If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Детерминанти

Научи какво представлява детерминантата, как се изчислява и каква е връзката ѝ с векторното произведение.
Когато разглеждаме матриците като движение, в известен смисъл това означава, че матриците разпъват пространството или го свиват. Този мащабиращ коефициент си има специално име: детерминанта.

Детерминантата като мащабиращ коефициент

Да разгледаме няколко примера, за да добием представа какво прави детерминантата. Тук показваме как изглежда координатната мрежа, преди да приложим някаква матрица. Площта на малкото квадратче е 1.
Когато матрицата уголемява нещата, тогава нейната детерминанта е по-голяма от 1.
Когато матрицата нито разтяга нещата, нито ги свива, тогава детерминантата е равна точно на 1. Пример за това е ротацията.
Когато матрицата смалява нещата, тогава детерминантата ѝ е по-малка от 1.
Някои матрици свиват пространството до такава степен, че го превръщат в една единствена права. Това се случва винаги, когато матрицата изобразява единичните вектори start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c като кратни един на друг, които лежат на една и съща права. Детерминантите на такива матрици са 0.
Въпреки че детерминантите са мащабиращи коефициенти, те не винаги са положителни числа. Знакът на детерминантата зависи от ориентацията на start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c. Ако една матрица обръща посоката, тогава нейната детерминанта е отрицателна. Обърни внимание как start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd е отляво на start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c на изображението по-долу, докато обикновено е отдясно на start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c.
Същата идея за мащабиращи площи се отнася и за тримерни матрици. Единствената разлика е, че в три измерения матрицата мащабира обем, а не площ. Единичното квадратче става единично кубче, чиито страни са единичните вектори start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c и start color #1fab54, k, with, hat, on top, end color #1fab54.
Ако ти е интересно, можеш да разгледаш детерминантите като мащабиращи коефициенти в тази интерактивна демонстрация. Обърни внимание, че винаги, когато обърнеш посоката на единичните вектори, преминаваме през един момент, в който детерминантата е нула.
И още нещо важно е това, че детерминантата има смисъл само за квадратни матрици. Това е така, защото квадратните матрици преместват векторите от n-мерно пространство в n-мерно пространство, така че можем да кажем, че се променя обем. За неквадратни матрици в линейната алгебра се ползват понятията нулево пространство и множество от стойности, но те не се разглеждат в анализа на функции на много променливи. Всички формули в следващите уроци включват матрици, които имат равен брой стълбове и редове.

Как се изчислява детерминанта

Сега, когато вече имаме добра представа какво е детерминантата, можем да преминем към намирането на детерминантата на дадена матрица. Ще разгледаме това за случаи на матрици с размери 2, times, 2 и 3, times, 3.

Изчисляване на двумерни детерминанти

Има два начина за записване на детерминантата.
det([abcd])=abcd\det\left( \left[ \begin{array}{cc} \blueD{a} & \maroonD{b} \\ \blueD{c} & \maroonD{d} \end{array} \right] \right) = \bigg| \begin{array}{cc} \blueD{a} & \maroonD{b} \\ \blueD{c} & \maroonD{d} \end{array} \bigg|
Формулата на двумерната детерминанта е a, d, minus, b, c. Например:
det([1354])=1435=11\det\left( \left[ \begin{array}{cc} \blueD{1} & \maroonD{3} \\ \blueD{5} & \maroonD{4} \end{array} \right] \right) = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 5 = -11
Нека опитаме с една практическа задача.
Задача 1
det([3123])=\det\left( \left[ \begin{array}{cc} \blueD{3} & \maroonD{-1} \\ \blueD{-2} & \maroonD{3} \end{array} \right] \right) =
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Ако искаш да се упражниш още в изчисляването на двумерни детерминанти, виж това упражнение.

