Тримерни векторни полета — въведение

В предишното видео говорих за векторните полета в контекста на двумерното пространство, а сега бих искал да направя същото, но за триизмерното пространство. Триизмерно векторно поле е зададено от функция на множество променливи, която е определена от 3 параметъра, зададени от координатите x, y и z, и равна на триизмерен вектор стълб с елементи изрази, зависещи от x, y и z. Засега ще поставя точки на тези места, но ще ги попълним с примера след малко. Също като при двумерното векторно поле, избираме няколко точки от тримерното пространство. И за всяка от тези точки определяме изходния вид на функцията, като това ще бъде триизмерен вектор. И рисуваме вектора от точката. Започваме с лесен пример, при който изходният вектор стълб е константа. В този случай избираме константния вектор едно, нула, нула. Видът му е единичен вектор по оста х. Така че всички вектори биха изглеждали така, когато векторът има дължина едно по х направлението. Когато направим това за всяка възможна точка, всъщност не за всяка възможна точка, но за група от точки, получаваме векторно поле, което изглежда така. От всяка зададена точка в пространството имаме по един от тези малки сини вектори и всички те са еднакви, копия едно на друго, всяко от които с единична дължина и сочещо по х направлението. Към момента векторните полета изглеждат относително скучни, но нека нещата станат малко по-интересни, като направим нашия вектор стълб зависим от входящите променливи. Като за начало променям елементите на вектор стълба на у, нула, нула. Така ще продължат да сочат по х направлението, но ще зависят от стойността на у. Преди да сменя картинката, нека помислим какво означава това. Оста у е ето тази, оста z сочи точно към лицата ни, а това е у. Така, когато у увеличава стойността си на едно, две, три... дължината на тези вектори ще нараства, тоест растящ вектор по х направлението, бързо растящ вектор по х направлението. А ако у е отрицателно, то векторите ще сочат в обратната посока. Нека видим как ще изглежда това. Ето сега. В това векторно поле цветът и дължината показват размера на вектора. Червените вектори са с голяма дължина, сините вектори са сравнително къси и в нулата дори не ги виждаме, защото това са вектори с нулева дължина. И също както в двуизмерните векторни полета, когато ги чертаем, послъгваме малко. Това трябва да има дължина единица, нали? Защото когато у е равно на едно, трябва да има дължина единица, но сме го направили много, много малко. А това тук, където у е пет или шест, трябва да бъде доста дълъг вектор, но малко лъжем с рисунката, защото ако ги начертаем реално с мащаб, ще развали пресъздаденото изображение. Нека да отбележим няколко неща относно това, тъй като резултатът не зависи от х или z, ако местим по х направлението, което тук е назад и напред, векторите не се променят. Също ако местим по z направлението, което е нагоре и надолу, векторите също не се променят. Единствено се променят, когато местим по у направлението. Така започваме да разбираме как резултатът зависи от променливите на функцията. Сега нека направим нещо по-различно. Приемаме, че и трите компонента на вектор стълба зависят от х, у и z, но ще я направя тъждествена функция. В дадена точка с координати х, у, z, за резултат имаме самия вектор стълб [x,y,z]. Нека помислим какво всъщност значи това. Да кажем, че имаме точката, някъде в пространството. Какъв е полученият вектор стълб от нея? Точката си има определена х компонента, определена у компонента и z компонента. И векторът, който отговаря на х,у,z е този, който започва от координатното начало до самата точка. Нека да го нарисувам тук от координатното начало до самата точка. И заради начина, по който показваме векторни полета, местим вектора, така че вместо да започва от началото на координатната система, започва от точката. Но най-важното, което трябва да извлечем от това, е, че посоката е зададена още от координатното начало. И колкото е по-далече точката, толкова по-дълъг ще бъде векторът. Имайки предвид това, нека разгледаме отново векторното поле. Ето. Отново напомням, че леко се залъгваме, когато рисуваме това. Също както векторите, тези червените, които са накрая, трябва да са доста дълги, защото този вектор трябва да е с дължината на разстоянието до точката от самото координатно начало. За да покажем изчистено векторно поле, мащабираме и гледаме сините, които са близко до центъра тук и всъщност са много, много къси. И всички са насочени от координатното начало. Този тип векторно поле е добър пример и е добре да го запомним, защото се появява често и ни кара да се замисляме как би изглеждала функцията, която го определя като векторно поле. В следващото видео ще разгледаме друг пример, който е по-сложен от този и ще създаде по-добра представа за зависимостта на функцията от х, у и z.