If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Представяне на точки в три измерения

Научи как да представяш и да разглеждаш точки и вектори в тримерно пространство. Създадено от Грант Сандерсън.

Видео транскрипция

Много от начините, по които представяме функциите на повече променливи предполагат, че се справяме добре с представянето на точки в три измерения, както и с представяне на вектори в три измерения. Затова реших да направя отделно видео за това, за да разясня как описваме точки и вектори в три измерения. Преди да го направим, мисля че е добре да започнем с описанието на точки и вектори в две измерения. Предполагам, че ако изучаваш математически анализ на функции на много променливи вече си учил/а това. Може би се чудиш: "Какъв е смисълът. Вече знам как да представям точки и вектори в две измерения. Но тук е много важно да се направи аналогия, защото като започнеш да сравняваш две измерения и три измерения, ще започнеш да забелязваш закономерности как да разришириш това и до други измерения, които не е задължително да визуализираш, или кога може да е полезно да сравняваш едно измерение с друго. Ако в две измерения имаш някаква точка, която просто си седи ето тук, обикновено я представяме, като имаме ос х и ос у, после спускаме перпендикуляр към всяка от тези оси. И представяме точката като двойка. Извинявам се, представяме точката като двойка числа. В този случай, не знам, може да е например (1; 3). Това, което представлява тя, ни казва, че разстоянието, на което да се придвижим, е 1 по оста х, а след това е 3 по оста у. Знаеш това, да кажем, че това разстояние е 1, а това разстояние е 3. Може да не е точно както го начертах, но да кажем, че това са координатите. Това означава, че всяка точка в двумерното пространство може да се представи като двойка числа по този начин, и ти ги възприемаш като инструкции, които един вид ти казват колко да се придвижиш в едната посока и колко да се придвижиш в другата посока. Но можеш да си представиш и обратното, нали? Всеки път, когато имаш двойка данни, знаеш, че можеш да разсъждаваш в две измерения и това всъщност е изненадващо добра идея, която аз дълго не оценявах как това напред-назад между двойки числа и точки в пространството ни позволява да визуализираме неща, които сме си мислили, че не могат да се визуализират, или ни позволява да разберем неща, които не са визуални по природа, като просто се придвижваме насам и натам. При три измерения има подобно съпоставяне, но между тройки от числа и точки в тримерно пространство. Само ще поставя една точка в това тримерно пространство тук, като е трудно да си представим точно къде е то, докато не преместя тези неща наоколо. Това е нещо, което прави работата в три измерения трудна и не можеш на практика да чертаеш без да преместваш или да показваш разликата в перспективата по различни начини. Но описваме точките по този начин, отново с набор от координати, сега като тройка координати. Това е конкретна точка, която знаем, че е (1; 2; 5). Тези числа ни казват на какво разстояние да се придвижим успоредно на всяка ос. Както при две измерения, имаме ос х и ос у. Но сега имаме и трета ос, която е перпендикулярна и на двете. Тя ни отвежда в трето измерение, това е оста z. Първото число от координатите ни казва колко далеч... опа, не трябва да движа това, на какво разстояние да се придвижим в посока х, което е първата ни стъпка. Второто ни число, в този случай то е 2, ни казва колко да се придвижим успоредно на оста у, това е втората ни стъпка. И третото число ни казва колко да се преместим ето тук, за да стигнем до тази точка. Можеш да направиш това за всяка произволна точка в три измерения, нали? За всяка точка, която имаш, можеш да дадеш инструкции на какво разстояние да се преместиш по оста х, или успоредно на оста у, или успоредно на оста z, за да стигнеш до тази точка. което означава, че има връзка между тези тройки координати и точките в трите измерения. Винаги, когато имаш три свързани числа, както ще видиш в следващото видео, когато ще започнем да говорим за тримерни графики, ще знаеш, че поради самата му същност като триплет: "О, да, това мога да си го представя в три измерения." Точно както винаги, когато имаш двойки числа, можеш да си представиш, че това е нещо в две измерения. Тук има и друг контекст обаче, в който се използват двойки числа, и това са векторите. Един вектор може да се представи, спомни си, обикновено като стрелка. О, помощ. Значи векторите обикновено представяме с някаква стрелка, например като тази стрелка с хубав цвят. Стрелка. Ако това е вектор от началото до някаква точка, координатите на този вектор са просто същите като на тази крайна точка. Прието е да се записват тези координати като колона. Знаеш, не е природен закон, но обикновено, когато видиш числа, записани в колона, обикновено ще си помислиш за вектор, някакъв вид стрелка. Ако това е двойка числа със скоби около нея, тогава си представяш точка. И въпреки че и двете са начини за представяне на една и съща двойка числа, основната разлика е, че това е вектор, който започва от някаква точка в пространството, не е задължително да е началото на координатната система. Ако имаме същото нещо, но започва ето тук, и все още дясната компонента е 1, а горната компонента е 3, си представяме същия вектор. Обикновено те представят някакво движение, като точките само представят някакви действителни точки в пространството. Другото голямо нещо, което можеш да направиш, е че можеш да събираш вектори. Ако имаш друг вектор, който има по-голяма х-компонента, но по-малка отрицателна у-компонента, например като този тук. Това означава, че можеш да ги събереш, да си представиш, че вторият вектор започва от края на първия, и после, макар да започваш от началото до новия връх ето тук, това ще е полученият вектор, или можем да кажем сумата на тези два вектора. И всъщност не можеш да направиш това с точки, тъй като ако си представим събиране на точки, те всъщност се превръщат във вектори. Същото се случва в три измерения. Ако за дадена точка начертаеш стрелка от началото на координатната система до нея, тази стрелка може да се представи със същата тройка числа, но ще ги поставим в колона, и това се нарича вектор-стълб. Това не е 3, това е 5. Разликата между точка и стрелка, както можеш да си представиш, знаеш, че стрелката или векторът започва някъде в пространството, няма значение къде, тъй като той се определя от същите компоненти за това колко се преместваме успоредно на х, колко се преместваме успоредно на оста у, и колко се преместваме успоредно на оста z. В следващото видео ще ти покажа как можем да използваме тези три измерения, за да чертаем функции с две или повече променливи.