Изчисляване на тримерни детерминанти

Общата формула за матрици с размер 3, times, 3 е многословна, но да започнем с един конкретен пример. Горният ред е удебелен, защото ще го разглеждаме елемент по елемент, за да получим детерминантата.
det([212331142])=  ???\det\left( \left[ \begin{array}{ccc} \bold{\blueD{2}} & \bold{\maroonD{1}} & \bold\greenD{{2}} \\ \blueD{3} & \maroonD{3} & \greenD{1} \\ \blueD{1} & \maroonD{4} & \greenD{2} \end{array} \right] \right) = \; ???
Първо да разгледаме числото start color #11accd, 2, end color #11accd в горния ляв край на матрицата. Да го наречем "число-котва". Представи си, че пренебрегваме всички елементи, които са в един и същ ред и стълб с нашето число-котва. Тогава матрицата ще изглежда ето така:
[23142]\left[ \begin{array}{ccc} \blueD{2} & & \\ & \maroonD{3} & \greenD{1} \\ & \maroonD{4} & \greenD{2} \end{array} \right]
Сега намираме двумерната детерминанта на подматрицата, която получихме.
det([3142])=3214=2\det\left( \left[ \begin{array}{cc} \maroonD{3} & \greenD{1} \\ \maroonD{4} & \greenD{2} \end{array} \right] \right) = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = \goldD{2}
Накрая умножаваме тази двумерна детерминанта по числото-котва start color #11accd, 2, end color #11accd, за да получим start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, equals, 4. Полученото число 4 е първият от три члена, които ще съберем, за да получим нашата тримерна детерминанта.
det([212331142])=4  +  ??\det\left( \left[ \begin{array}{ccc} \blueD{2} & \maroonD{1} & \greenD{2} \\ \blueD{3} & \maroonD{3} & \greenD{1} \\ \blueD{1} & \maroonD{4} & \greenD{2} \end{array} \right] \right) = 4 \; + \; ??
Да преминем към следващата стъпка. Този път нашето число-котва е start color #ca337c, 1, end color #ca337c.
[13112]\left[ \begin{array}{ccc} & \maroonD{1} & \\ \blueD{3} & & \greenD{1} \\ \blueD{1} & & \greenD{2} \end{array} \right]
Намираме двумерната детерминанта на получената подматрица и получаваме 3, dot, 2, minus, 1, dot, 1, equals, start color #e07d10, 5, end color #e07d10. Сега е малко странно, но умножаваме резултата по числото-котва със знак минус, за да получим втория член minus, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, equals, minus, 5. Като правило редуваме да умножаваме малката детерминанта по числото-котва и после по минус числото-котва, което може да се сравни с една шахматна дъска, на която се редуват черни и бели квадрати:
[+++++]\left[ \begin{array}{ccc} \greenD{+} & \redD{-} & \greenD{+} \\ \redD{-} & \greenD{+} & \redD{-} \\ \greenD{+} & \redD{-} & \greenD{+} \end{array} \right]
Вече имаме два от трите члена.
det([212331142])=45  +  ?\det\left( \left[ \begin{array}{ccc} \blueD{2} & \maroonD{1} & \greenD{2} \\ \blueD{3} & \maroonD{3} & \greenD{1} \\ \blueD{1} & \maroonD{4} & \greenD{2} \end{array} \right] \right) = 4 - 5 \; + \; ?
В последната стъпка числото-котва е start color #1fab54, 2, end color #1fab54. Съгласно шахматното правило тук не ни е нужен знак минус. Само да си представим подматрицата, която получаваме сега. Нейната детерминанта е 3, dot, 4, minus, 3, dot, 1, equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10. Умножаваме я по постоянното число и получаваме start color #1fab54, 2, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, equals, 18.
Накрая събираме всички членове и получаваме 4, minus, 5, plus, 18, equals, 17. Оказва се, че намирането на детерминантата на матрица с размер 3, times, 3 е доста трудоемко. Свършихме добра работа!
Ето друг пример, който ще направим наведнъж. Опитай се да си представиш елементите в реда и стълба на всяко число-котва, за да видиш как се получава подматрицата.
det([413024321])=4det([2421])1det([0431])+3det([0232])=4(6)1(12)+3(6)=30\begin{aligned} \det\left( \left[ \begin{array}{ccc} \blueD{4} & \maroonD{1} & \greenD{3} \\ \blueD{0} & \maroonD{2} & \greenD{4} \\ \blueD{3} & \maroonD{2} & \greenD{1} \end{array} \right] \right) &= \blueD{4} \det \left( \left[ \begin{array}{cc} \maroonD{2} & \greenD{4} \\ \maroonD{2} & \greenD{1} \end{array} \right] \right) \\ \\ &- \maroonD{1} \det \left( \left[ \begin{array}{cc} \blueD{0} & \greenD{4} \\ \blueD{3} & \greenD{1} \end{array} \right] \right) \\ \\ &+ \greenD{3} \det \left( \left[ \begin{array}{cc} \blueD{0} & \maroonD{2} \\ \blueD{3} & \maroonD{2} \end{array} \right] \right) \\ \\ &= \blueD{4}(\goldD{-6}) - \maroonD{1}(\goldD{-12}) + \greenD{3}(\goldD{-6}) \\ \\ &= -30 \end{aligned}
Ако приложим същата процедура за общия случай на матрица 3, times, 3, ще получим много дълга формула. Тук, обаче, важното е да запомниш каква стратегия ползваме за изчисляване на детерминантата, а не самата формула.
det([abcdefghi])=adet([efhi])bdet([dfgi])+cdet([degh])=aeiafhbdi+bfg+cdhceg\begin{aligned} \det\left( \left[ \begin{array}{ccc} \blueD{a} & \maroonD{b} & \greenD{c} \\ \blueD{d} & \maroonD{e} & \greenD{f} \\ \blueD{g} & \maroonD{h} & \greenD{i} \end{array} \right] \right) &= \blueD{a} \det \left( \left[ \begin{array}{cc} \maroonD{e} & \greenD{f} \\ \maroonD{h} & \greenD{i} \end{array} \right] \right) \\ \\ &- \maroonD{b} \det \left( \left[ \begin{array}{cc} \blueD{d} & \greenD{f} \\ \blueD{g} & \greenD{i} \end{array} \right] \right) \\ \\ &+ \greenD{c} \det \left( \left[ \begin{array}{cc} \blueD{d} & \maroonD{e} \\ \blueD{g} & \maroonD{h} \end{array} \right] \right) \\ \\ &= aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg \end{aligned}
Нека опитаме с една практическа задача.
Задача 2
det([112202433])=\det\left( \left[ \begin{array}{ccc} \blueD{1} & \maroonD{1} & \greenD{-2} \\ \blueD{-2} & \maroonD{0} & \greenD{2} \\ \blueD{4} & \maroonD{-3} & \greenD{3} \end{array} \right] \right) =
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

