Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 1

Урок 2: Вектори и матрици

Векторно произведение

Научи какво представлява векторното произведение от геометрична гледна точка, правилото на дясната ръка и как се намира векторно произведение.

Също като при скаларното произведение, векторното произведение е операция между два вектора. Преди да разгледаме формулата за векторното произведение, да поговорим за някои от неговите свойства.

Свойства на векторното произведение

Векторното произведение на два вектора се записва като a, with, vector, on top, times, b, with, vector, on top (произнася се "a хикс b"). За разлика от скаларното произведение, чийто резултат е число, резултатът на векторното произведение е друг вектор. Можем да кажем, че a, with, vector, on top, times, b, with, vector, on top, equals, c, with, vector, on top. Полученият нов вектор c, with, vector, on top има две специални свойства.

Първо – той е перпендикулярен и на двата вектора a, with, vector, on top и b, with, vector, on top. Ако изразим това като скаларно произведение, можем да кажем, че c, with, vector, on top, dot, a, with, vector, on top, equals, c, with, vector, on top, dot, b, with, vector, on top, equals, 0. Дори само това свойство прави векторното произведение много полезно. Това също така е причината векторното произведение да се използва само при три измерения. В две измерения не винаги съществува вектор, който е перпендикулярен на всяка двойка вектори. При четири и повече измерения съществуват безкрайно много вектори, които са перпендикулярни на дадена двойка вектори.

Второто свойство на векторното произведение е, че дължината на получения вектор c, with, vector, on top е мярка за това колко надалеч сочат векторите a, with, vector, on top и b, with, vector, on top, умножено по техните дължини.

Това е подобно на скаларното произведение, но вместо cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis във векторното произведение се използва sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, където theta е ъгълът между a, with, vector, on top и b, with, vector, on top. По този начин, когато ъгълът е 90 градуса, векторното произведение е най-голямо. Ето защо казваме, че скаларното произведение и векторното произведение се допълват взаимно.

Има един начин за представяне на дължината на получения вектор c, with, vector, on top, който е много удобен. Представи си успоредник, който е образуван от векторите a, with, vector, on top and b, with, vector, on top. Основата на този успоредник е \|, a, with, vector, on top, \|, а височината му е \|, b, with, vector, on top, \|, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis. Това означава, че лицето на успоредника е равно точно на дължината на векторното произведение.

Правило на дясната ръка

Обърни внимание, че векторното произведение е перпендикулярно на вектор a, with, vector, on top и на вектор b, with, vector, on top, както се очаква. Но тук виждаме два вектора, които са перпендикулярни на a, with, vector, on top и b, with, vector, on top. Ако c, with, vector, on top, equals, a, with, vector, on top, times, b, with, vector, on top, то двата варианта са вектор c, with, vector, on top и вектор minus, c, with, vector, on top. Как да разберем кой от тях е векторното произведение?

За да се разреши това двусмислие е прието да се използва така нареченото "правило на дясната ръка". Ако поставиш дясната си ръка така, че показалецът да сочи по посока на вектор a, with, vector, on top, а средният ти пръст да сочи по посока на вектор b, with, vector, on top, тогава палецът ти ще бъде насочен по посока на вектор a, with, vector, on top, times, b, with, vector, on top.

Въпреки че е избрано е на произволен принцип посоката на векторното произведение да се определя по правилото на дясната ръка, а не по правилото на лявата ръка, това е начинът да се избегне двусмислието и да се определи посоката на векторното произведение.

Една малко сложна формула

Полезното при векторното произведение са неговите свойства, а не неговата формула. Но понякога се налага все пак да изчисляваме векторно произведение. Но за съжаление формулата за векторно произведение не е така лесна като тази на скаларното произведение на вектори. Когато стигнем до статия за детерминанти, ще видим по-лесен начин за запомняне на формулата за векторно произведение. Засега:

\begin{aligned} \vec{a} &= (a_1; a_2; a_3) \\ \\ \vec{b} &= (b_1; b_2; b_3) \\ \\ \vec{a} \times \vec{b} &= \begin{bmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{bmatrix} \end{aligned}

Да решим един пример с тази формула.

Задача 1

left parenthesis, 3, ;, 0, ;, 2, right parenthesis, times, left parenthesis, minus, 1, ;, 4, ;, 2, right parenthesis, equals
left parenthesis
Отговорът ти трябва да бъде
цяло число, като 6
несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
смесено число като 1, space, 3, slash, 4
точна десетична дроб като 0, point, 75
кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
;
Отговорът ти трябва да бъде
цяло число, като 6
несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
смесено число като 1, space, 3, slash, 4
точна десетична дроб като 0, point, 75
кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
;
Отговорът ти трябва да бъде
цяло число, като 6
несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
смесено число като 1, space, 3, slash, 4
точна десетична дроб като 0, point, 75
кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

Сега да видим на практика едно от свойствата, които дискутирахме.

Задача 2

Единият вектор, който участва във векторното произведение, е a, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 3, ;, 0, ;, 2, right parenthesis. Нека вектор c, with, vector, on top да е векторът, получен в резултат на векторното произведение по-горе.

Колко е скаларното произведение a, with, vector, on top, dot, c, with, vector, on top?

Сравнение между скаларно и векторно произведение

Когато сравняваме скаларното и векторното произведение, виждаме три основни разлики.

Скаларното произведение е равно на число, а векторното произведение е равно на вектор.
Скаларното произведение е приложимо за произволен брой измерения, а векторното произведение е приложимо само в три измерения.
Скаларното произведение измерва доколко два вектора сочат в една посока, докато векторното произведение измерва доколко двата вектора сочат в различни посоки.

Засега това е всичко, което трябва да знаем за векторното произведение. Ако имаш желание да научиш повече по темата, гледай това видео.

Какво следва

Вече имаме солидна основа от знания за векторите и начините да ги комбинираме. Следващата тема, която ще разгледаме, са матрици. Следващите три статии описват какво представляват матриците, как можем да ги представим графично и едно тяхно полезно свойство, така наречената детерминанта.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.