Параметрични повърхнини

Тук е дадена една много сложна функция. Тя има двумерен аргумент, аргументът има две различни координати, а след това стойността на функцията е тримерна (наредена тройка). По-точно стойността на функцията е тримерен вектор, като всеки един от компонентите му е някакъв израз, съдържащ косинуси и синуси, като зависят от аргумент с две координати. В предходното видео разгледахме как можем да визуализираме функции, които имат едномерен аргумент, един единствен параметър, например t, а после стойността на функцията е двумерен вектор. Някакъв израз, съдържащ t, и друг израз, съдържащ t. Това тук е един вид тримерен аналог на тази ситуация. Това, което ще направим, е да визуализираме елементите на множеството от стойностите на функцията, като ще опитаме да определим всички възможни точки, които биха могли да са стойности на функцията. Например – нека да започнем с нещо по-просто, за да добием представа за функцията, като я изчислим за една по-проста двойка входящи стойности. Да кажем, че искаме да намерим стойността на функцията f за t = 0, което мисля, че ще е наистина просто, а после s нека да е равно на пи. Да помислим какво ще получим. Отивам горе и казвам: Добре, t е нула, косинус от нула е едно, значи това цялото нещо тук ще бъде едно, (подчертава със зелено) както и това тук. (подчертава със зелено) Синус от нула е нула. Тази част тук ще е нула, и това също ще бъде нула. Косинус от пи е минус 1. Значи тук ще имаме минус 1. Това тук също ще е минус 1. После синус от пи, също като синус от нула, е равно на нула. Значи това цялото нещо се опростява доста, горе първият компонент е 3 по 1, минус 1, 1 по минус 1 е минус 1, получаваме 2. После имаме 3 по 0 плюс 0, така че у компонентът е 0. После z компонентът също е нула. Това означава, че стойността на функцията е някаква точка, която има координата 2 спрямо оста х, и другите координати, у и z, са нули. Значи просто се преместваме с 2 по оста х. Отиваме и... опа, премествам се и поставям тази точка ето тук. (поставя точката в светло синьо) Тази точка ще съответства на този конкретен аргумент, (0; пи). Можем да направим това с много голям брой аргументи и можем да добавим няколко други точки в зависимост от това какви входни данни използваме. Но това би ни отнело цяла вечност, за да получим само обща представа за функцията. Другото нещо, което можем да направим, е вместо да разглеждаме функцията за определена точка, да си представим, че единият от входните параметри е константа. Да си представим, че s винаги е равно на пи, но t може да приема произволни стойности. Това означава, че ще получим някаква различна стойност на функцията ето тук. Ще приемем, че t е някакъв вид променлива, а вторият компонент е пи. Това означава, че всички тези стойности ето тук са (–1; –1; 0), когато имаме синус от пи. Но сега стойността на функцията ще бъде 3 по косинус от t, косинус от t, плюс –1 по косинус от t, значи ще бъде минус косинус от t. Следващият компонент е 3 по синус от t, което сега няма да е нула. Може би трябва да изтрия това... Вече не изчисляваме тази част, когато t е нула. Значи 3 по синус от t, това отново е функцията, която разглеждаме. 3 по синус от t, после минус 1 по синус от t. Продължавам да го пиша със зелено, за да има някаква последователност. Отдолу стойността остава нула. Това цялото нещо може да се опрости, 3 по косинус от t, минус косинус от t, това е просто две по косинус от t. После правим същото и за следващия компонент. Това става две по синус от t. Така цялата наредена тройка всъщност се опрости до това. (което е записано на екрана) Получаваме това, когато приемаме, че s е константа, а t е променлива без ограничения. Когато направим това, получаваме една окръжност. Вероятно се досещаш защо получаваме окръжност, защото имаме тази зависимост от косинус/синус. Това е окръжност с радиус 2, която съвсем логично минава през тази първа точка, която намерихме. Ето какво получаваме, когато поне едната променлива не е константа. Сега да направим същото нещо, но вместо това да видим какво се случва, когато s е променлива, а t е константа. Препоръчвам ти да провериш самостоятелно, а аз ще продължа и ще го начертая, защото искам да ти покажа логиката. В този случай ще се получи окръжност като тази. (светлосинята окръжност) Отново ти препоръчвам да опиташ да разсъждаваш по същия начин. Представи си, че s е променлива, докато t е константа. Защо се получава окръжност, която изглежда по този начин? (посочва светлосинята окръжност) Ако оставим и s, и t да са променливи, един много хубав начин да си го представим е, да си представим, че тази (светлосиня) окръжност която получихме, когато s е променлива, че тя се върти в пространството, когато t е променлива. Накрая в тази ситуация ще получиш едно ето такова тяло. Това е донът или поничка. В математиката има специален термин, и това тяло се нарича тор. Оказва се, че тази функция ето тук е математически начин да начертаем един тор. В друго видео ще разгледам по-подробно какво се случва, ако е даден един тор, как можем да намерим неговата функция, как можеш да си го представиш логически. За тази цел ще ни трябват малко повече подробности, като например защо когато въртим тази окръжност, защо получаваме тор. Каква е връзката между тази червена окръжност и тази синя окръжност. Тук просто исках да ти покажа какво представлява една параметрична повърхнина, как чрез нея можем да визуализираме функция, която има двумерен аргумент и тримерна изходяща стойност.