Тълкуване на графики чрез сечения

В последното видео разгледахме как да интерпретираме тримерни графики. Тук съм показал друга тримерна графика, която е една много особена "хълмиста" графика. Това е графиката на функцията f от х и у равно на косинус от х, умножено по синус от у. Бих искал да кажа също така, че тази графика представя z равно на общата стойност, защото разглеждаме стойността на функцията като z координатата на всяка точка. Сега бих искал да опиша как можем да тълкуваме връзката на тази графика и тези функции, които познаваме, като разглеждаме отделни сечения на графиката. Например, да кажем, че имаме сечението с тази равнина ето тук, като тази равнина тук представлява стойността на х равно на 0, тъй като можем да разглеждаме това като един вид оста х. Когато сме на нула по оста х, минаваме през началото на координатната система, а стойностите на у и на z могат да са всякакви, така че получаваме тази равнина ето тук. Да кажем, че искаме да разгледаме къде тази равнина пресича графиката. Значи ще ограничим нашата графика само до точките, в които тя пресича равнината. Ще начертая една малка червена линия над това място. Може би ти прави впечатление, че червената линия изглежда като синусоидална крива, всъщност тя изглежда точно като сисусоидалната функция – преминава през началото на координатната система, издига се нагоре... това е логично, когато заместваме различни аргументи в тази първоначална функция ето тук. Ако вземем функцията f и заместим х равно на нула, но ако позволим у да приема най-различни стойности, това означава, че имаме функцията косинус от нула, умножена по функцията синус от у. Колко е косинус от нула? Косинус от нула е равно на едно, така че цялата функция ще бъде просто синус от у, тъй като щом за у няма ограничения, тогава от стойността на функцията, която представлява координатата z, ще получим графика, която е просто една нормална двумерна графика, която вероятно ти е позната. Да проверим това в друга точка. Да видим какво ще се случи, ако вместо х равно на нула – да си представим, че имаме у равно на нула. Този път, преди да го начертая, и преди да ти покажа всичко, което се случва, нека да се опитаме да разберем от самата формула ето тук как би изглеждала функцията, когато заместим у равно на нула. Сега ще пиша от другата страна. f от... х приема най-различни стойности, обаче у е фиксирано като нула. Това означава, че имаме косинус от х, значи можем да очакваме нещо, което изглежда като графиката на функцията косинус, а после синус от нула. Колко е синус от нула обаче? Синус от нула е просто нула, и когато го умножим по косинус от х, това означава, че всичко става нула. Следователно можем да очакваме, че функцията ще изглежда като една константна функция, че винаги ще е равна на нула. Да видим дали наистина е така. Ще направя сечение с равнината у равно на нула. Гледаме оста у, виждаме къде е стойността у равно на нула, а x и z нямат ограничения. Ще направя сечение с графиката в тази точка, като, разбира се, това сечение е просто тази права, тази права, която съвпада с оста х. Но да си представим, че у приема друга постоянна стойност. Вместо у равно на 0 – ще изтрия всичко това, да кажем, че имаме сечение за някаква друга стойност на у. В този случай аз избирам у да е равно на пи върху две. Тук получаваме една синусоида, която прилича на графиката на функцията косинус. Вероятно се досещаш какво се случва. Това тук е когато х приема произволни стойности, а ако си представим, че заместим тук – всъщност направо ще го напиша. Получаваме косинус от х, а по оста у винаги е синус от пи върху две. Синус от пи върху две винаги е равно на 1, така че можем да го заместим с 1, което означава, че цялата функция ще бъде равна на косинус от х. Повтарям, в тази функция на много променливи сме "замразили" у, докато х приема произволни стойности. В крайна сметка графиката изглежда като тази на функцията косинус. Според мен това е отличен начин да разберем, че когато разглеждаме една тримерна функция, тогава можем... Да разгледаме отново оригиналната графика, когато не се случва нищо. Можем да се отървем от тази линия. Тогава получаваме тази графика, която изглежда вълниста и "хълмиста", в началото е малко трудно да се ориентираме, но ако я разглеждаме при условие, че едната променлива е константа, тогава всичко се свежда до нормална двумерна графика. Даже можеш да си представиш, като правиш сечения с равнините, все едно че разрязваш напред-назад, какво се случва с амплитуда на вълната, която виждаш, и други елементи. Това става особено важно, между другото, когато въвеждаме понятието частни производни.