За повече информация за изчисляването на тримерни детерминанти гледай това видео.

Връзка с векторното произведение

Формулата за векторно произведение е доста трудна, но има един чудесен начин да я изведеш за миг. За намиране на векторното произведение на a, with, vector, on top, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd, comma, start color #ca337c, a, start subscript, 2, end subscript, end color #ca337c, comma, start color #1fab54, a, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis и b, with, vector, on top, equals, left parenthesis, start color #11accd, b, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd, comma, start color #ca337c, b, start subscript, 2, end subscript, end color #ca337c, comma, start color #1fab54, b, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis просто изчисли следната детерминанта 3, times, 3 като горният ред съдържа единичните векториstart color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c и start color #1fab54, k, with, hat, on top, end color #1fab54.
det([ı^ȷ^k^a1a2a3b1b2b3])=ı^det([a2a3b2b3])ȷ^det([a1a3b1b3])+k^det([a1a2b1b2])=a×b\begin{aligned} \det\left( \left[ \begin{array}{ccc} \blueD{\hat{\imath}} & \maroonD{\hat{\jmath}} & \greenD{\hat{k}} \\ \blueD{a_1} & \maroonD{a_2} & \greenD{a_3} \\ \blueD{b_1} & \maroonD{b_2} & \greenD{b_3} \end{array} \right] \right) &= \blueD{\hat{\imath}} \det \left( \left[ \begin{array}{cc} \maroonD{a_2} & \greenD{a_3} \\ \maroonD{b_2} & \greenD{b_3} \end{array} \right] \right) \\ \\ &- \maroonD{\hat{\jmath}} \det \left( \left[ \begin{array}{cc} \blueD{a_1} & \greenD{a_3} \\ \blueD{b_1} & \greenD{b_3} \end{array} \right] \right) \\ \\ &+ \greenD{\hat{k}} \det \left( \left[ \begin{array}{cc} \blueD{a_1} & \maroonD{a_2} \\ \blueD{b_1} & \maroonD{b_2} \end{array} \right] \right) \\ \\ &= \vec{a} \times \vec{b} \end{aligned}
Технически погледнато, тази детерминанта 3, times, 3 не е дефинирана, защото в горния си ред съдържа вектори, а не числа. Но ако все пак я пресметнем, ще получим векторното произведение на векторите a, with, vector, on top и b, with, vector, on top. Много ученици запомнят по-бързо формулата за векторно произведение, изразена като детерминанта.

Какво следва

И сега ни очаква света на анализа на функции на много променливи! Поздравления за това, че направи този преговор върху вектори и матрици. Сега имаме всички нужни понятия и се надявам, че си изградил/а логическа и визуална представа за тях.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.