Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 1

Урок 6: Графики на функции на много променливи (статии)

Контурни графики

Контурните графики са удобна алтернатива на тримерните, когато работим със скаларни функции на два аргумента.

Преговор

Процесът

Контурните карти представляват метод за изобразяване на функции на два аргумента, резултатът (изходът) от които е едномерна стойност. Например да разгледаме следната функция:

$f (x; y) = x^{4} - x^{2} + y^{2}$ ‍.

Когато чертаем графики, на аргументите

(x; y)

и стойностите

f (x; y)

съпоставяме точките

(x; y; f (x; y))

в тримерното пространство. Графиката се състои от всички точки от вида

(x; y; f (x; y))

Понякога тримерните изображения са трудни за визуализация, особено ако работим върху лист хартия. Контурните графики представляват изображения на функцията в двумерното пространство.

Ето как можем да построим контурна графика:

Стъпка 1: Започни с графиката на функцията

Стъпка 2: Формирай сечението на графиката с няколко равнини, успоредни на равнината $x y$ ‍ и разположени на еднакво разстояние помежду си. Тези равнини съответстват на точките, за които координатата $z$ ‍ е фиксирана, например $z = 2$ ‍.

Стъпка 3: Отбележи пресечните точки на графиката с равнините.

Стъпка 4: Проектирай получените криви върху равнината $x y$ ‍, като отбележиш на коя стойност на $z$ ‍ отговарят.

С други думи, при чертаенето на контурна карта избираме стойността на функцията, и изобразяваме всички двойки $(x; y)$ ‍, за които стойността $f (x; y)$ ‍ е равна на избраната. За да е ясно коя крива съответства на коя стойност на функцията, често записваме тази стойност до кривата.

Забележка: Фиксираните стойности на функцията, които избираме, например

{- 2, - 1; 0; 1; 2}

, често са на равни разстояния една от друга. Така е по-лесно да си представим "формата" на тримерната графика от контурната карта.

Пример 1: Параболоид

Нека

f (x; y) = x^{2} + y^{2}

. Формата на графиката на тази функция се нарича "параболоид" и представлява тримерно обобщение на параболата.

Ето как изглежда контурната графика на тази функция:

Обърни внимание, че кръговете на контурната графика не са на равни разстояния един от друг. Това е така, защото стойностите на функцията растат все по-бързо и по-бързо колкото по-далече се намираме от началото на координатната система. Следователно увеличаването на стойността на функцията с дадена константа изисква все по-малки стъпки, колкото по-далеч сме от точката

(0; 0)

Пример 2: Вълни

Нека разгледаме функцията

f (x; y) = \cos (x) \cdot \sin (y)

? Графиката ѝ е вълниста:

Ето как изглежда контурната графика:

Контурите на минимумите и максимумите в графиката изглеждат по подобен начин, но ако обърнем внимание на съответните им

z

-стойности, виждаме коя съвкупност от концентрични криви е минимум и коя е максимум.

Пример 3: Линейна функция

Сега да разгледаме функцията

f (x; y) = x + 2 y

. Нейната графика е наклонена равнина.

Контурната графика се състои от равномерно разпределени прави линии:

Пример 4: Географска карта

Контурните графики са често използвани при географските карти, изобразяващи хълмиста местност. Например на показаната карта виждаме лунен кратер.

Нека започнем мислена обиколка на кратера. Местата, на които контурните линии са близо, наклонът е стръмен. Например слизаме от

7700

м височина до

7650

м в рамките на много малко хоризонтално разстояние. В подножието на кратера контурните линии са далеч една от друга, т.е. бихме слезли от

7650

м до

7628

м в рамките на доста по-голямо хоризонтално разстояние.

Изо-неща

Линиите на контурната графика имат различни имена:

Контурни линии.
Равнинни множества, тъй като изобразяват стойностите на $(x; y)$ ‍, за които графиката е на дадено равнище.
Изолинии, където представката "изо" идва от гръцки език и означава "един и същ".

В зависимост от контекста на контурната графика, представката изо се поставя пред различни думи. Ето няколко разпространени термина.

Изотерм наричаме контурна линия в температурна графика.
Изобар наричаме контурна линия в графика на налягане.

Интуиция за дадена функция от контурната ѝ графика

Ако контурните линии на графиката са близо една до друга, то тримерната графика расте бързо; съответно, ако са далеч, то тримерната графика расте бавно.

Равнинните множества около локални минимуми и максимуми на функцията изглеждат като концентрични затворени криви. Това означава, че на контурна графика можем да посочим локалните екстремуми на функцията.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.