Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Скаларно произведение

Научи какво е скаларно произведение и как то измерва относителната посока на два вектора.
Скаларното произведение на вектори е един основен начин за комбиниране на вектори. Логически погледнато, то ни показва в каква степен два вектора сочат в една посока.

Определение и интуиция

Скаларното произведение се записва с малка точка между двата вектора (произнася се "a по b"):
ab=abcos(θ)
Ако разгледаме скаларното произведение член по член, първите два члена са a и b. Това са дължините на векторите a и b, следователно скаларното произведение отчита дължината на векторите. Последният множител е cos(θ), където ъгъл θ е ъгълът между вектор a и вектор b. Това ни показва, че скаларното произведение е свързано с посока.
По-конкретно, когато θ=0, двата вектора имат една и съща посока. Без значение какви са дължините на векторите, това е случаят, когато скаларното произведение е най-голямо, защото cos(0)=1. По принцип, колкото по-близки са посоките на двата вектора, толкова по-голяма е стойността на скаларното им произведение.
Когато θ=π2, двата вектора са идеално перпендикулярни помежду си. В този случай тяхното скаларно произведение е 0, защото cos(π2)=0.
Възможно е скаларното произведение на два вектора да бъде отрицателно число, когато двата вектора сочат в противоположни посоки, например когато π2<θ<3π2.
Друг начин да разсъждаваме за ъгъл θ е да си представим, че единият вектор хвърля сянка върху другия вектор. Когато ъгълът е малък, сянката се простира далеч от началото на координатната система и тогава скаларното произведение е голямо.
Когато ъгъл θ е близък до π2, сянката на единия вектор върху другия пада близо до началото на координатната система и скаларното произведение е малко.
Запомни, че скаларното произведение на два вектора е число, а не вектор. Това означава, че е безсмислено да търсим скаларно произведение на три вектора abc. След като намерим скаларното произведение на ab, което е някакво число, не можем да намерим скаларното произведение на вектор и число, защото това е просто умножение на вектор по число или скаларно умножение.

По-удобен начин за намиране на скаларно произведение

Когато в анализа на функции на много променливи търсим скаларно произведение, обикновено разполагаме само с координатите на векторите a и b. Изчисляването на abcos(θ) означава да изчислим два квадратни корена и един косинус, което си е доста работа. За щастие съществува и по-лесен начин. Просто умножаваме съответните компоненти и после събираме:
a=(a1;a2;a3)b=(b1;b2;b3)ab=a1b1+a2b2+a3b3
Въпреки че в този пример векторите са тримерни, тази формула може да се разшири за вектори с произволен брой измерения.
Този начин за намиране на скаларното произведение на два вектора е много лесен, когато знаем техните компоненти.
v=4ı^1ȷ^+2k^w=1ı^+2ȷ^+4k^vw=41+(1)2+24=10
Да видим един пример.
Задача 1
Намери скаларното произведение на вектор a=(1;3) и вектор b=(5;2)?
Избери един отговор:

Въпреки че сега имаме хубава формула, която използва координатите, смисълът на скаларното произведение е в това, че ни показва относителната посока. Опитай се да отгатнеш знака на скаларното произведение само въз основа на чертеж.
Задача 2
Какъв е знакът на скаларното произведение на двата вектора – положителен, отрицателен или то е нула?
Избери един отговор:

Засега това е всичко, което трябва да знаем за скаларното произведение на вектори. Ако имаш желание да научиш повече, гледай това видео.

Какво следва

След като научихме за скаларното произведение на вектори, остава само още една важна операция между вектори: векторно произведение. Както ще видиш, векторното произведение допълва скаларното произведение на вектори, но е малко по-ограничено.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.