Векторни полета — въведение

Привет! В това видео ще те запозная с векторните полета. Това е едно понятие, което ще срещаш често в анализа на функции на много променливи, а причината за това е, че те се използват много често във физиката. Свързани са с потоците на течности, електродинамиката, ще ги срещаш навсякъде. Векторното поле до голяма степен е начин да визуализираме функции, които имат един и същ брой измерения на техните аргументи и на техните стойности. Ще запиша една функция, която има двумерни входящи стойности (х;у), и изходящата стойност на функцията двумерен вектор, за който всеки от компонентите му зависи по някакъв начин от х и у. Нека първият компонент да е у на трета степен минус 9 по у, а вторият компонент да е – това е компонентът у на стойността на функцията, нека да е х на трета минус 9 по х. Направих ги симетрични, изглеждат подобно, но не е задължително да са такива, просто аз обичам симетрията. Представи си, че искаш да визуализираш подобна функция – би било много трудно да се построи нейната графика, защото имаш две измерения на входящата стойност, две измерения на изходящата стойност, значи някак трябва да изобразиш нещата в четири измерения. Вместо това ние разглеждаме само множеството от входни данни. Това означава, че разглеждаме само равнината х;у. Ще начертая координатните оси и ще ги означа – това е оста х, а това е оста у. За всяка отделна входна точка – например да вземем точката (1;2) – ще разгледам вектора, който се получава, и ще начертая този вектор към тази точка. Да разгледаме един пример какво означава това, за да можем да оценим функцията f за (1;2). х е равно на 1, у е равно на 2. Заместваме 2 на трета степен, опа, две на трета степен, минус 9 по 2, това е нашият компонент х. После 1 на трета степен минус 9 по у, което е 9 по 1, извинявам се, това е компонентът у. 2 на трета е 8, 9 по 2 е 18, значи 8 минус 18, това дава минус 10. После 1 на трета степен е 1, 9 по 1 е 9. 1 минус 9 е минус 8. Първо си представи, че просто трябва да начертаем този вектор, като започнем от началото на координатната система – минус едно, две, три, четири, пет, шест, седем, осем, девет, десет. Това ще бъде компонента х, а после минус осем, едно, две, три, четири, пет, шест, седем – ще излезем извън границите на екрана, това е един много дълъг вектор, значи той ще бъде някъде тук и завършва извън границите на екрана. Хубавото нещо при векторите е, че не е важно къде започват, така че вместо да започва тук – той пак ще има компонент х равен на минус 10, и минус осем, минус едно, две, три, четири, пет, шест, седем осем, минус осем е неговият у компонент ето тук. При векторното поле правим това не само за (1;2), а за много различни точки, и виждаме какви вектори са свързани с тях. Ако ги начертаем всичките в мащаб, ще се получи голяма цапаница. Ще има стрелки навсякъде. В тази точка може да има също толкова дълъг вектор, тук може да има също толкова дълъг вектор, и ще стане много, много объркано. Вместо това ние – ще разчистя всичко тук – ние мащабираме векторите, прието е да се мащабират, така че един вид лъжем какви са самите вектори, но пък получаваме много по-добра представа какъв вектор съответства на всяка точка. Друго нещо, свързано с този начин на представяне, е че той не е съвсем точен по отношение на първоначалната функция, понеже всички тези вектори са с еднакви дължини. Направих този вектор със същата дължина като този вектор тук, всички вектори са с еднаква дължина, въпреки че по същество дължините на тези векторни стойности на тази функция може да са различни. Това е общоприетият начин, когато се чертаят векторни полета, или когато някакъв софтуер представя векторно поле, така че има начини това да се заобиколи, като един от тези начини е да се използват различни цветове, ще покажа друго векторно поле, където са използвани цветове, които подсказват каква е дължината на векторите, като това векторно поле пак изглежда подредено, защото всички вектори имат еднакви дължини, но разликата е, че червеното и по-топлите цветове означават, че даденият вектор е с голяма дължина, а синият цвят показва, че векторът е много къс. Друго нещо, което може да се направи, е да се мащабират така, че да са приблизително пропорционални на реалната си дължина, като обърни внимание, че сините вектори са мащабирани надолу и са с почти нулева дължина, докато червените вектори остават със същата дължина, въпреки че по същество това може да са вектори, които да са наистина много дълги или истинските вектори трябва да са с някаква средна дължина, но дори тогава е прието те да се сиват, до дължина, която е удобна. В следващото видео ще разгледаме поток на флуиди, едно приложение, в което векторните полета се използват много и това е един много добър начин да сме сигурни, че едно произволно векторно поле, което разглеждаме, да направим преценка какво се случва.