Флуиден поток и векторни полета

В последното видео разгледахме векторните полета, а сега искам да разгледаме някои специални случаи, в които ги използваме. Представи си, че имаме тази координатна равнина, в която аз ще начертая цял куп капчици вода, а после тези капчици ще започнат да се движат по някакъв начин. Как можем да опишем това движение математически? Във всяка конкретна точка частицата се движи по различен начин. Ето тук капките се движат надолу и наляво. Тук се издигат бързо нагоре. Ето тук се движат бавно надолу. Така че може да свържем вектор с всяка отделна точка в пространството. Една обща характеристика на флуидите, които текат – това не е задължително очевидно, но ако погледнеш в дадена точка в пространството, да кажем, че погледнем ето тук, всеки път, когато някаква частица минава от тук, тя има приблизително една и съща скорост с останалите. Може да си представиш, че с времето скоростта може да се промени, и понякога тя се променя. Много често, когато протича даден флуид, това е в зависимост от времето, но много често можем просто да кажем, че в дадена точка в пространството, всички частици, които минават през нея, имат един и същ вектор на скоростта. Ето тук може да е много дълъг вектор с посока нагоре, докато тук да имаме по-къс вектор с посока надолу, въпреки че – ще покажа анимацията отново – ако си представиш, че това се случва във всички различни точки, в пространството, ако поставим вектор, за да опишем движението на всяка частица от флуида в различните точки, накрая се получава едно векторно поле. Това ето тук е малко по-ясен чертеж, от предишния, и както споменах в предходното видео, прието е векторите да не се чертаят в мащаб, а всички се чертаят с еднаква дължина, просто за да ни дадат представа за посоката, така че тук виждаш, че всяка частици плува приблизително с посоката на този вектор, така че частиците, които са най-близко, се движат в тази посока. Това не е просто добър начин за разбиране на протичането на течности, а е ценно и за обратната цел. Това е много хубав начин за разбиране на самите векторни полета, така че понякога е възможно просто да ти дадат едно векторно поле, и за да добиеш представа за какво се отнася, как да го интерпретираш, какви специални свойства може да има, полезно е, дори полето да не изобразява флуид, но е удобно да си представиш, че това е един флуид, и да си представиш как точно се движат отделните частици. Например този случай, който показах с анимацията, като оставим частиците да се движат успоредно на векторите, не се получава промяна в плътността на флуида. В никой момент няма струпване на частици, които отиват навътре, или куп частици, които да отиват навън. Тук плътността е един вид константна, и се оказва, че това има математическо значение по-нататък. Ще видиш по-късно, когато учим едно понятие, наречено разходимост. Тук е дадено друго векторно поле и може би искаш да разбереш какво се случва. В този случай е полезно да си представиш флуид, който се разпръсква във всякакви посоки, и един вид плътността в центъра намалява. Този пример също има математическо значение, което може да те накара да си зададеш определени въпроси. Например, ако наблюдаваш потока на флуида, с който започнахме в началото на урока, може да възникнат въпроси защо в някои точки изглежда, че има завъртане, ето тук е обратно на посоката на часовниковата стрелка, но в други случаи може да е по часовниковата стрелка. Това има ли математическо значение? Фактът, че изглежда има еднакъв брой частици приблизително в тази област, но те бавно се разпръскват насам. Какво предполага това за функцията, която представя това векторно поле? По-късно ще видиш много примери, особено когато става дума за разходимост и ротация, но тук исках само да ти дам обща представа за това просто като начин за визуализиране на функции на много променливи.