Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 1

Урок 6: Графики на функции на много променливи (статии)

Не разчитай на графики

Въпреки че графиките са много полезни при работата със скаларни функции, те често са по-скоро объркващи при функции на много променливи и/или векторни функции.

Преговор

Графиките не са единственият начин

Ако разглеждаме функция на една променлива, например дадената по-долу, често работим с нейната графика.

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, squared, plus, 2, x, plus, 3

Обаче, важно е да знаем, че функцията и нейната графика не са едно и също нещо. Това може да ти се струва очевидно, но тъй като редовно използваме графики в работата си с функции на една променлива, често се опитваме да си представим функциите на няколко променливи по същия начин - а това е невъзможно.

Например производните. В някои от статиите си се сблъскал/а с формалната дефиниция:

\begin{aligned} \quad f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{Формална дефиниция на производна.}}} \end{aligned}

Но, честно, колко пъти си използвал/а тази дефиниция в задачи?

По-лесно и по-интуитивно е да разглеждаме производната като наклона на графиката на f. Няма нищо лошо в това! Поне за функции на една променлива.

В анализа на функции на много променливи не винаги работим с графиките на разглежданите функции. Съответно производната на такава функция не винаги може да бъде представена като наклона на графиката. Но това не означава, че няма начин да визуализираме производната! Просто тази визуализация изглежда различно от това, с което си свикнал/а.

По същия начин разглеждането на интеграла като площта под графиката на дадена функция е толкова разпространено, че рядко мислим за интеграла по друг начин.

Функциите на много променливи изискват известна степен на гъвкавост в това как визуализираме функциите. Съответно идеите за производна и интеграл трябва да се преосмислят, за да съвпаднат с тази визуализация.

Например производната измерва изменението на стойността на функцията при малка промяна на аргумента. Обаче, ако функцията приема многомерни стойности, думата "наклон" вече няма смисъл. Вместо това можем да разгледаме наклоните в посоките на всяка една от координатите на функцията.

Аналогично, интегрирането е безкрайна сума от безкрайно малки събираеми, но това не винаги изразява някаква площ. Във физиката, например, често чрез интеграл пресмятаме "работата", извършена от дадена сила върху даден обект, но тази "работа" не е свързана директно с никаква площ.

Пет различни визуализации

В следващите няколко статии ще разгледаме пет различни начина за изобразяване на функции на много променливи. Засега накратко ще ги изредим.

Във всяко от следващите описания, понятията "дефиниционна област" и "функционално множество" означават съответно какви са пространствата на аргументите и стойностите на функцията. Например, ако аргументите на дадена функция са от вида left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, например left parenthesis, 2, ;, 5, right parenthesis, и стойностите ѝ са едномерни, например 5, дефиниционната област може да е равнината x, y, а функционалното множество може да е множеството от реални числа.

[Аргументи и стойности]

Добре познатите ни графики. Графиките визуализират едновременно дефиниционната област и функционалното множество, но за сметка на това измеренията им са силно ограничени. Затова по-скоро ги използваме за визуализация на функции на една променлива или на скаларни функции с два аргумента.
Контурни графики. Контурните графики изобразяват само дефиниционната област и се използват за функции с два аргумента и едномерни стойности.
Параметрични криви/повърхнини. Параметричните криви и повърхнини изобразяват само функционалното множество и се използват за функции, чиито функционално множество има повече измерения от дефиниционната област.
Векторни полета. Използваме ги за функции, чиито дефиниционно и функционално множество са с еднаква размерност. Например, ако функцията приема два аргумента и дава стойности в двумерното пространство.
Трансформации. Тази визуализация можем да използваме за всяка една функция, без значение от размерността на аргументите и стойностите ѝ. Те обаче се визуализират чрез анимация или схематична рисунка. Затова трансформациите се използват повече за затвърждаване на интуицията за дадена функция, а не за конкретни задачи.

За всяка нова тема и всяко ново определение, което научаваш, е добра практика да опиташ да приложиш наученото във всеки един от тези пет контекста. Например: производната представлява наклона на графиката на дадената функция, но означава нещо съвсем различно, ако разглеждаме параметрично зададени криви и повърхнини, векторни полета или контурни изображения.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.