Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 1

Урок 2: Вектори и матрици

Визуализиране на матрици

Научи един полезен начин за тълкуване на матриците, който помага за разбирането на умножението на матрици и детерминанти.

В последната статия разгледахме какво представляват матриците, но матриците са много повече от таблици с числа. Ето защо в тази статия ще разгледаме начини да си представим матриците визуално. Тази гледна точка до голяма степен ни помага да осмислим логически това, което ни затруднява при матриците отначало. В анализа на функции на много променливи ще използваме само квадратни матрици, така че сега ще разгледаме само тях.

Матриците като движение

Какво прави една матрица? Как изглежда една матрица? Тези въпроси може да ти изглеждат безсмислени, но ще отговорим и на двата, като представим визуално как една матрица

2 \times 2

придвижва една двумерна равнина.

Даден ни е чертеж на равнина и единичните вектори

\hat{ı}

\hat{ȷ}

, които са векторите

(1; 0)

(0; 1)

Сега да разгледаме една матрица

A

A = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}]

Ето как тази матрица действа върху мрежата:

Стълбовете на матрицата ни казват къде премества тя единичните вектори $\hat{ı}$ ‍ и $\hat{ȷ}$ ‍, които отново са векторите $(1; 0)$ ‍ и $(0; 1)$ ‍.
Останалата част от мрежата се движи по същия начин, като винаги линиите на мрежата остават успоредни помежду си и на равно разстояние. Началото на координатната система остава на същото място.

Това означава, че

A

придвижва

\hat{ı} \to (1; 1)

\hat{ȷ} \to (0; 1)

. Ето как изглежда това:

Единичният вектор

\hat{ȷ}

не се премества, защото той започва в

(0; 1)

. Единичният вектор

\hat{ı}

се премества нагоре с една единица и придвижва цялата мрежа със себе си. Обърни внимание, че има едно бледо изображение на първоначалните линии на мрежата, което ни помага да се ориентираме какво се случва.

Сега да видим същото нещо за друга матрица.

B = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ - 2 & 1 \end{array}]

Знаем, че матрицата

B

премества

\hat{ı} \to (0; - 2)

\hat{ȷ} \to (- 1; 1)

. Ето как изглежда това:

Ето един въпрос за упражнение.

Задача 1

Представи си, че е дадена матрицата

C = [\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]

Как ще изглежда координатната мрежа след като приложим матрицата $C$ ‍?

Можем да обобщим, че действието на една матрица е да премести цялата координатна мрежа. Можем да разберем това, като видим как тя придвижва единичните вектори. Можем да покажем как изглежда като начертаем променена двумерна координатна мрежа.

Всичко това важи и за три измерения. Третият ред на матрицата съдържа

z

-координати за всички единични вектори, а третият стълб на матрицата ни показва къде отива

\hat{k}

Ако имаш желание, можеш да разгледаш различни матрици, представени като движение с помощта на тази интерактивна демонстрация. Премести векторите, за да накараш координатната мрежа да се движи и виж в горния ляв ъгъл каква матрица съответства на движението.

За да научиш повече за матриците като трансформации виж тази статия. За да се упражниш допълнително, отиди тук.

Как матриците движат вектори

Вече знаем как една матрица премества единичните вектори

\hat{ı}

\hat{ȷ}

(просто погледни стълбовете), но как можем да разберем една матрица къде ще премести един произволен вектор ? Да разгледаме един конкретен пример, като използваме матрицата от предишния раздел.

A = [\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}]

Как матрицата

A

премества неединичния вектор

(1; 2)

? Първо да си го представим нагледно. Най-напред да видим вектора без преместването от матрицата:

Сега векторът под въздействие на матрицата премества координатната мрежа:

Векторът просто се вози, докато матрицата премества цялата координатна мрежа, и накрая се оказва в

(1; 3)

. Това е начинът, по който матриците движат векторите, което формално се нарича произведение на вектор с матрица.

