Въведение към графики в три измерения

Привет! В този видео урок бих искал да опиша каква представляват тримерните графики. Тримерните графики са начин да представим определен вид функции на много променливи, в които аргументите са два, или имаме двумерен аргумент, и след това получаваме някакъв едномерна стойност на функцията. Функцията, която виждаме тук, е f(x,y) равно на х на квадрат плюс у на квадрат. Преди да разгледаме самата графика, мисля, че ще ни бъде полезно за сравнение да разгледаме двумерни графики, и да си припомним как стоят нещата при тях, какво точно изобразяваме, което е почти същото и когато имаме три измерения, но е нужно малко повече усилие за визуализацията. При графиките в две измерения разглеждаме някаква функция – например може да е f от х равно на х на квадрат, и винаги, когато построяваме графиката на функция, опитваме да покажем зависимостта между аргументите и стойностите на функцията. Тук и двете са просто числа, ако аргументът е 2, например, тогава стойността на функцията е 4. Ако аргументът е минус 1, стойността на функцията е 1. Опитваме се да видим всички възможни двойки аргумент - стойност на функцията. Фактът, че можем да направим такава връзка, че е толкова логично да можем да определим всяка възможна двойка аргумент- стойност на функцията, е невероятен. Начинът, по който построяваме графиката на функцията, е просто да нанесем тези действителни двойки, нали? Нанасяме точката, например, нека да нанесем точката (2;4), един вид да я поставим на графиката, две е тук – едно, две, три, четири. Ще нанесем някъде тук точката (2;4), която представлява една наредена двойка аргумент-стойност на функцията. Ако вземем например точката (-1; 1), ето тук е минус 1, тук е 1. Когато направим това за всяка възможна двойка аргумент-стойност на функцията накрая ще получим – може би не го чертая идеално, но ще получим една гладка крива. Когато построяваме графиката на функцията, обикновено поставяме на оста х аргументите, за тази точка ето тук аргументът е едно, а тук аргументът е 2, и така нататък, а после разглеждаме стойността на функцията като височината на графиката за всяка точка. Но това е един вид следствие от факта, че тук ние просто изреждаме всички такива наредени двойки. Ако сега се пренесем в света на функциите на много променливи – няма веднага да ти покажа графиката – просто да си представим, че имаме тримерно пространство, с което можем да правим всичко, което си поискаме. Все още искаме да разберем връзката между аргументите и стойностите на функцията, но в този случай можем да си представим аргументите като наредени двойки или точки, например наредена двойка е точката (1;2), а стойността на функцията ще бъде 1 на квадрат плюс 2 на квадрат, което е равно на 5. Как да изобразим това на графиката? Ако искаме да свържем тези стойности, съвсем логично е да си представим някакъв вид наредена тройка. В този случай това ще бъде наредената тройка (1;2;5), и за да я нанесем на графиката, когато имаме три измерения, да погледнем ето тук – имаме едно спрямо оста х, тази ос ето тук е оста х, така че се преместваме с една единица спрямо нея, след това се преместваме 2 спрямо оста у, един вид изминаваме разстояние две ето тук, и после отиваме 5 единици нагоре, което ни дава някаква точка, нали? Това е една точка в пространството, това е една дадена наредена тройка. Можем да направим същото за много други точки, за няколко различни точки, които ще получим, ако започнем да чертаем различни точки, тогава ще изглежда по ето този начин, като, разбира се, съществуват безкрайно много точки, които можеш да нанесеш, и ще отнеме цяла вечност, ако се опиташ да начертаеш всяка от тях в три измерения. Това, което е наистина хубаво в този случай, е... ще премахна тези линии – ако си представиш, че нанасяш безкрайно много наредени тройки, които може да съществуват, тогава ще получиш една повърхност. В този случай тази повърхност ще изглежда като тримерна парабола, което не е съвпадение, защото това е резултат от факта, че използваме функцията х на квадрат плюс у на квадрат. За аргументите като (1; 2) можем да си представим, че лежат в равнината ху, нали? Можем да си представим, че адресът на аргументите е тук, а това, което съответства на тази стойност на функцията, е височината на дадена точка над графиката в тази равнина, нали? Така че това е много подобно на това, което се случва при две измерения, където разглеждаме аргументите спрямо едната ос, а височината над нея ни дава стойността на функцията. И ще ти дам един пример какви са последствията от това, като искам да помислиш какво може да се случи, ако променим нашата функция на много променливи, например, ако умножим навсякъде по една втора? Ще чертая в червено, да видим – имаме една функция, ще променя първоначалната функция, така че тя да стане една втора по (х на квадрат плюс у на квадрат). Как ще изглежда графиката на тази нова функция? В този случай височината на всяка точка над равнината ху сега ще бъде наполовина. Така че това просто е една модификация на първоначалната ни графика, където всичко един вид се премества надолу на половината от първоначалната височина. В този случай ето тук, вместо височината да е пет, тя ще бъде 2,5. Вероятно се досещаш, че вместо тук да имаме 1/2, може да е нещо много по-екстремно, вместо една втора може да е една дванайста, ще използвам същия цвят – това ще е 1/12, което означава, че всички точки – досещаш се – всичко това става много по-плоско и се приближава до равнината ху. Значи графиката ще бъде много близко до равнината ху, тъй като на тези аргументи съответстват много малки изходни стойности. Искам да те предупредя за нещо – много е изкушаващо човек да си представи всяка функция на много променливи като графика, защото сме свикнали с графиките в две измерения, свикнали сме да търсим аналогии между две измерения и три измерения, но единствената причина, поради която това работи, е защото ако вземеш броя измерения в аргумента, две измерения, а после вземеш броя измерения в стойността на функцията, едно измерение, изглежда логично да ги напаснеш към три измерения, което можем да направим. Но си представи, че имаш функция на много променливи, в която да имаме, например, тримерен аргумент и двумерна стойност на изхода на функцията – тогава графиката следва да е в пет измерения, но ние не сме в състояние да визуализираме пет измерения. Съществуват много други методи, като бих казал, че е важно да бъдеш отворен към това какви може да са тези неща. По-точно, друг метод, който много скоро ще разгледаме – да си представим, че имаме тримерна графика, но тя е в двумерна координатна система, и ние просто ще разгледаме пространството на аргументите, което се нарича контурна карта. При някои други, например при параметричните функции, просто разглеждаме пространството на стойностите на функцията; например векторно пространство, един вид разглеждаме пространството на аргументите, но получаваме всички стойности на функцията. Има много различни начини, които ще разгледаме в следващите няколко урока. А днес се запознахме с тримерните графики.