и тогава, щом знаеш, че тази линия съответства на нула, това означава, че за всеки възможен аргумент, който лежи някъде върху тази линия, стойността на функцията е нула, когато заместиш този аргумент в нея. Това по същество дава много добра представа за формата на графиката. Ако искаш да го разглеждаш като графика, можеш един вид да си представиш, че тези кръгове и всичко тези линии ще изпъкнат над равнината на страницата. Можеш също така да забележиш – обърни внимание, че тези линии всъщност са доста близо ето тук, много са близки една до друга, докато линиите тук са по-разделечени. Какво означава това? Това сближаване означава, че е нужна много, много малка стъпка за да нарасне стойността на функцията с единица, много малка стъпка и функцията нараства с единица, докато ето тук е нужна много по-голяма стъпка, за да нарасне функцията със същата стойност. Така че това, което виждаме ето тук, означава по-голяма наклон (стръмност). Там, където има много малко разстояние между контурните линии, там функцията е много стръмна, докато ето тук е много по-малко стръмна. Можеш да анализираш тези неща, за да получиш по-добра представа за функцията като цяло. Когато има множество такива концентрични кръгове, обикновено това съответства на максимум или минимум, затова има много такива линии. Друго нещо, което хората често използват при контурните карти, е да използват различни цветове. Например ето тук по-топлите цветове като оранжево съответстват на високи стойности, а по-студените цветове като синьо съответстват на ниски стойности на функцията. Контурните линии ето тук са на границата между червено и зелено, между светло зелено и зелено, което е друг начин, по който цветовете ти показват стойностите на функцията и тогава самите контурни линии могат да се разглеждат като граници между различните цветове. И пак повтарям, че един добър начин да разглеждаме една многомерна функция е просто да разгледаме нейното множество от входни данни.