If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Трансформации

В този урок ще се научим как да представяме функции на много променливи като различни трансформации на пространството.

Основна идея на трансформациите

Всеки метод за изобразяване на функция на много променливи цели да визуализира връзката между аргументите и стойностите на функцията.
  • Когато чертаем графика, това става чрез представяне на точки, чиито координати съдържат аргументите и съответните стойности на функцията.
  • Когато чертаем контурна графика, изобразяваме аргументите, които дават определена (фиксирана от нас) стойност.
  • При представяне на дадена функция параметрично, изобразяваме всички възможни стойности на тази функция.
  • Векторното поле е графика, изобразяваща стойността на функцията като вектор с отправна точка съответния аргумент.
Представянето на многомерни функции като трансформации поставя фокус върху движението, което аргументът извършва, за да стигне съответната си стойност.
Подобни идеи не се срещат често и първоначално са доста объркващи.
В предишни уроци вече сме разглеждали трансформации. Ето видео от урока за параметрични повърхнини, което изобразява трансформация на квадрат в тор:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

За какво са полезни трансформациите

Представянето на дадена функция като трансформация често е полезно по няколко причини:
  • Размерността на аргументите и стойностите на функцията не ни ограничава. И двете могат да бъдат скалари, двумерни или тримерни вектори.
    Дори когато става въпрос за многомерни пространства, които не можем да си представим, често можем да използваме аналогия. Например, ако дадена функция от 100-мерното пространство в 20-мерното "изравнява" останалите 80 измерения, можем да си представим тази трансформация като проекция на тримерно пространство върху права.
  • Можем да обобщим тази идея за функции с различни видове аргументи и стойности, например комплексни числа, или функции, които превръщат единичната сфера в равнина.
  • Този поглед върху функциите онагледява връзката между анализа на функции на много променливи и линейната алгебра.
Обаче, макар че трансформациите ни помагат да разберем дадена функция, те не ни дават никаква точна информация за нея. Изключително рядко можем да изведем свойствата на дадена функция чрез представянето ѝ като трансформация.

Пример 1: От права към права

Нека започнем с обикновена скаларна функция.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 3
Разглеждаме всички възможни двойки аргумент-стойност.
x (аргумент)x, squared, minus, 3 (стойност)
minus, 21
minus, 1minus, 2
0minus, 3
1minus, 2
21
\varvdots, rectangle\varvdots, rectangle
Как би изглеждала анимация, представяща всички аргументи, придвижващи се към съответните си стойности? Ако представим дефиниционната област на функцията като числова ос и функционалното множество като друга числова ос, получаваме следната анимация:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Тъй като в случая дефиниционното множество и множеството от стойностите на функцията са еднакви, можем да изобразим трансформацията върху една числова ос:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Пример 2: От права към равнина

Този път нека разгледаме функция на един аргумент, чиито стойности са двумерни вектори, например
f(x)=(cos(x);x2sin(x))\begin{aligned} \quad f(x) = \left( \cos(x); \dfrac{x}{2}\sin(x) \right) \end{aligned}
Отново разглеждаме всички двойки аргумент-стойност.
Аргумент xСтойност left parenthesis, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, ;, start fraction, x, divided by, 2, end fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
0left parenthesis, 1, ;, 0, right parenthesis
start fraction, pi, divided by, 2, end fractionleft parenthesis, 0, ;, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, right parenthesis
pileft parenthesis, minus, 1, ;, 0, right parenthesis
\varvdots, rectangle\varvdots, rectangle
Представи си как всички аргументи се превръщат в съответстващите им стойности. Този път, тъй като стойностите са двумерни вектори, ги изобразяваме в равнината.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Крайният резултат (жълтата крива) е точно същият, какъвто бихме получили, ако начертаем f като параметрична крива. Само че този път можем да видим кои аргументи съответстват на точките от кривата.
Нека обърнем специално внимание на няколко определени аргументи и техните съответни стойности.
0f(0)=(cos(0);0sin(0))=(1;0)π2f(π2)=(cos(π2);π4sin(π2))=(0;π/4)πf(π)=(cos(π);π2sin(π))=(1,0)\begin{aligned} \quad \blueE{0} &\to f(0) = (\cos(0); 0\sin(0)) = \blueE{(1; 0)} \\ \\ \greenE{\frac{\pi}{2}} &\to f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right); \frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) = \greenE{(0; \pi/4)}\\ \\ \redE{\pi} &\to f(\pi) = (\cos(\pi); \frac{\pi}{2}\sin(\pi)) = \redE{(-1, 0)} \\ \\ \end{aligned}
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Пример 3: Равнинна трансформация

