Пример за тримерно векторно поле

В последното видео разгледахме векторни полета с три измерения. В края на урока показах един пример за тъждествена функция, в която въвеждаме точка (х; у; z) и полученият вектор също е (х; у; z). Сега ще разгледаме един малко по-сложен пример. Ще премахна това векторно поле и в новия пример х компонентът на изходния вектор е у по z. у компонентът на изходния вектор е х по z. z компонентът на изходния вектор е х по у. Ще покажа това векторно поле и после ще опитаме да разберем как функцията, която току-що написах, е свързана с векторите, които виждаме. Виждаш част от векторите, които един вид сочат навън от началото на координатната система. Но някои сочат към началото на координатната система. Как можем да изтълкуваме това векторно поле чрез самата функция? Например можем да приравним на нула един от компонентите. В този случай избирам това да бъде компонента z на изходния вектор, който е равен на х по у, и така да си дадем сметка какъв трябва да е той. z компонентът ще представя в каква степен векторът сочи в посока надолу. Това е оста z, а това е равнината ху. Ще насоча оста z право към нас. Това е оста х, това е оста у. Стойностите на х и на у ще определят напълно стойността на компонента z. Тук отстрани ще начертая една равнина ху за сравнение. Това е оста х, това е оста у. Искам да разбера каква роля има този член "х по у". Когато и х, и у са положителни, произведението им е положително. Когато и двете са отрицателни, произведението им пак е положително. Когато х е отрицателно, а у е положително, произведението им е отрицателно, но ако х е положително, а у е отрицателно, произведението им отново е отрицателно. Това означава, че – по отношение на векторното поле – че, когато сме в първи квадрант, векторът сочи нагоре в посока z, както и тук в трети квадрант. Но в другите два квадранта векторът трябва да сочи надолу. Да разгледаме първи квадрант и да се опитаме да разберем какво се случва. Тук виждаме, че този вектор, ето тук, се прилага както този вектор. Всички те по същество сочат нагоре, имат положителен z компонент. Това потвърждава това, което предвидихме. Обаче ето тук, където съответства на четвърти квадрант в равнината ху, z компонента на всеки вектор сочи надолу. Векторите имат различно поведение по отношение на техните х и у компоненти, не е само действието на z-компонента, но сега разглеждаме само посоките нагоре и надолу. Ако разгледаш трети квадрант, там векторите сочат нагоре, което съответства на факта, че произведението х по у е положително. Когато го разгледаме, всичко съвпада по този начин. И понеже аз избрах една сравнително симетрична функция, вероятно се досещаш, че това можем да направим и когато анализираме компонента у, когато анализираме компонента х по отношение на у и z, и нещата са много подобни, за да разберем кога х компонентът на един вектор е положителен, както тук, или кога ще бъде отрицателен, както ето тук. Същото се отнася за това кога компонентът у на вектора е отрицателен, и кога е положителен. Като цяло това е едно много сложно изображение, но може бавно, стъпка по стъпка, да добиеш представа. Точно както при двумерните векторни полета, тук е добре човек да си представи, че това изобразява поток на някакъв флуид. Представи си, че това може да е въздухът около теб, който се движи към центъра ето тук, и се отдалечава от този център ето тук. Той един вид се завърта ето тук, а по-късно в анализа на функции на много променливи ще учим за различни начини за изследване и на самата функция, и на променливите ѝ, за да определим какво е поведението на флуида, въпреки че един такъв анализ е много сложен, даже е трудно да се начертае или да се използва графичен софтуер, но само с аналитични средства може да се постигнат много добри резултати. Този вид функции се срещат често във физиката, защото там се работи с тримерно пространство, и това не се отнася само за движението на флуидите, а може да е свързано например с електрично силово поле, или гравитационно силово поле, където всеки вектор показва как най-вероятно ще се премести дадена частица. По-нататък в анализа на функции с много променливи ще видиш много примери за това. Надявам се, че това ти беше полезно, за да добиеш представа как можеш да работиш стъпка по стъпка и да разбереш значението на един толкова сложен израз.