Основно съдържание
Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 1
Урок 6: Графики на функции на много променливи (статии)- Какво представляват функциите на много променливи?
- Не разчитай на графики
- Многомерни графики
- Контурни графики
- Параметрично представяне на функции, един параметър
- Параметрично представяне на функции, два параметъра
- Векторни полета
- Трансформации
© 2024 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Многомерни графики
Примери за многомерни графики и техните ограничения.
Преговор
Основни идеи
- Графиката на функция с два аргумента и едномерна стойност чертаем в тримерното пространство.
- Тя представлява повърхнина в три измерения, като височината на повърхнината над дадена точка в равнината
е стойността на функцията.
Графики на функции на една променлива
Графиките се считат за един от най-интуитивните начини за изобразяване на функции. Преди да преминем към функциите на много променливи, нека набързо преговорим познатите ни графики на функции на една променлива.
Нека разгледаме следната функция:
За да изобразим стойността на функцията в точката , първо намираме :
След това нанасяме точката в равнината . В този случай това е точката .
След като направим същото за всички възможни стойности на , получаваме графиката на функцията, изобразяваща съвкупността от точките .
Ако функцията няма точки на прекъсване, или точки, в които рязко променя поведението си, то резултатът е гладка крива.
Добавяме още едно измерение
Какво правим, когато ни е дадена функция на два аргумента? Например тази:
За да свържем аргументите и стойностите на функцията, ни трябват три числа — две за аргументите и едно за стойността.
Аргументи | Стойност | ||
---|---|---|---|
За да изобразим връзката между аргументите и стойностите, ще начертаем графика в три измерения.
- Функционалната стойност
изобразяваме като точката . - Функционалната стойност
изобразяваме като точката . - В общия случай искаме да построим всички точки от вида
за всички възможни стойности на и .
Получената графика можеш да видиш в следното видео, което представлява анимация на въртящата се графика, като се надяваме, че ще можеш да оцениш факта, че функцията е в три измерения. Равнината , отговаряща на съвкупността от всички аргументи, е отбелязана в синьо.
За всяка точка в равнината вертикалното разстояние между нея и графиката е равно на стойността на . Т. нар. "вертикална" посока наричаме посока и третата координатна ос, перпендикулярна на равнината , обикновено се означава като .
Ако функцията е непрекъсната за различните стойности на и (т.е. мени се плавно), което е най-често срещаният случай в практиката, графиката ѝ е някаква повърхнина.
Пример 1: Нормална крива
Функция:
Графика:
Нека разгледаме функцията по-внимателно. Първо, изразът в степенния показател на е .
Въпрос: Как можем да интерпретираме израза ?
Когато точката е далеч от началната точка, функцията е равна на , т.е. почти нула. Това означава, че разстоянието между точките върху графиката на функцията и техните проекции в равнината е много малко. Обаче, когато и , , което отговаря на изпъкналата част в средата.
Тема за размисъл: Графиката по-горе притежава ротационна симетрия, т.е. изглежда по един и същи начин, ако я завъртим около оста . Защо?
Пример 2: Вълни
Функция:
Графика:
За да придобием представа за поведението на функцията , ще разгледаме стойностите ѝ когато единият аргумент е фиксиран. Този подход често е полезен при анализ на функции на много променливи.
Например да видим как изглежда функцията, когато е равно на . Обикновено на графиката се нанасят всички точки от следния вид:
След фиксиране на стойността на , разглеждаме само точките от следния вид:
Съществува красива геометрична интерпретация на този метод:
Точките в тримерното пространство, за които , т.е. всички точки от вида , образуват равнина. Защо? Представи си сечението на графиката с тази равнина. Пресечните точки—оцветени в червено на фигурата—са точките върху графиката, за които .
Но защо това ни помага да разберем графиката?
Ние превърнахме функцията на две променливи във функция само на една променлива:
Кривата, която получаваме при сечение с равнината , е двумерната графика на .
По този начин разглеждаме тримерната графика на функция с няколко променливи като съвкупност от двумерни "части", за които единият аргумент на функцията е фиксиран.
Пример 3: Един аргумент, две стойности
Възможно е да построим графика на функция с един аргумент и двумерна стойност—но този подход, по някаква причина, не е твърде разпространен.
Функция:
Точки върху графиката:
Графика:
В този случай единствената променлива, докато координатите и са функции на .
Ако завъртим изображението, така че равнината да застане срещу нас, графиката изглежда като . Можем да се изразим и по друг начин, че когато проектираме графиката върху равнината , получаваме графиката на .
Аналогично, ако завъртим изображението, така че равнината да е срещу нас, виждаме графиката на .
С други думи, функцията е комбинация от двете функции и , и нейната графика съдържа информация и за двете функции.
Ограничения
Ако опитаме да приложим същите методи при функции с аргументи или стойности от по-високо измерение, вече няма да е толкова лесно и удобно да ги визуализираме.
Например функцията приема два аргумента и дава две стойности. Графиката на тази функция изисква четири измерения! Това е така, защото трябва да изобразим всички точки от вида .
На практика, когато работим с функции в повече измерения, например , често първо разглеждаме опростени техни версии с двумерни входящи стойности и едномерни изходящи стойности, като например . Тази опростена функция служи като прототип на първоначалната.
Подобен прототип може да ни помогне да си изградим представа за функцията, с която работим, и за това как входното пространство се превръща в многомерно. В крайна сметка всички изчисления при анализа на такива функции се извършват с помощта на символния им запис.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.