Ето как изглежда ротация на 90, degrees в равнината:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Тази трансформация представлява функция на два аргумента, чиито стойности са двумерни вектори. Защо?
Тази трансформация е просто съответствие на точки в двумерното пространство с други точки в двумерното пространство. Например точката left parenthesis, 1, ;, 0, right parenthesis се преобразува в left parenthesis, 0, ;, 1, right parenthesis. Точката left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis става left parenthesis, minus, 2, ;, 1, right parenthesis и т.н. Функцията, описваща тази трансформация, е:
f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, y, ;, x, right parenthesis
За всяка точка, например left parenthesis, 3, ;, 4, right parenthesis, функцията f дава координатите на точката след ротация на 90, degrees обратно на часовниковата стрелка (в този случай left parenthesis, minus, 4, ;, 3, right parenthesis).

Пример 4: Малко по-сложна равнинна трансформация

Нека разгледаме една малко по-интересна двумерна функция:
f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, ;, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis.
Аргументите на функцията са точки в двумерното пространство, например left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis, и стойностите също, съответно left parenthesis, 1, squared, plus, 2, squared, ;, 1, squared, minus, 2, squared, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, ;, minus, 3, right parenthesis. Ето как изглежда трансформацията, представена като анимация:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Обърни внимание, че всички точки от равнината се трансформират в точки само в дясната полуравнина. Това е така, защото първата координата на функцията е x, squared, plus, y, squared, което винаги е положително.
Въпрос-предизвикателство: За дадената трансформация, описана от функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, ;, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis, обърни внимание, че функционалното множество е квадрантът между правите x, equals, y и x, equals, minus, y. Кое от следните твърдения обяснява това?
Избери един отговор:

Пример 5: От равнина към права

Нека разгледаме скаларна функция на два аргумента.
f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared,
Съответната трансформация превръща равнината в числова ос.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Както виждаш, тази анимация не ни помага да разберем функцията твърде добре, така че може би в този случай по-удачно би било да начертаем графика или контурна карта. Въпреки това е полезно да имаме предвид, че скаларните функции на две променливи някак смачкват равнината и я превръщат в права.
Например това ни дава нова интерпретация на равнинните множества в контурните графики: те представляват всички точки от равнината, които се превръщат в една и съща точка върху правата.

Пример 6: От равнина към пространството

Функциите на две променливи, чиито стойности са тримерни вектори, представляват трансформации на равнината в повърхнина. Например ето как изглежда една такава трансформация:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Аналогично на един от предишните примери, крайният резултат е параметричната повърхнина, описана от функцията.

Пример 7: Трансформации на тримерното пространство

Тримерните функции представляват трансформации на тримерното пространство. Обаче, тъй като имаме много променливи, изображения на подобни трансформации са по-скоро объркващи. Нека например да разгледаме следната функция:
f, left parenthesis, x, ;, y, ;, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, y, z, ;, x, z, ;, x, y, right parenthesis
Ето как изглежда трансформацията, описана от функцията.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Тази анимация не ни дава никаква полезна информация за функцията, която изобразява.

Заключителни мисли

Представянето на функции като трансформации е прекрасен начин за онагледяване на определени свойства на функциите. Например константните функции смачкват дефиниционната си област в една точка, а прекъснатите функции въвеждат прекъсване в дефиниционната си област.
Тези интуитивни идеи са много полезни в анализа на функции на много променливи, тъй като в тази област обикновено извършваме чисто алгебрични пресмятания и често пропускаме интерпретацията на резултатите.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.