Скаларно произведение

Скаларното произведение на вектори е един основен начин за комбиниране на вектори. Логически погледнато, то ни показва в каква степен два вектора сочат в една посока.

Скаларното произведение се записва с малка точка $\cdot$dot между двата вектора (произнася се "a по b"):

Ако разгледаме скаларното произведение член по член, първите два члена са $\| \vec{a} \|$\|, a, with, vector, on top, \| и $\| \vec{b} \|$\|, b, with, vector, on top, \|. Това са дължините на векторите $\vec{a}$a, with, vector, on top и $\vec{b}$b, with, vector, on top, следователно скаларното произведение отчита дължината на векторите. Последният множител е $\cos(\theta)$cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, където ъгъл $\theta$theta е ъгълът между вектор $\vec{a}$a, with, vector, on top и вектор $\vec{b}$b, with, vector, on top. Това ни показва, че скаларното произведение е свързано с посока.

По-конкретно, когато $\theta = 0$theta, equals, 0, двата вектора имат една и съща посока. Без значение какви са дължините на векторите, това е случаят, когато скаларното произведение е най-голямо, защото $\cos(0) = 1$cosine, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 1. По принцип, колкото по-близки са посоките на двата вектора, толкова по-голяма е стойността на скаларното им произведение.

Когато $\theta = \dfrac{\pi}{2}$theta, equals, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, двата вектора са идеално перпендикулярни помежду си. В този случай тяхното скаларно произведение е $0$0, защото $\cos\left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 0$cosine, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, equals, 0.

Възможно е скаларното произведение на два вектора да бъде отрицателно число, когато двата вектора сочат в противоположни посоки, например когато $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{3\pi}{2}$start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, is less than, theta, is less than, start fraction, 3, pi, divided by, 2, end fraction.

Друг начин да разсъждаваме за ъгъл $\theta$theta е да си представим, че единият вектор хвърля сянка върху другия вектор. Когато ъгълът е малък, сянката се простира далеч от началото на координатната система и тогава скаларното произведение е голямо.

Когато ъгъл $\theta$theta е близък до $\dfrac{\pi}{2}$start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, сянката на единия вектор върху другия пада близо до началото на координатната система и скаларното произведение е малко.

Запомни, че скаларното произведение на два вектора е число, а не вектор. Това означава, че е безсмислено да търсим скаларно произведение на три вектора $\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}$a, with, vector, on top, dot, b, with, vector, on top, dot, c, with, vector, on top. След като намерим скаларното произведение на $\vec{a} \cdot \vec{b}$a, with, vector, on top, dot, b, with, vector, on top, което е някакво число, не можем да намерим скаларното произведение на вектор и число, защото това е просто умножение на вектор по число или скаларно умножение.

Когато в анализа на функции на много променливи търсим скаларно произведение, обикновено разполагаме само с координатите на векторите $\vec{a}$a, with, vector, on top и $\vec{b}$b, with, vector, on top. Изчисляването на $\| \vec{a} \| \| \vec{b} \| \cos(\theta)$\|, a, with, vector, on top, \|, \|, b, with, vector, on top, \|, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis означава да изчислим два квадратни корена и един косинус, което си е доста работа. За щастие съществува и по-лесен начин. Просто умножаваме съответните компоненти и после събираме:

Въпреки че в този пример векторите са тримерни, тази формула може да се разшири за вектори с произволен брой измерения.

Този начин за намиране на скаларното произведение на два вектора е много лесен, когато знаем техните компоненти.

Да видим един пример.

Въпреки че сега имаме хубава формула, която използва координатите, смисълът на скаларното произведение е в това, че ни показва относителната посока. Опитай се да отгатнеш знака на скаларното произведение само въз основа на чертеж.

Засега това е всичко, което трябва да знаем за скаларното произведение на вектори. Ако имаш желание да научиш повече, гледай това видео.

След като научихме за скаларното произведение на вектори, остава само още една важна операция между вектори: векторно произведение. Както ще видиш, векторното произведение допълва скаларното произведение на вектори, но е малко по-ограничено.