If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 1

Урок 2: Вектори и матрици
Математика
Анализ на функции на много променливи
Функции на няколко променливи
Вектори и матрици
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Визуализиране на матрици

Класна стая на Google
Научи един полезен начин за тълкуване на матриците, който помага за разбирането на умножението на матрици и детерминанти.
В последната статия разгледахме какво представляват матриците, но матриците са много повече от таблици с числа. Ето защо в тази статия ще разгледаме начини да си представим матриците визуално. Тази гледна точка до голяма степен ни помага да осмислим логически това, което ни затруднява при матриците отначало. В анализа на функции на много променливи ще използваме само квадратни матрици, така че сега ще разгледаме само тях.

Матриците като движение

Какво прави една матрица? Как изглежда една матрица? Тези въпроси може да ти изглеждат безсмислени, но ще отговорим и на двата, като представим визуално как една матрица 2, times, 2 придвижва една двумерна равнина.
Даден ни е чертеж на равнина и единичните вектори start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c, които са векторите start color #11accd, left parenthesis, 1, ;, 0, right parenthesis, end color #11accd и start color #ca337c, left parenthesis, 0, ;, 1, right parenthesis, end color #ca337c.
Сега да разгледаме една матрица A:
A=[1011]A = \left[ \begin{array}{cc} \blueD{1} & \maroonD{0} \\ \blueD{1} & \maroonD{1} \end{array} \right]
Ето как тази матрица действа върху мрежата:
  • Стълбовете на матрицата ни казват къде премества тя единичните вектори start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c, които отново са векторите start color #11accd, left parenthesis, 1, ;, 0, right parenthesis, end color #11accd и start color #ca337c, left parenthesis, 0, ;, 1, right parenthesis, end color #ca337c.
  • Останалата част от мрежата се движи по същия начин, като винаги линиите на мрежата остават успоредни помежду си и на равно разстояние. Началото на координатната система остава на същото място.
Това означава, че A придвижва start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, \to, start color #11accd, left parenthesis, 1, ;, 1, right parenthesis, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c, \to, start color #ca337c, left parenthesis, 0, ;, 1, right parenthesis, end color #ca337c. Ето как изглежда това:
Единичният вектор start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c не се премества, защото той започва в start color #ca337c, left parenthesis, 0, ;, 1, right parenthesis, end color #ca337c. Единичният вектор start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd се премества нагоре с една единица и придвижва цялата мрежа със себе си. Обърни внимание, че има едно бледо изображение на първоначалните линии на мрежата, което ни помага да се ориентираме какво се случва.
Сега да видим същото нещо за друга матрица.
B=[0−1−21]B = \left[ \begin{array}{cc} \blueD{0} & \maroonD{-1} \\ \blueD{-2} & \maroonD{1} \end{array} \right]
Знаем, че матрицата B премества start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, \to, start color #11accd, left parenthesis, 0, ;, minus, 2, right parenthesis, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c, \to, start color #ca337c, left parenthesis, minus, 1, ;, 1, right parenthesis, end color #ca337c. Ето как изглежда това:
Ето един въпрос за упражнение.
Задача 1
Представи си, че е дадена матрицата C=[21−11]C = \left[ \begin{array}{cc} \blueD{2} & \maroonD{1} \\ \blueD{-1} & \maroonD{1} \end{array} \right].
Как ще изглежда координатната мрежа след като приложим матрицата C?
Избери един отговор:

Можем да обобщим, че действието на една матрица е да премести цялата координатна мрежа. Можем да разберем това, като видим как тя придвижва единичните вектори. Можем да покажем как изглежда като начертаем променена двумерна координатна мрежа.
Всичко това важи и за три измерения. Третият ред на матрицата съдържа z-координати за всички единични вектори, а третият стълб на матрицата ни показва къде отива start color #1fab54, k, with, hat, on top, end color #1fab54.
Ако имаш желание, можеш да разгледаш различни матрици, представени като движение с помощта на тази интерактивна демонстрация. Премести векторите, за да накараш координатната мрежа да се движи и виж в горния ляв ъгъл каква матрица съответства на движението.
За да научиш повече за матриците като трансформации виж тази статия. За да се упражниш допълнително, отиди тук.

