If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Параметрично представяне на функции, един параметър

Параметризацията представлява удобен начин за представяне на векторни функции на един аргумент.

Преговор

Можеш да научиш още за параметричното представяне на функции в това видео. Тази статия описва същите идеи в контекста на уроците за функции на много променливи.

Основни идеи

  • Можем да представим дадена векторна функция на един аргумент като крива в пространството.
  • Такова представяне наричаме параметрично, и аргументът на функцията параметър.
  • Понякога в математическия анализ търсим параметрично представяне на дадена крива. Това наричаме параметризиране на кривата.

Графики на векторни функции

Представи си, че един ден, щастливо четейки учебник по математика, видиш функция от следния вид:
f(t)=[tcos(2πt)tsin(2πt)]
Каква графика би начертал/а?
Дадената функция приема един аргумент t и стойността ѝ е двумерен вектор. Например за t=1 стойността на функцията е:
f(1)=[1cos(2π1)1sin(2π1)]=[10]
Това е вектор с дължина 1, успореден на абсцисата.
Но как ще начертаем всички такива вектори наведнъж?
Една от възможностите е да начертаем кривата, описана от върха на този вектор, когато аргументът t се мени. Например, следният динамичен чертеж показва тази крива в интервала за t от 0 до 3:
Тази крива наричаме параметрична крива. Съответната функция наричаме параметрична функция, ако я разглеждаме като крива, генерирана от параметър. Аргумента t на функцията наричаме параметър.

Разглеждаме само стойностите на функцията

Обърни внимание, че за разлика от обикновените графики, където виждаме аргументите и стойностите на функцията, тук нито една от осите на координатната система не отговаря на параметъра. Вместо това разглеждаме само двумерното пространство от стойности на функцията. Този подход е полезен, защото размерността на стойностите е по-голяма от размерността на аргументите.

Губим информацията за аргументите

Основен проблем при параметричния вид е, че не можем директно да кажем кой аргумент отговаря на дадена стойност върху начертаната крива. Например, нека разгледаме следните две функции:
f(t)=[cos(t)sin(t)]g(t)=[cos(t+π)sin(t+π)]
Ако начертаем тези две параметрични функции за t от 0 до 2π, всяка от тях описва единичната окръжност.
Обаче това са две различни функции. Например, пресметни техните стойности за t=0.
Ако f(t)=[cos(t)sin(t)], на колко е равно f(0)?
Избери един отговор:

Ако g(t)=[cos(t+π)sin(t+π)], на колко е равно g(0)?
Избери един отговор:

Един от начините да проследим къде се различават двете функции е да отбележим няколко точки от кривата със съответните стойности на параметъра, на които отговарят:
f(t)=[cos(t)sin(t)]
g(t)=[cos(t+π)sin(t+π)]
Алтернативно можеш да си представиш, че кривата се отнася за времето, когато t се променя от началната до крайната си стойност. Това е особено полезно, когато функцията моделира траекторията на частица в пространството.

Параметризация

В математическия анализ, особено когато става въпрос за т. нар. "криволинеен интеграл", често ни е зададена крива, която искаме да параметризираме. Често тази крива е точно единичната окръжност, която разглеждаме в момента.
Намирането на функция, която изчертава кривата, се нарича параметризиране на дадената крива. По-горе видяхме две различни функции, които параметризират единичната окръжност. Най-широко използваната параметризация обаче е следната:
f(t)=[cos(t)sin(t)]
Забележка: Когато параметризираш крива, трябва да дадеш не само функцията, но и интервала, в който параметърът изчертава исканата крива. Например при горната дефиниция на f(t) като параметризация на единичната окръжност, t се мени от 0 до 2π.

Пример: Параметризиране на спираловидна крива

Нека предположим, че търсим параметризация на следната спирала:
Първата стъпка в параметризирането на една крива е да помислим как бихме я нарисували. В този случай трябва да нарисуваме окръжност, движейки се обратно на часовниковата стрелка, докато някой бута ръката ни надясно с постоянна скорост. За да опишем този процес чрез формули, първо записваме параметричната функция за окръжност:
f(t)=[cos(t)sin(t)]
Това е обаче единичната окръжност. Тъй като търсената крива започва в точката (2;0), трябва да транслираме функцията с 3 единици по оста x (тоест 3 единици наляво) в посока обратно на часовниковата стрелка
f(t)=[cos(t)3sin(t)]
Частта с избутването на ръката надясно съответства на равномерно увеличение на x-координатата спрямо времето. За да отразим това, добавяме линейна функция равна на константа c пъти по t към x-компонентата на функцията.
f(t)=[cos(t)3+ctsin(t)]
За да разберем на колко е равна константата, трябва да разберем какво е отместването надясно след една обиколка на окръжността. Функцията f(t) прави един оборот за t от 0 до 2π. Гледайки по-внимателно графиката, виждаме, че изместването е с 1 единица надясно при всяка обиколка.
Това означава, че имаме 2πc=1 и следователно c=12π.
f(t)=[cos(t)3+12πtsin(t)]
И накрая остава да определим интервала от стойности на t. Колко оборота прави кривата от началната до крайната си точка?
Изглежда са 6. Тъй като функцията f(t) прави един оборот за всяка стъпка на нарастване на t с 2π, то търсеният интервал е от 0 до 6(2π)=12π.

Обобщение

  • Можем да представим дадена векторна функция на един аргумент като крива в пространството.
  • Такова представяне наричаме параметрично, и аргументът на функцията параметър.
  • Понякога в математическия анализ търсим параметрично представяне на дадена крива. Това наричаме параметризиране на кривата.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.