Сега да разгледаме как можем да пресметнем това. Представяме

(1; 2)

като комбинация от единичните вектори, като казваме, че

(1; 2) = 1 \hat{ı} + 2 \hat{ȷ}

Тази комбинация остава непроменена, когато приложим матрицата

A

, но вместо да използваме

\hat{ı}

\hat{ȷ}

, използваме резултата от прилагането на матрицата

A

към

\hat{ı}

\hat{ȷ}

Ето как изглежда целия процес, записан със символи.

\begin{aligned} A [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}] & = A (1 [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]) \\ = A (1 \hat{ı} + 2 \hat{ȷ}) \\ = 1 A \hat{ı} + 2 A \hat{ȷ} \\ = 1 [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}] \end{aligned}

Критичната стъпка е, когато разделим на части

A (1 \hat{ı} + 2 \hat{ȷ})

на

1 A \hat{ı} + 2 A \hat{ȷ}

. Точно в този момент можем да представим къде се озовава вектор

(1; 2)

чрез това къде се преместват

\hat{ı}

\hat{ȷ}

Нека опитаме с няколко практически задачи.

Задача 2

Дадена е матрицата

B = [\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]

Матрицата $B$ ‍ къде ще премести вектор $[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}]$ ‍ изразено чрез това къде ще премести $\hat{ı}$ ‍ и $\hat{ȷ}$ ‍?

(Избор А)
Три пъти по това къде $B$ ‍ премества $\hat{ı}$ ‍, плюс къде $B$ ‍ премества $\hat{ȷ}$ ‍.
(Избор Б)
Два пъти по това къде $B$ ‍ премества $\hat{ı}$ ‍, плюс три по това къде $B$ ‍ премества $\hat{ȷ}$ ‍.
(Избор В)
Три по това къде $B$ ‍ премества $\hat{ı}$ ‍, минус две по това къде $B$ ‍ премества $\hat{ȷ}$ ‍.

Задача 3

Дадена е матрицата

B = [\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]

Къде матрицата $B$ ‍ премества вектор $[\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}]$ ‍?

B [\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}] = (

;

)

Както и в предишния раздел, идеята, че матриците преместват вектори може да се разшири и за три измерения. Просто разлагаме вектора като сума от

\hat{ı}

\hat{ȷ}

\hat{k}

, и после използваме това къде премества матрицата трите единични вектора, за да определим къде ще премести нашия вектор.

Това е още една интерактивна демонстрация на това как матриците преместват вектори.

За да научиш повече за умножението на вектор по матрица, виж това видео. Ако желаеш да се задълбочиш още повече по темата, гледай тези видео уроци в раздела Линейна алгебра.

Какво представлява умножението на матрици (допълнителен материал по избор)

Когато разглеждаме матриците като движение, имаме инструмент, чрез който да разберем какво представлява умножение на две матрици. Основната идея е съчетаване (композиция) на матриците.

\begin{aligned} A & = [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] \\ B & = [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] \end{aligned}

Произведението

A B

означава просто, че първо прилагаме матрицата

B

, след това прилагаме матрицата

A

. Когато приложим матрицата

A

втора, ние разглеждаме трансформирания

\hat{ı}

\hat{ȷ}

като обикновени вектори, които ще преместим чрез матрицата

A

по начина, по който учихме по-горе.

За да получим крайния резултат, следваме

\hat{ı}

\hat{ȷ}

при двете премествания. Първо матрицата

B

премества

\hat{ı} \to (0; 1)

\hat{ȷ} \to (- 1, 0)

. След това определяме къде премества тези вектори матрицата

A

\begin{aligned} [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}] & = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] \\ [\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \end{array}] & = [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \end{array}] \end{aligned}

Въвеждаме ги в матрица и получаваме произведението. Обърни внимание, че нашите изчисления са отразени в илюстрацията по-горе.

[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 1 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}]

В заключение – можем да разглеждаме умножението на матрици като съчетаване на преместванията, представени чрез всяка от матриците. Когато следваме движението на единичните вектори, можем да изчислим произведението.

Като задача с повишена трудност: опитай да получиш общата формула за умножение на матрици

2 \times 2

. Подсказка: проследи

\hat{ı}

\hat{ȷ}

, когато ги премества матрицата

B

, а после последвай къде матрицата

A

премества трансформираните вектори.

