If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Многомерни графики

Примери за многомерни графики и техните ограничения.

Основни идеи

  • Графиката на функция с два аргумента и едномерна стойност чертаем в тримерното пространство.
  • Тя представлява повърхнина в три измерения, като височината на повърхнината над дадена точка в равнината xy е стойността на функцията.

Графики на функции на една променлива

Графиките се считат за един от най-интуитивните начини за изобразяване на функции. Преди да преминем към функциите на много променливи, нека набързо преговорим познатите ни графики на функции на една променлива.
Нека разгледаме следната функция:
f(x)=x2+3x+2
За да изобразим стойността на функцията в точката x=1, първо намираме f(1):
f(1)=x2+3x+2=(1)2+3(1)+2=4
След това нанасяме точката (1;f(1)) в равнината xy. В този случай това е точката (1;4).
След като направим същото за всички възможни стойности на x, получаваме графиката на функцията, изобразяваща съвкупността от точките (x;f(x)).
Ако функцията f(x) няма точки на прекъсване, или точки, в които рязко променя поведението си, то резултатът е гладка крива.

Добавяме още едно измерение

Какво правим, когато ни е дадена функция на два аргумента? Например тази:
f(x;y)=(x2)2+(y2)2+2
За да свържем аргументите и стойностите на функцията, ни трябват три числа — две за аргументите и едно за стойността.
Аргументи (x;y)Стойност f(x;y)
(0;0)10
(1;0)7
(1;2)3
За да изобразим връзката между аргументите и стойностите, ще начертаем графика в три измерения.
  • Функционалната стойност (0;0)10 изобразяваме като точката (0;0;10).
  • Функционалната стойност (1;0)7 изобразяваме като точката (1;0;7).
  • В общия случай искаме да построим всички точки от вида (x;y;f(x,y)) за всички възможни стойности на x и y.
Получената графика можеш да видиш в следното видео, което представлява анимация на въртящата се графика, като се надяваме, че ще можеш да оцениш факта, че функцията е в три измерения. Равнината xy, отговаряща на съвкупността от всички аргументи, е отбелязана в синьо.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
За всяка точка (x;y) в равнината вертикалното разстояние между нея и графиката е равно на стойността на f(x;y). Т. нар. "вертикална" посока наричаме посока z и третата координатна ос, перпендикулярна на равнината xy, обикновено се означава като z.
Ако функцията f(x;y) е непрекъсната за различните стойности на x и y (т.е. мени се плавно), което е най-често срещаният случай в практиката, графиката ѝ е някаква повърхнина.

Пример 1: Нормална крива

Функция: f(x;y)=e(x2+y2)
Графика:
Нормалнa (или още Гаусовa) крива
Нека разгледаме функцията по-внимателно. Първо, изразът в степенния показател на e(x2+y2) е x2+y2.
Въпрос: Как можем да интерпретираме израза x2+y2?
Избери един отговор:

Когато точката (x;y) е далеч от началната точка, функцията e(x2+y2) е равна на e(голямо отрицателно число), т.е. почти нула. Това означава, че разстоянието между точките върху графиката на функцията и техните проекции в равнината xy е много малко. Обаче, когато x=0 и y=0, e(x2+y2)=e0=1, което отговаря на изпъкналата част в средата.
Тема за размисъл: Графиката по-горе притежава ротационна симетрия, т.е. изглежда по един и същи начин, ако я завъртим около оста z. Защо?

Пример 2: Вълни

Функция: f(x;y)=cos(x)sin(y)
Графика:
За да придобием представа за поведението на функцията f(x;y)=cos(x)sin(y), ще разгледаме стойностите ѝ когато единият аргумент е фиксиран. Този подход често е полезен при анализ на функции на много променливи.
Например да видим как изглежда функцията, когато x е равно на 2. Обикновено на графиката се нанасят всички точки от следния вид:
(x;y;cos(x)sin(y))x и y се менят свободно.
След фиксиране на стойността на x, разглеждаме само точките от следния вид:
(2;y;cos(2)sin(y))Само y се мени свободно.
Съществува красива геометрична интерпретация на този метод:
Точките в тримерното пространство, за които x=2, т.е. всички точки от вида (2;y;z), образуват равнина. Защо? Представи си сечението на графиката с тази равнина. Пресечните точки—оцветени в червено на фигурата—са точките върху графиката, за които x=2.
Но защо това ни помага да разберем графиката?
Ние превърнахме функцията на две променливи f(x;y)=cos(x)sin(y) във функция само на една променлива:
g(y)=cos(2)sin(y)0,42sin(y)
Кривата, която получаваме при сечение с равнината x=2, е двумерната графика на g(y).
По този начин разглеждаме тримерната графика на функция с няколко променливи като съвкупност от двумерни "части", за които единият аргумент на функцията е фиксиран.

Пример 3: Един аргумент, две стойности

Възможно е да построим графика на функция с един аргумент и двумерна стойност—но този подход, по някаква причина, не е твърде разпространен.
Функция: f(x)=(x2;sin(x))
Точки върху графиката: (x;x2;sin(x))
Графика:
Графика на f(x)=(x2;sin(x))
В този случай x единствената променлива, докато координатите y и z са функции на x.
Ако завъртим изображението, така че равнината xy да застане срещу нас, графиката изглежда като f(x)=x2. Можем да се изразим и по друг начин, че когато проектираме графиката върху равнината xy, получаваме графиката на f(x)=x2.
Проекция на f(x)=(x2;sin(x)) в равнината xy
Аналогично, ако завъртим изображението, така че равнината xz да е срещу нас, виждаме графиката на f(x)=sin(x).
Проекция на f(x)=(x2;sin(x)) в равнината xz
С други думи, функцията f(x)=(x2;sin(x)) е комбинация от двете функции f(x)=x2 и f(x)=sin(x), и нейната графика съдържа информация и за двете функции.

Ограничения

Ако опитаме да приложим същите методи при функции с аргументи или стойности от по-високо измерение, вече няма да е толкова лесно и удобно да ги визуализираме.
Например функцията f(x;y)=(x2;y2) приема два аргумента и дава две стойности. Графиката на тази функция изисква четири измерения! Това е така, защото трябва да изобразим всички точки от вида (x;y;x2;y2).
На практика, когато работим с функции в повече измерения, например f(x;y;z)=x2+y2+z2, често първо разглеждаме опростени техни версии с двумерни входящи стойности и едномерни изходящи стойности, като например f(x;y)=x2+y2. Тази опростена функция служи като прототип на първоначалната.
Подобен прототип може да ни помогне да си изградим представа за функцията, с която работим, и за това как входното пространство се превръща в многомерно. В крайна сметка всички изчисления при анализа на такива функции се извършват с помощта на символния им запис.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.