Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 1

Урок 6: Графики на функции на много променливи (статии)

Многомерни графики

Класна стая на Google

Примери за многомерни графики и техните ограничения.

Преговор

Функции на много променливи

Основни идеи

Графиката на функция с два аргумента и едномерна стойност чертаем в тримерното пространство.
Тя представлява повърхнина в три измерения, като височината на повърхнината над дадена точка в равнината x, y е стойността на функцията.

Графики на функции на една променлива

Графиките се считат за един от най-интуитивните начини за изобразяване на функции. Преди да преминем към функциите на много променливи, нека набързо преговорим познатите ни графики на функции на една променлива.

Нека разгледаме следната функция:

\begin{aligned} \quad f(x) = -x^2 + 3x + 2 \end{aligned}

За да изобразим стойността на функцията в точката x, equals, 1, първо намираме f, left parenthesis, 1, right parenthesis:

\begin{aligned} \quad f(1) &= -x^2 + 3x + 2 \\ &= -(1)^2 + 3(1) + 2 \\ &= 4 \end{aligned}

След това нанасяме точката left parenthesis, 1, ;, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, right parenthesis в равнината x, y. В този случай това е точката left parenthesis, 1, ;, 4, right parenthesis.

След като направим същото за всички възможни стойности на x, получаваме графиката на функцията, изобразяваща съвкупността от точките left parenthesis, x, ;, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

Ако функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis няма точки на прекъсване, или точки, в които рязко променя поведението си, то резултатът е гладка крива.

Добавяме още едно измерение

Какво правим, когато ни е дадена функция на два аргумента? Например тази:

f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, 2, right parenthesis, squared, plus, 2

За да свържем аргументите и стойностите на функцията, ни трябват три числа — две за аргументите и едно за стойността.

		Аргументи left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis	Стойност f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis
		left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis	10
		left parenthesis, 1, ;, 0, right parenthesis	7
		left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis	3
		\varvdots, rectangle	\varvdots, rectangle

За да изобразим връзката между аргументите и стойностите, ще начертаем графика в три измерения.

Функционалната стойност left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis, right arrow, 10 изобразяваме като точката left parenthesis, 0, ;, 0, ;, 10, right parenthesis.
Функционалната стойност left parenthesis, 1, ;, 0, right parenthesis, right arrow, 7 изобразяваме като точката left parenthesis, 1, ;, 0, ;, 7, right parenthesis.
В общия случай искаме да построим всички точки от вида left parenthesis, x, ;, y, ;, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, right parenthesis за всички възможни стойности на x и y.

Получената графика можеш да видиш в следното видео, което представлява анимация на въртящата се графика, като се надяваме, че ще можеш да оцениш факта, че функцията е в три измерения. Равнината x, y, отговаряща на съвкупността от всички аргументи, е отбелязана в синьо.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

За всяка точка left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis в равнината вертикалното разстояние между нея и графиката е равно на стойността на f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis. Т. нар. "вертикална" посока наричаме посока z и третата координатна ос, перпендикулярна на равнината x, y, обикновено се означава като z.

Ако функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е непрекъсната за различните стойности на x и y (т.е. мени се плавно), което е най-често срещаният случай в практиката, графиката ѝ е някаква повърхнина.

Пример 1: Нормална крива

Функция: f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript

Графика:

Нека разгледаме функцията по-внимателно. Първо, изразът в степенния показател на e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript е x, squared, plus, y, squared.

Въпрос: Как можем да интерпретираме израза x, squared, plus, y, squared?

Избери един отговор:
(Избор А)
Разстоянието между left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis и началната точка left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis
(Избор Б)
Квадратът на разстоянието между left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis и началната точка left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis
(Избор В)
Разстоянието между аргумента left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis и съответстващата му точка от графиката
(Избор Г)
Квадратът на разстоянието между аргумента left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis и съответстващата му точка от графиката

[Покажи отговора.]

