If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 1

Урок 6: Графики на функции на много променливи (статии)
Математика
Анализ на функции на много променливи
Функции на няколко променливи
Графики на функции на много променливи (статии)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Параметрично представяне на функции, един параметър

Класна стая на Google
Параметризацията представлява удобен начин за представяне на векторни функции на един аргумент.

Преговор

Можеш да научиш още за параметричното представяне на функции в това видео. Тази статия описва същите идеи в контекста на уроците за функции на много променливи.

Основни идеи

  • Можем да представим дадена векторна функция на един аргумент като крива в пространството.
  • Такова представяне наричаме параметрично, и аргументът на функцията параметър.
  • Понякога в математическия анализ търсим параметрично представяне на дадена крива. Това наричаме параметризиране на кривата.

Графики на векторни функции

Представи си, че един ден, щастливо четейки учебник по математика, видиш функция от следния вид:
f(t)=[t⋅cos⁡(2πt)t⋅sin⁡(2πt)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} t \cdot \cos(2\pi t) \\ t \cdot \sin(2\pi t) \end{array} \right]
Каква графика би начертал/а?
Дадената функция приема един аргумент t и стойността ѝ е двумерен вектор. Например за t, equals, 1 стойността на функцията е:
f(1)=[1⋅cos⁡(2π⋅1)1⋅sin⁡(2π⋅1)]=[10]\displaystyle f(1) = \left[ \begin{array}{c} 1 \cdot \cos(2\pi \cdot1) \\ 1 \cdot \sin(2\pi \cdot 1) \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]
Това е вектор с дължина 1, успореден на абсцисата.
Но как ще начертаем всички такива вектори наведнъж?
Една от възможностите е да начертаем кривата, описана от върха на този вектор, когато аргументът t се мени. Например, следният динамичен чертеж показва тази крива в интервала за t от 0 до 3:
Тази крива наричаме параметрична крива. Съответната функция наричаме параметрична функция, ако я разглеждаме като крива, генерирана от параметър. Аргумента t на функцията наричаме параметър.

Разглеждаме само стойностите на функцията

Обърни внимание, че за разлика от обикновените графики, където виждаме аргументите и стойностите на функцията, тук нито една от осите на координатната система не отговаря на параметъра. Вместо това разглеждаме само двумерното пространство от стойности на функцията. Този подход е полезен, защото размерността на стойностите е по-голяма от размерността на аргументите.

Губим информацията за аргументите

Основен проблем при параметричния вид е, че не можем директно да кажем кой аргумент отговаря на дадена стойност върху начертаната крива. Например, нека разгледаме следните две функции:
f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]g(t)=[cos⁡(t+π)sin⁡(t+π)]\begin{aligned} \blueE{f(t)} &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right] \\\\ \redE{g(t)} &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \sin(t+\pi) \end{array} \right] \end{aligned}
Ако начертаем тези две параметрични функции за t от 0 до 2, pi, всяка от тях описва единичната окръжност.
Кръг / окръжност
Обаче това са две различни функции. Например, пресметни техните стойности за t, equals, 0.
Ако f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]\blueE{f(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right], на колко е равно start color #0c7f99, f, left parenthesis, 0, right parenthesis, end color #0c7f99?
Избери един отговор:

Ако g(t)=[cos⁡(t+π)sin⁡(t+π)]\redE{g(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \sin(t+\pi) \end{array} \right], на колко е равно start color #bc2612, g, left parenthesis, 0, right parenthesis, end color #bc2612?
Избери един отговор:

Един от начините да проследим къде се различават двете функции е да отбележим няколко точки от кривата със съответните стойности на параметъра, на които отговарят:
f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]\blueE{f(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
Първа параметризация на окръжността
g(t)=[cos⁡(t+π)sin⁡(t+π)]\redE{g(t)} = \left[\begin{array}{c} \cos(t+\pi) \\ \sin(t+\pi) \end{array} \right]
Втора параметризация на окръжността
Алтернативно можеш да си представиш, че кривата се отнася за времето, когато t се променя от началната до крайната си стойност. Това е особено полезно, когато функцията моделира траекторията на частица в пространството.

Параметризация

В математическия анализ, особено когато става въпрос за т. нар. "криволинеен интеграл", често ни е зададена крива, която искаме да параметризираме. Често тази крива е точно единичната окръжност, която разглеждаме в момента.
Кръг / окръжност
Намирането на функция, която изчертава кривата, се нарича параметризиране на дадената крива. По-горе видяхме две различни функции, които параметризират единичната окръжност. Най-широко използваната параметризация обаче е следната:
f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]f(t) = \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
Забележка: Когато параметризираш крива, трябва да дадеш не само функцията, но и интервала, в който параметърът изчертава исканата крива. Например при горната дефиниция на f, left parenthesis, t, right parenthesis като параметризация на единичната окръжност, t се мени от 0 до 2, pi.

Пример: Параметризиране на спираловидна крива

Нека предположим, че търсим параметризация на следната спирала:
Опиши окръжност, движейки се надясно
Първата стъпка в параметризирането на една крива е да помислим как бихме я нарисували. В този случай трябва да нарисуваме окръжност, движейки се обратно на часовниковата стрелка, докато някой бута ръката ни надясно с постоянна скорост. За да опишем този процес чрез формули, първо записваме параметричната функция за окръжност:
f(t)=[cos⁡(t)sin⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
Това е обаче единичната окръжност. Тъй като търсената крива започва в точката left parenthesis, minus, 2, ;, 0, right parenthesis, трябва да транслираме функцията с minus, 3 единици по оста x (тоест 3 единици наляво) в посока обратно на часовниковата стрелка
f(t)=[cos⁡(t)−3sin⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 \\ \sin(t) \end{array} \right]
Частта с избутването на ръката надясно съответства на равномерно увеличение на x-координатата спрямо времето. За да отразим това, добавяме линейна функция равна на константа start color #bc2612, c, end color #bc2612 пъти по t към x-компонентата на функцията.
f(t)=[cos⁡(t)−3+ctsin⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 + \redE{c}t\\ \sin(t) \end{array} \right]
За да разберем на колко е равна константата, трябва да разберем какво е отместването надясно след една обиколка на окръжността. Функцията f, left parenthesis, t, right parenthesis прави един оборот за t от 0 до 2, pi. Гледайки по-внимателно графиката, виждаме, че изместването е с 1 единица надясно при всяка обиколка.
Изместване надясно за един оборот
Това означава, че имаме 2, pi, start color #bc2612, c, end color #bc2612, equals, 1 и следователно start color #bc2612, c, equals, start fraction, 1, divided by, 2, pi, end fraction, end color #bc2612.
f(t)=[cos⁡(t)−3+12πtsin⁡(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) -3 + \redE{\frac{1}{2\pi}}t\\ \sin(t) \end{array} \right]
И накрая остава да определим интервала от стойности на t. Колко оборота прави кривата от началната до крайната си точка?
Опиши окръжност, движейки се надясно
Изглежда са 6. Тъй като функцията f, left parenthesis, t, right parenthesis прави един оборот за всяка стъпка на нарастване на t с 2, pi, то търсеният интервал е от 0 до 6, left parenthesis, 2, pi, right parenthesis, equals, 12, pi.

Обобщение

  • Можем да представим дадена векторна функция на един аргумент като крива в пространството.
  • Такова представяне наричаме параметрично, и аргументът на функцията параметър.
  • Понякога в математическия анализ търсим параметрично представяне на дадена крива. Това наричаме параметризиране на кривата.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.