Представи си, че искаме да умножим тези две произволни матрици.

[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}] [\begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array}] = [\begin{array}{cc} ? & ? \\ ? & ? \end{array}]

Първо проследяваме

\hat{ı}

. Най-дясната матрица го премества до

(e; g)

. След това лявата матрица премества

(e; g)

, можем да кажем, че го премества комбинацията

e [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] + g [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]

. Лявата матрица премества

(1; 0)

до

(a; c)

, и премества

(0; 1)

до

(b; d)

. Следователно крайното място на

\hat{ı}

е както следва:

e [\begin{matrix} a \\ c \end{matrix}] + g [\begin{matrix} b \\ d \end{matrix}] = [\begin{matrix} e a + g b \\ e c + g d \end{matrix}]

След това проследяваме

\hat{ȷ}

. Най-дясната матрица го премества до

(f; h)

. Когато лявата матрица премества

(f; h)

, можем да го разглеждаме като преместване на комбинацията

f [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] + h [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]

. Лявата матрица премества

(1; 0)

до

(a; c)

и премества

(0; 1)

до

(b; d)

. Следователно крайното местоположение на

\hat{ȷ}

е както следва:

f [\begin{matrix} a \\ c \end{matrix}] + h [\begin{matrix} b \\ d \end{matrix}] = [\begin{matrix} f a + h b \\ f c + h d \end{matrix}]

Като съберем крайните места на

\hat{ı}

и на

\hat{ȷ}

, намираме формулата за умножение на две матрици

2 \times 2

[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}] [\begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array}] = [\begin{array}{cc} e a + g b & f a + h b \\ e c + g d & f c + h d \end{array}]

Обърни внимание, че всеки вектор-стълб в получената матрица-произведение изглежда като скаларно произведение. Ето защо скаларното произведение се появява във формулата за умножение на матрици, която разгледахме в предишната статия.

Още една задача с повишена трудност като бонус: опитай да намериш формулата за умножение на матрици

3 \times 3

. Подсказка: проследи

\hat{ı}

\hat{ȷ}

\hat{k}

Да извършим само една трета от работата, като проследим единичния вектор

\hat{ı}

. Това ще ни даде първия стълб на нашата матрица-произведение, и се надявам, че ще ти покаже как могат да се намерят другите два стълба. Обърни внимание, че

\hat{ı}, \hat{ȷ}, \hat{k}

с шапчици отгоре са единични вектори, докато буквите

i, j, k

са числови елементи на матрицата.

[\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}] [\begin{array}{ccc} j & k & l \\ m & n & o \\ p & q & r \end{array}]

Най-дясната матрица премества

\hat{ı}

до

(j; m; p)

. Можем да изразим това чрез единичните вектори като

j \hat{ı} + m \hat{ȷ} + p \hat{k}

. Знаем лявата матрица къде премества всеки от тези единични вектори, като разгледаме нейните стълбове. Следователно лявата матрица премества трансформирания

\hat{ı}

по следния начин:

\begin{aligned} [\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}] [\begin{array}{c} j \\ m \\ p \end{array}] & = j [\begin{array}{c} a \\ d \\ g \end{array}] + m [\begin{array}{c} b \\ e \\ h \end{array}] + p [\begin{array}{c} c \\ f \\ i \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} j a + m b + p c \\ j d + m e + p f \\ j g + m h + p i \end{array}] \end{aligned}

Това е първият стълб на матрицата-произведение. Цялата формула е три пъти по-дълга.

Обърни внимание, че всеки от елементите във вектор-стълба изглежда като скаларно произведение. Ето защо скаларното произведение се появява във формулата за умножение на матрици, която разгледахме в предходната статия.

За да научиш повече за умножението на матрици, виж това видео. За да упражниш наученото, виж това упражнение.

Какво следва

Сега вече имаме солидна представа как матриците преместват пространството, и можем да разберем последното понятие, което е включено в този преговор: детерминантата.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.