If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Детерминанти

Научи какво представлява детерминантата, как се изчислява и каква е връзката ѝ с векторното произведение.
Когато разглеждаме матриците като движение, в известен смисъл това означава, че матриците разпъват пространството или го свиват. Този мащабиращ коефициент си има специално име: детерминанта.

Детерминантата като мащабиращ коефициент

Да разгледаме няколко примера, за да добием представа какво прави детерминантата. Тук показваме как изглежда координатната мрежа, преди да приложим някаква матрица. Площта на малкото квадратче е 1.
Когато матрицата уголемява нещата, тогава нейната детерминанта е по-голяма от 1.
Когато матрицата нито разтяга нещата, нито ги свива, тогава детерминантата е равна точно на 1. Пример за това е ротацията.
Когато матрицата смалява нещата, тогава детерминантата ѝ е по-малка от 1.
Някои матрици свиват пространството до такава степен, че го превръщат в една единствена права. Това се случва винаги, когато матрицата изобразява единичните вектори ı^ и ȷ^ като кратни един на друг, които лежат на една и съща права. Детерминантите на такива матрици са 0.
Въпреки че детерминантите са мащабиращи коефициенти, те не винаги са положителни числа. Знакът на детерминантата зависи от ориентацията на ı^ и ȷ^. Ако една матрица обръща посоката, тогава нейната детерминанта е отрицателна. Обърни внимание как ı^ е отляво на ȷ^ на изображението по-долу, докато обикновено е отдясно на ȷ^.
Същата идея за мащабиращи площи се отнася и за тримерни матрици. Единствената разлика е, че в три измерения матрицата мащабира обем, а не площ. Единичното квадратче става единично кубче, чиито страни са единичните вектори ı^, ȷ^ и k^.
Ако ти е интересно, можеш да разгледаш детерминантите като мащабиращи коефициенти в тази интерактивна демонстрация. Обърни внимание, че винаги, когато обърнеш посоката на единичните вектори, преминаваме през един момент, в който детерминантата е нула.
И още нещо важно е това, че детерминантата има смисъл само за квадратни матрици. Това е така, защото квадратните матрици преместват векторите от n-мерно пространство в n-мерно пространство, така че можем да кажем, че се променя обем. За неквадратни матрици в линейната алгебра се ползват понятията нулево пространство и множество от стойности, но те не се разглеждат в анализа на функции на много променливи. Всички формули в следващите уроци включват матрици, които имат равен брой стълбове и редове.

Как се изчислява детерминанта

Сега, когато вече имаме добра представа какво е детерминантата, можем да преминем към намирането на детерминантата на дадена матрица. Ще разгледаме това за случаи на матрици с размери 2×2 и 3×3.

Изчисляване на двумерни детерминанти

Има два начина за записване на детерминантата.
det([abcd])=|abcd|
Формулата на двумерната детерминанта е adbc. Например:
det([1354])=1435=11
Нека опитаме с една практическа задача.
Задача 1
det([3123])=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Ако искаш да се упражниш още в изчисляването на двумерни детерминанти, виж това упражнение.

Изчисляване на тримерни детерминанти

Общата формула за матрици с размер 3×3 е многословна, но да започнем с един конкретен пример. Горният ред е удебелен, защото ще го разглеждаме елемент по елемент, за да получим детерминантата.
det([212331142])=???
Първо да разгледаме числото 2 в горния ляв край на матрицата. Да го наречем "число-котва". Представи си, че пренебрегваме всички елементи, които са в един и същ ред и стълб с нашето число-котва. Тогава матрицата ще изглежда ето така:
[23142]
Сега намираме двумерната детерминанта на подматрицата, която получихме.
det([3142])=3214=2
Накрая умножаваме тази двумерна детерминанта по числото-котва 2, за да получим 22=4. Полученото число 4 е първият от три члена, които ще съберем, за да получим нашата тримерна детерминанта.
det([212331142])=4+??
Да преминем към следващата стъпка. Този път нашето число-котва е 1.
[13112]
Намираме двумерната детерминанта на получената подматрица и получаваме 3211=5. Сега е малко странно, но умножаваме резултата по числото-котва със знак минус, за да получим втория член 15=5. Като правило редуваме да умножаваме малката детерминанта по числото-котва и после по минус числото-котва, което може да се сравни с една шахматна дъска, на която се редуват черни и бели квадрати:
[+++++]
Вече имаме два от трите члена.
det([212331142])=45+?
В последната стъпка числото-котва е 2. Съгласно шахматното правило тук не ни е нужен знак минус. Само да си представим подматрицата, която получаваме сега. Нейната детерминанта е 3431=9. Умножаваме я по постоянното число и получаваме 29=18.
Накрая събираме всички членове и получаваме 45+18=17. Оказва се, че намирането на детерминантата на матрица с размер 3×3 е доста трудоемко. Свършихме добра работа!
Ето друг пример, който ще направим наведнъж. Опитай се да си представиш елементите в реда и стълба на всяко число-котва, за да видиш как се получава подматрицата.
det([413024321])=4det([2421])1det([0431])+3det([0232])=4(6)1(12)+3(6)=30
Ако приложим същата процедура за общия случай на матрица 3×3, ще получим много дълга формула. Тук, обаче, важното е да запомниш каква стратегия ползваме за изчисляване на детерминантата, а не самата формула.
det([abcdefghi])=adet([efhi])bdet([dfgi])+cdet([degh])=aeiafhbdi+bfg+cdhceg
Нека опитаме с една практическа задача.
Задача 2
det([112202433])=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

За повече информация за изчисляването на тримерни детерминанти гледай това видео.

Връзка с векторното произведение

Формулата за векторно произведение е доста трудна, но има един чудесен начин да я изведеш за миг. За намиране на векторното произведение на a=(a1,a2,a3) и b=(b1,b2,b3) просто изчисли следната детерминанта 3×3 като горният ред съдържа единичните векториı^, ȷ^ и k^.
det([ı^ȷ^k^a1a2a3b1b2b3])=ı^det([a2a3b2b3])ȷ^det([a1a3b1b3])+k^det([a1a2b1b2])=a×b
Технически погледнато, тази детерминанта 3×3 не е дефинирана, защото в горния си ред съдържа вектори, а не числа. Но ако все пак я пресметнем, ще получим векторното произведение на векторите a и b. Много ученици запомнят по-бързо формулата за векторно произведение, изразена като детерминанта.

Какво следва

И сега ни очаква света на анализа на функции на много променливи! Поздравления за това, че направи този преговор върху вектори и матрици. Сега имаме всички нужни понятия и се надявам, че си изградил/а логическа и визуална представа за тях.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.