Когато точката left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е далеч от началната точка, функцията e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript е равна на e, start superscript, start text, left parenthesis, г, о, л, я, м, о, space, о, т, р, и, ц, а, т, е, л, н, о, space, ч, и, с, л, о, right parenthesis, end text, end superscript, т.е. почти нула. Това означава, че разстоянието между точките върху графиката на функцията и техните проекции в равнината x, y е много малко. Обаче, когато x, equals, 0 и y, equals, 0, e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript, equals, e, start superscript, minus, 0, end superscript, equals, 1, което отговаря на изпъкналата част в средата.

Тема за размисъл: Графиката по-горе притежава ротационна симетрия, т.е. изглежда по един и същи начин, ако я завъртим около оста z. Защо?

[Покажи отговора.]

Пример 2: Вълни

Функция: f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, sine, left parenthesis, y, right parenthesis

Графика:

За да придобием представа за поведението на функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, ще разгледаме стойностите ѝ когато единият аргумент е фиксиран. Този подход често е полезен при анализ на функции на много променливи.

Например да видим как изглежда функцията, когато x е равно на 2. Обикновено на графиката се нанасят всички точки от следния вид:

left parenthesis, x, ;, y, ;, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, right parenthesis, left arrow, start text, x, space, и, space, y, space, с, е, space, м, е, н, я, т, space, с, в, о, б, о, д, н, о, point, end text

След фиксиране на стойността на x, разглеждаме само точките от следния вид:

left parenthesis, 2, ;, y, ;, cosine, left parenthesis, 2, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, right parenthesis, left arrow, start text, С, а, м, о, space, y, space, с, е, space, м, е, н, и, space, с, в, о, б, о, д, н, о, point, end text

Съществува красива геометрична интерпретация на този метод:

Точките в тримерното пространство, за които x, equals, 2, т.е. всички точки от вида left parenthesis, 2, ;, y, ;, z, right parenthesis, образуват равнина. Защо? Представи си сечението на графиката с тази равнина. Пресечните точки—оцветени в червено на фигурата—са точките върху графиката, за които x, equals, 2.

Но защо това ни помага да разберем графиката?

Ние превърнахме функцията на две променливи f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis във функция само на една променлива:

\begin{aligned} \quad g(y) &= \cos(2)\sin(y) \\ &\approx -0{,}42\sin(y) \end{aligned}

Кривата, която получаваме при сечение с равнината x, equals, 2, е двумерната графика на g, left parenthesis, y, right parenthesis.

По този начин разглеждаме тримерната графика на функция с няколко променливи като съвкупност от двумерни "части", за които единият аргумент на функцията е фиксиран.

Пример 3: Един аргумент, две стойности

Възможно е да построим графика на функция с един аргумент и двумерна стойност—но този подход, по някаква причина, не е твърде разпространен.

Функция: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, ;, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis

Точки върху графиката: left parenthesis, x, ;, x, squared, ;, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis

Графика:

В този случай x единствената променлива, докато координатите y и z са функции на x.

Ако завъртим изображението, така че равнината x, y да застане срещу нас, графиката изглежда като f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared. Можем да се изразим и по друг начин, че когато проектираме графиката върху равнината x, y, получаваме графиката на f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared.

Аналогично, ако завъртим изображението, така че равнината x, z да е срещу нас, виждаме графиката на f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

С други думи, функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, ;, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis е комбинация от двете функции f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared и f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, и нейната графика съдържа информация и за двете функции.

Ограничения

Ако опитаме да приложим същите методи при функции с аргументи или стойности от по-високо измерение, вече няма да е толкова лесно и удобно да ги визуализираме.

Например функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, ;, y, squared, right parenthesis приема два аргумента и дава две стойности. Графиката на тази функция изисква четири измерения! Това е така, защото трябва да изобразим всички точки от вида left parenthesis, x, ;, y, ;, x, squared, ;, y, squared, right parenthesis.

[Опитай да начертаеш тази графика в четири измерения]

На практика, когато работим с функции в повече измерения, например f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, често първо разглеждаме опростени техни версии с двумерни входящи стойности и едномерни изходящи стойности, като например f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared. Тази опростена функция служи като прототип на първоначалната.

Подобен прототип може да ни помогне да си изградим представа за функцията, с която работим, и за това как входното пространство се превръща в многомерно. В крайна сметка всички изчисления при анализа на такива функции се извършват с помощта на символния им запис.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.