Въведение към матрици

В допълнение към векторите, матриците са едно основно средство, чрез което разглеждаме пространства в повече измерения. Те се появяват навсякъде в анализа на функции на много променливи, така че нека да ги разгледаме.

Матрицата е подредена съвкупност от числа, която ограждаме с квадратни скоби. Размерът на матрицата се определя от броя на редовете и броя на стълбовете в нея и се записва като $\text{редове} \times \text{стълбове}$start text, р, е, д, о, в, е, end text, times, start text, с, т, ъ, л, б, о, в, е, end text. Например това е матрица $2 \times 3$2, times, 3 (произнася "две по три"). Прието е матриците да се обозначават с главни букви.

Когато една матрица има равен брой редове и стълбове, тя се нарича квадратна матрица. Например матрицата $A$A не е квадратна. Числата в една матрица се наричат нейни елементи. За да посочим даден елемент на матрицата записваме номерата на неговите ред и стълб като долен индекс. Прието е елементите на матриците да се обозначават с малки букви.

Транспонираната на една матрица се получава като се разменят местата на редовете и стълбовете на оригиналната матрица. Например елементът $a_{i,j}$a, start subscript, i, comma, j, end subscript става $a_{j,i}$a, start subscript, j, comma, i, end subscript. Записва се като $A^T$A, start superscript, T, end superscript, за да покажем, че това е транспонираната на матрица $A$A. Транспонирането също така обръща размерите на матрицата, като в нашия пример $A^T$A, start superscript, T, end superscript е с размери $3 \times 2$3, times, 2.

Не е задължително всички елементи на една матрица да са числа. Например в анализа на функции на много променливи ще срещнем матрици, чиито елементи са функции и даже оператори за производни.

За да научиш повече за матриците гледай това видео. За да научиш повече за транспонирането на матрици гледай това видео. За да упражниш определянето на размерите на матрици направи това упражнение. За да упражниш елементите на матриците направи това упражнение.

Понеже векторът е просто списък от числа, той може да бъде представен като матрица. Ето защо можем да записваме векторите като матрици. Винаги можем да запишем един вектор като вектор-ред ($1 \times n$1, times, n) или като вектор-стълб ($n \times 1$n, times, 1). Единствената разлика между вектор-ред и вектор-стълб е как действат при умножение на матрици.

Тук използваме транспонираната матрица, защото в противен случай вектор-редът и вектор-стълбът не са равни, защото имат различна размерност.

За да научиш повече за транспонирането на вектори гледай това видео.

Можем да съберем две матрици, ако те имат еднакви размери. Начинът, по който събираме матрици, е като съберем съответните елементи. Изразено чрез символи, $A + B = C$A, plus, B, equals, C означава, че $a_{i,j} + b_{i,j} = c_{i,j}$a, start subscript, i, comma, j, end subscript, plus, b, start subscript, i, comma, j, end subscript, equals, c, start subscript, i, comma, j, end subscript.

За да упражниш събирането на матрици, направи това упражнение.

Можем да умножим матрица по скалар, което е сложна дума, която просто означава число. При скаларното умножение умножаваме скалара (числото) по всеки елемент на матрицата. Изразено чрез символи, $xA = B$x, A, equals, B означава, че $xa_{i,j} = b_{i,j}$x, a, start subscript, i, comma, j, end subscript, equals, b, start subscript, i, comma, j, end subscript.

За да упражниш умножението на матрица с число направи това упражнение.

Тази информация е по избор, защото умножението на матрици е най-полезно, когато разглеждаме $n$n-мерно пространство, но в настоящия раздел се фокусираме само върху две и три измерения. Независимо от това, ако научиш това сега, това е чудесна основа за по-късно, когато ще разглеждаме повече измерения.

За разлика от събирането на матрици и умножението с число, тук не само умножаваме съответните елементи на двете матрици $A$A и $B$B, за да намерим тяхното произведение. Вместо това намираме скаларното произведение на вектор-ред на матрица $A$A по вектор-стълб на матрица $B$B, за да намерим всеки елемент. Например, за да намерим $c_{1,2}$c, start subscript, 1, comma, 2, end subscript of $C = AB$C, equals, A, B, намираме скаларното произведение на ред $1$1 от $A$A и вектор-стълб $2$2 от $B$B:

В общия случай, за да намерим елемента $c_{i,j}$c, start subscript, i, comma, j, end subscript на матрицата $C = AB$C, equals, A, B, намираме скаларното произведение на $i$i-тия ред на $A$A и $j$j-ия стълб на $B$B. Ето останалите елементи от умножението на матриците по-горе:

Като следствие от нашето определение можем да умножим две матрици $A$A и $B$B, ако матрицата $A$A има толкова стълбове, колкото са редовете на матрицата $B$B. В противен случай определяме скаларното произведение на два вектора с различни дължини, което е невъзможно.

Винаги можем да умножим две квадратни матрици с еднакви размери, например матрица $3 \times 3$3, times, 3 с матрица $3 \times 3$3, times, 3. Други валидни комбинации са матрица $2 \times 5$2, times, 5 с матрица $5 \times 2$5, times, 2 или матрица $3 \times 1$3, times, 1 с матрица $1 \times 3$1, times, 3.

Размерите на матрицата, която се получава, са редовете колкото на матрицата $A$A и стълбове колкото на матрицата $B$B. Следователно произведението на матрица $1 \times 4$1, times, 4 с матрица $4 \times 1$4, times, 1 е матрица с размери $1 \times 1$1, times, 1, което е взаимозаменяемо с число. Това ни дава друг начин за записване на скаларното произведение:

За да научиш повече за умножението на матрици, виж това видео. За да упражниш наученото, виж това упражнение.

Вече знаем какво представляват матриците и време да помислим какво означават матриците. В противен случай формулите и концепциите, в които те участват, ще ни изглеждат необосновани. Следващата статия показва начин за представяне на матриците и ни показва логически какво правят те. По-конкретно статията ни показва как да разглеждаме умножението на матрици и ни подготвя за последната статия за детерминанти.