Основно съдържание
Анализ на функции на много променливи
Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 1
Урок 2: Вектори и матрициДетерминанти
Научи какво представлява детерминантата, как се изчислява и каква е връзката ѝ с векторното произведение.
Когато разглеждаме матриците като движение, в известен смисъл това означава, че матриците разпъват пространството или го свиват. Този мащабиращ коефициент си има специално име: детерминанта.
Детерминантата като мащабиращ коефициент
Да разгледаме няколко примера, за да добием представа какво прави детерминантата. Тук показваме как изглежда координатната мрежа, преди да приложим някаква матрица. Площта на малкото квадратче е 1.
Когато матрицата уголемява нещата, тогава нейната детерминанта е по-голяма от 1.
Когато матрицата нито разтяга нещата, нито ги свива, тогава детерминантата е равна точно на 1. Пример за това е ротацията.
Когато матрицата смалява нещата, тогава детерминантата ѝ е по-малка от 1.
Някои матрици свиват пространството до такава степен, че го превръщат в една единствена права. Това се случва винаги, когато матрицата изобразява единичните вектори start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c като кратни един на друг, които лежат на една и съща права. Детерминантите на такива матрици са 0.
Въпреки че детерминантите са мащабиращи коефициенти, те не винаги са положителни числа. Знакът на детерминантата зависи от ориентацията на start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c. Ако една матрица обръща посоката, тогава нейната детерминанта е отрицателна. Обърни внимание как start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd е отляво на start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c на изображението по-долу, докато обикновено е отдясно на start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c.
Същата идея за мащабиращи площи се отнася и за тримерни матрици. Единствената разлика е, че в три измерения матрицата мащабира обем, а не площ. Единичното квадратче става единично кубче, чиито страни са единичните вектори start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c и start color #1fab54, k, with, hat, on top, end color #1fab54.
Ако ти е интересно, можеш да разгледаш детерминантите като мащабиращи коефициенти в тази интерактивна демонстрация. Обърни внимание, че винаги, когато обърнеш посоката на единичните вектори, преминаваме през един момент, в който детерминантата е нула.
И още нещо важно е това, че детерминантата има смисъл само за квадратни матрици. Това е така, защото квадратните матрици преместват векторите от n-мерно пространство в n-мерно пространство, така че можем да кажем, че се променя обем. За неквадратни матрици в линейната алгебра се ползват понятията нулево пространство и множество от стойности, но те не се разглеждат в анализа на функции на много променливи. Всички формули в следващите уроци включват матрици, които имат равен брой стълбове и редове.
Как се изчислява детерминанта
Сега, когато вече имаме добра представа какво е детерминантата, можем да преминем към намирането на детерминантата на дадена матрица. Ще разгледаме това за случаи на матрици с размери 2, times, 2 и 3, times, 3.
Изчисляване на двумерни детерминанти
Има два начина за записване на детерминантата.
Формулата на двумерната детерминанта е a, d, minus, b, c. Например:
Нека опитаме с една практическа задача.
Ако искаш да се упражниш още в изчисляването на двумерни детерминанти, виж това упражнение.
Изчисляване на тримерни детерминанти
Общата формула за матрици с размер 3, times, 3 е многословна, но да започнем с един конкретен пример. Горният ред е удебелен, защото ще го разглеждаме елемент по елемент, за да получим детерминантата.
Първо да разгледаме числото start color #11accd, 2, end color #11accd в горния ляв край на матрицата. Да го наречем "число-котва". Представи си, че пренебрегваме всички елементи, които са в един и същ ред и стълб с нашето число-котва. Тогава матрицата ще изглежда ето така:
Сега намираме двумерната детерминанта на подматрицата, която получихме.
Накрая умножаваме тази двумерна детерминанта по числото-котва start color #11accd, 2, end color #11accd, за да получим start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, equals, 4. Полученото число 4 е първият от три члена, които ще съберем, за да получим нашата тримерна детерминанта.
Да преминем към следващата стъпка. Този път нашето число-котва е start color #ca337c, 1, end color #ca337c.
Намираме двумерната детерминанта на получената подматрица и получаваме 3, dot, 2, minus, 1, dot, 1, equals, start color #e07d10, 5, end color #e07d10. Сега е малко странно, но умножаваме резултата по числото-котва със знак минус, за да получим втория член minus, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, equals, minus, 5. Като правило редуваме да умножаваме малката детерминанта по числото-котва и после по минус числото-котва, което може да се сравни с една шахматна дъска, на която се редуват черни и бели квадрати:
Вече имаме два от трите члена.
В последната стъпка числото-котва е start color #1fab54, 2, end color #1fab54. Съгласно шахматното правило тук не ни е нужен знак минус. Само да си представим подматрицата, която получаваме сега. Нейната детерминанта е 3, dot, 4, minus, 3, dot, 1, equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10. Умножаваме я по постоянното число и получаваме start color #1fab54, 2, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, equals, 18.
Накрая събираме всички членове и получаваме 4, minus, 5, plus, 18, equals, 17. Оказва се, че намирането на детерминантата на матрица с размер 3, times, 3 е доста трудоемко. Свършихме добра работа!
Ето друг пример, който ще направим наведнъж. Опитай се да си представиш елементите в реда и стълба на всяко число-котва, за да видиш как се получава подматрицата.
Ако приложим същата процедура за общия случай на матрица 3, times, 3, ще получим много дълга формула. Тук, обаче, важното е да запомниш каква стратегия ползваме за изчисляване на детерминантата, а не самата формула.
Нека опитаме с една практическа задача.
За повече информация за изчисляването на тримерни детерминанти гледай това видео.
Връзка с векторното произведение
Формулата за векторно произведение е доста трудна, но има един чудесен начин да я изведеш за миг. За намиране на векторното произведение на a, with, vector, on top, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd, comma, start color #ca337c, a, start subscript, 2, end subscript, end color #ca337c, comma, start color #1fab54, a, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis и b, with, vector, on top, equals, left parenthesis, start color #11accd, b, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd, comma, start color #ca337c, b, start subscript, 2, end subscript, end color #ca337c, comma, start color #1fab54, b, start subscript, 3, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis просто изчисли следната детерминанта 3, times, 3 като горният ред съдържа единичните векториstart color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c и start color #1fab54, k, with, hat, on top, end color #1fab54.
Технически погледнато, тази детерминанта 3, times, 3 не е дефинирана, защото в горния си ред съдържа вектори, а не числа. Но ако все пак я пресметнем, ще получим векторното произведение на векторите a, with, vector, on top и b, with, vector, on top. Много ученици запомнят по-бързо формулата за векторно произведение, изразена като детерминанта.
Какво следва
И сега ни очаква света на анализа на функции на много променливи! Поздравления за това, че направи този преговор върху вектори и матрици. Сега имаме всички нужни понятия и се надявам, че си изградил/а логическа и визуална представа за тях.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.