Основно съдържание
Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 1
Урок 2: Вектори и матрициДетерминанти
Научи какво представлява детерминантата, как се изчислява и каква е връзката ѝ с векторното произведение.
Когато разглеждаме матриците като движение, в известен смисъл това означава, че матриците разпъват пространството или го свиват. Този мащабиращ коефициент си има специално име: детерминанта.
Детерминантата като мащабиращ коефициент
Да разгледаме няколко примера, за да добием представа какво прави детерминантата. Тук показваме как изглежда координатната мрежа, преди да приложим някаква матрица. Площта на малкото квадратче е .
Когато матрицата уголемява нещата, тогава нейната детерминанта е по-голяма от .
Когато матрицата нито разтяга нещата, нито ги свива, тогава детерминантата е равна точно на . Пример за това е ротацията.
Когато матрицата смалява нещата, тогава детерминантата ѝ е по-малка от .
Някои матрици свиват пространството до такава степен, че го превръщат в една единствена права. Това се случва винаги, когато матрицата изобразява единичните вектори и като кратни един на друг, които лежат на една и съща права. Детерминантите на такива матрици са .
Въпреки че детерминантите са мащабиращи коефициенти, те не винаги са положителни числа. Знакът на детерминантата зависи от ориентацията на и . Ако една матрица обръща посоката, тогава нейната детерминанта е отрицателна. Обърни внимание как е отляво на на изображението по-долу, докато обикновено е отдясно на .
Същата идея за мащабиращи площи се отнася и за тримерни матрици. Единствената разлика е, че в три измерения матрицата мащабира обем, а не площ. Единичното квадратче става единично кубче, чиито страни са единичните вектори , и .
Ако ти е интересно, можеш да разгледаш детерминантите като мащабиращи коефициенти в тази интерактивна демонстрация. Обърни внимание, че винаги, когато обърнеш посоката на единичните вектори, преминаваме през един момент, в който детерминантата е нула.
И още нещо важно е това, че детерминантата има смисъл само за квадратни матрици. Това е така, защото квадратните матрици преместват векторите от -мерно пространство в -мерно пространство, така че можем да кажем, че се променя обем. За неквадратни матрици в линейната алгебра се ползват понятията нулево пространство и множество от стойности, но те не се разглеждат в анализа на функции на много променливи. Всички формули в следващите уроци включват матрици, които имат равен брой стълбове и редове.
Как се изчислява детерминанта
Сега, когато вече имаме добра представа какво е детерминантата, можем да преминем към намирането на детерминантата на дадена матрица. Ще разгледаме това за случаи на матрици с размери и .
Изчисляване на двумерни детерминанти
Има два начина за записване на детерминантата.
Формулата на двумерната детерминанта е . Например:
Нека опитаме с една практическа задача.
Ако искаш да се упражниш още в изчисляването на двумерни детерминанти, виж това упражнение.
Изчисляване на тримерни детерминанти
Общата формула за матрици с размер е многословна, но да започнем с един конкретен пример. Горният ред е удебелен, защото ще го разглеждаме елемент по елемент, за да получим детерминантата.
Първо да разгледаме числото в горния ляв край на матрицата. Да го наречем "число-котва". Представи си, че пренебрегваме всички елементи, които са в един и същ ред и стълб с нашето число-котва. Тогава матрицата ще изглежда ето така:
Сега намираме двумерната детерминанта на подматрицата, която получихме.
Накрая умножаваме тази двумерна детерминанта по числото-котва , за да получим . Полученото число е първият от три члена, които ще съберем, за да получим нашата тримерна детерминанта.
Да преминем към следващата стъпка. Този път нашето число-котва е .
Намираме двумерната детерминанта на получената подматрица и получаваме . Сега е малко странно, но умножаваме резултата по числото-котва със знак минус, за да получим втория член . Като правило редуваме да умножаваме малката детерминанта по числото-котва и после по минус числото-котва, което може да се сравни с една шахматна дъска, на която се редуват черни и бели квадрати:
Вече имаме два от трите члена.
В последната стъпка числото-котва е . Съгласно шахматното правило тук не ни е нужен знак минус. Само да си представим подматрицата, която получаваме сега. Нейната детерминанта е . Умножаваме я по постоянното число и получаваме .
Накрая събираме всички членове и получаваме . Оказва се, че намирането на детерминантата на матрица с размер е доста трудоемко. Свършихме добра работа!
Ето друг пример, който ще направим наведнъж. Опитай се да си представиш елементите в реда и стълба на всяко число-котва, за да видиш как се получава подматрицата.
Ако приложим същата процедура за общия случай на матрица , ще получим много дълга формула. Тук, обаче, важното е да запомниш каква стратегия ползваме за изчисляване на детерминантата, а не самата формула.
Нека опитаме с една практическа задача.
За повече информация за изчисляването на тримерни детерминанти гледай това видео.
Връзка с векторното произведение
Формулата за векторно произведение е доста трудна, но има един чудесен начин да я изведеш за миг. За намиране на векторното произведение на и просто изчисли следната детерминанта като горният ред съдържа единичните вектори , и .
Технически погледнато, тази детерминанта не е дефинирана, защото в горния си ред съдържа вектори, а не числа. Но ако все пак я пресметнем, ще получим векторното произведение на векторите и . Много ученици запомнят по-бързо формулата за векторно произведение, изразена като детерминанта.
Какво следва
И сега ни очаква света на анализа на функции на много променливи! Поздравления за това, че направи този преговор върху вектори и матрици. Сега имаме всички нужни понятия и се надявам, че си изградил/а логическа и визуална представа за тях.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.