Детерминанти

Когато разглеждаме матриците като движение, в известен смисъл това означава, че матриците разпъват пространството или го свиват. Този мащабиращ коефициент си има специално име: детерминанта.

Да разгледаме няколко примера, за да добием представа какво прави детерминантата. Тук показваме как изглежда координатната мрежа, преди да приложим някаква матрица. Площта на малкото квадратче е $1$1.

Когато матрицата уголемява нещата, тогава нейната детерминанта е по-голяма от $1$1.

Когато матрицата нито разтяга нещата, нито ги свива, тогава детерминантата е равна точно на $1$1. Пример за това е ротацията.

Когато матрицата смалява нещата, тогава детерминантата ѝ е по-малка от $1$1.

Някои матрици свиват пространството до такава степен, че го превръщат в една единствена права. Това се случва винаги, когато матрицата изобразява единичните вектори $\blueD{\hat{\imath}}$start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и $\maroonD{\hat{\jmath}}$start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c като кратни един на друг, които лежат на една и съща права. Детерминантите на такива матрици са $0$0.

Въпреки че детерминантите са мащабиращи коефициенти, те не винаги са положителни числа. Знакът на детерминантата зависи от ориентацията на $\blueD{\hat{\imath}}$start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и $\maroonD{\hat{\jmath}}$start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c. Ако една матрица обръща посоката, тогава нейната детерминанта е отрицателна. Обърни внимание как $\blueD{\hat{\imath}}$start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd е отляво на $\maroonD{\hat{\jmath}}$start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c на изображението по-долу, докато обикновено е отдясно на $\maroonD{\hat{\jmath}}$start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c.

Същата идея за мащабиращи площи се отнася и за тримерни матрици. Единствената разлика е, че в три измерения матрицата мащабира обем, а не площ. Единичното квадратче става единично кубче, чиито страни са единичните вектори $\blueD{\hat{\imath}}$start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, $\maroonD{\hat{\jmath}}$start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c и $\greenD{\hat{k}}$start color #1fab54, k, with, hat, on top, end color #1fab54.

Ако ти е интересно, можеш да разгледаш детерминантите като мащабиращи коефициенти в тази интерактивна демонстрация. Обърни внимание, че винаги, когато обърнеш посоката на единичните вектори, преминаваме през един момент, в който детерминантата е нула.

И още нещо важно е това, че детерминантата има смисъл само за квадратни матрици. Това е така, защото квадратните матрици преместват векторите от $n$n-мерно пространство в $n$n-мерно пространство, така че можем да кажем, че се променя обем. За неквадратни матрици в линейната алгебра се ползват понятията нулево пространство и множество от стойности, но те не се разглеждат в анализа на функции на много променливи. Всички формули в следващите уроци включват матрици, които имат равен брой стълбове и редове.

Сега, когато вече имаме добра представа какво е детерминантата, можем да преминем към намирането на детерминантата на дадена матрица. Ще разгледаме това за случаи на матрици с размери $2 \times 2$2, times, 2 и $3 \times 3$3, times, 3.

Има два начина за записване на детерминантата.

Формулата на двумерната детерминанта е $ad - bc$a, d, minus, b, c. Например:

Нека опитаме с една практическа задача.

Ако искаш да се упражниш още в изчисляването на двумерни детерминанти, виж това упражнение.

Общата формула за матрици с размер $3 \times 3$3, times, 3 е многословна, но да започнем с един конкретен пример. Горният ред е удебелен, защото ще го разглеждаме елемент по елемент, за да получим детерминантата.

Първо да разгледаме числото $\blueD{2}$start color #11accd, 2, end color #11accd в горния ляв край на матрицата. Да го наречем "число-котва". Представи си, че пренебрегваме всички елементи, които са в един и същ ред и стълб с нашето число-котва. Тогава матрицата ще изглежда ето така:

Сега намираме двумерната детерминанта на подматрицата, която получихме.

Накрая умножаваме тази двумерна детерминанта по числото-котва $\blueD{2}$start color #11accd, 2, end color #11accd, за да получим $\blueD{2} \cdot \goldD{2} = 4$start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, equals, 4. Полученото число $4$4 е първият от три члена, които ще съберем, за да получим нашата тримерна детерминанта.

Да преминем към следващата стъпка. Този път нашето число-котва е $\maroonD{1}$start color #ca337c, 1, end color #ca337c.

Намираме двумерната детерминанта на получената подматрица и получаваме $3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = \goldD{5}$3, dot, 2, minus, 1, dot, 1, equals, start color #e07d10, 5, end color #e07d10. Сега е малко странно, но умножаваме резултата по числото-котва със знак минус, за да получим втория член $-\maroonD{1} \cdot \goldD{5} = -5$minus, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, equals, minus, 5. Като правило редуваме да умножаваме малката детерминанта по числото-котва и после по минус числото-котва, което може да се сравни с една шахматна дъска, на която се редуват черни и бели квадрати:

Вече имаме два от трите члена.

В последната стъпка числото-котва е $\greenD{2}$start color #1fab54, 2, end color #1fab54. Съгласно шахматното правило тук не ни е нужен знак минус. Само да си представим подматрицата, която получаваме сега. Нейната детерминанта е $3 \cdot 4 - 3 \cdot 1 = \goldD{9}$3, dot, 4, minus, 3, dot, 1, equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10. Умножаваме я по постоянното число и получаваме $\greenD{2} \cdot \goldD{9} = 18$start color #1fab54, 2, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, equals, 18.

Накрая събираме всички членове и получаваме $4 - 5 + 18 = 17$4, minus, 5, plus, 18, equals, 17. Оказва се, че намирането на детерминантата на матрица с размер $3 \times 3$3, times, 3 е доста трудоемко. Свършихме добра работа!

Ето друг пример, който ще направим наведнъж. Опитай се да си представиш елементите в реда и стълба на всяко число-котва, за да видиш как се получава подматрицата.

Ако приложим същата процедура за общия случай на матрица $3 \times 3$3, times, 3, ще получим много дълга формула. Тук, обаче, важното е да запомниш каква стратегия ползваме за изчисляване на детерминантата, а не самата формула.

Нека опитаме с една практическа задача.

За повече информация за изчисляването на тримерни детерминанти гледай това видео.

Формулата за векторно произведение е доста трудна, но има един чудесен начин да я изведеш за миг. За намиране на векторното произведение на $\vec{a} = (\blueD{a_1}, \maroonD{a_2}, \greenD{a_3})$a, with, vector, on top, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd, comma, start color #ca337c, a, start subscript, 2, end subscript, end color #ca337c, comma, start color #1fab54, a, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis и $\vec{b} = (\blueD{b_1}, \maroonD{b_2}, \greenD{b_3})$b, with, vector, on top, equals, left parenthesis, start color #11accd, b, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd, comma, start color #ca337c, b, start subscript, 2, end subscript, end color #ca337c, comma, start color #1fab54, b, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis просто изчисли следната детерминанта $3 \times 3$3, times, 3 като горният ред съдържа единичните вектори$\blueD{\hat{\imath}}$start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, $\maroonD{\hat{\jmath}}$start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c и $\greenD{\hat{k}}$start color #1fab54, k, with, hat, on top, end color #1fab54.

Технически погледнато, тази детерминанта $3 \times 3$3, times, 3 не е дефинирана, защото в горния си ред съдържа вектори, а не числа. Но ако все пак я пресметнем, ще получим векторното произведение на векторите $\vec{a}$a, with, vector, on top и $\vec{b}$b, with, vector, on top. Много ученици запомнят по-бързо формулата за векторно произведение, изразена като детерминанта.

И сега ни очаква света на анализа на функции на много променливи! Поздравления за това, че направи този преговор върху вектори и матрици. Сега имаме всички нужни понятия и се надявам, че си изградил/а логическа и визуална представа за тях.