Как матриците движат вектори

Вече знаем как една матрица премества единичните вектори start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c (просто погледни стълбовете), но как можем да разберем една матрица къде ще премести един произволен вектор ? Да разгледаме един конкретен пример, като използваме матрицата от предишния раздел.
A=[1011]A = \left[ \begin{array}{cc} \blueD{1} & \maroonD{0} \\ \blueD{1} & \maroonD{1} \end{array} \right]
Как матрицата A премества неединичния вектор start color #e07d10, left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis, end color #e07d10? Първо да си го представим нагледно. Най-напред да видим вектора без преместването от матрицата:
Сега векторът под въздействие на матрицата премества координатната мрежа:
Векторът просто се вози, докато матрицата премества цялата координатна мрежа, и накрая се оказва в start color #e07d10, left parenthesis, 1, ;, 3, right parenthesis, end color #e07d10. Това е начинът, по който матриците движат векторите, което формално се нарича произведение на вектор с матрица.
Сега да разгледаме как можем да пресметнем това. Представяме start color #e07d10, left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis, end color #e07d10 като комбинация от единичните вектори, като казваме, че start color #e07d10, left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, plus, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c.
Тази комбинация остава непроменена, когато приложим матрицата A, но вместо да използваме start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c, използваме резултата от прилагането на матрицата A към start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c:
Ето как изглежда целия процес, записан със символи.
A[12]=A(1[10]+2[01])=A(1ı^+2ȷ^)=1Aı^+2Aȷ^=1[11]+2[01]=[13]\begin{aligned} A \left[ \begin{array}{c} \goldD{1} \\ \goldD{2} \end{array} \right] &= A\left( \goldD{1} \left[ \begin{array}{c} \blueD{1} \\ \blueD{0} \end{array} \right] + \goldD{2} \left[ \begin{array}{c} \maroonD{0} \\ \maroonD{1} \end{array} \right] \right) \\ \\ &= A\left( \goldD{1} \blueD{\hat{\imath}} + \goldD{2} \maroonD{\hat{\jmath}} \right) \\ \\ &= \goldD{1} A \blueD{\hat{\imath}} + \goldD{2} A \maroonD{\hat{\jmath}} \\ \\ &= \goldD{1} \left[ \begin{array}{c} \blueD{1} \\ \blueD{1} \end{array} \right] + \goldD{2} \left[ \begin{array}{c} \maroonD{0} \\ \maroonD{1} \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right] \end{aligned}
Критичната стъпка е, когато разделим на части A, left parenthesis, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, plus, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c, right parenthesis на start color #e07d10, 1, end color #e07d10, A, start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, plus, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, A, start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c. Точно в този момент можем да представим къде се озовава вектор start color #e07d10, left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis, end color #e07d10 чрез това къде се преместват start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c.
Нека опитаме с няколко практически задачи.
Задача 2
Дадена е матрицата B=[021−1]B = \left[ \begin{array}{cc} \blueD{0} & \maroonD{2} \\ \blueD{1} & \maroonD{-1} \end{array} \right].
Матрицата B къде ще премести вектор [31]\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right] изразено чрез това къде ще премести start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c?
Избери един отговор:

Задача 3
Дадена е матрицата B=[021−1]B = \left[ \begin{array}{cc} \blueD{0} & \maroonD{2} \\ \blueD{1} & \maroonD{-1} \end{array} \right].
Къде матрицата B премества вектор [31]\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right]?
B[31]=(B \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right] = (
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
;
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

Както и в предишния раздел, идеята, че матриците преместват вектори може да се разшири и за три измерения. Просто разлагаме вектора като сума от start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c и start color #1fab54, k, with, hat, on top, end color #1fab54, и после използваме това къде премества матрицата трите единични вектора, за да определим къде ще премести нашия вектор.
Това е още една интерактивна демонстрация на това как матриците преместват вектори.
За да научиш повече за умножението на вектор по матрица, виж това видео. Ако желаеш да се задълбочиш още повече по темата, гледай тези видео уроци в раздела Линейна алгебра.

Какво представлява умножението на матрици (допълнителен материал по избор)

Когато разглеждаме матриците като движение, имаме инструмент, чрез който да разберем какво представлява умножение на две матрици. Основната идея е съчетаване (композиция) на матриците.
A=[1101]B=[0−110]\begin{aligned} A &= \left[ \begin{array}{cc} \blueD{1} & \maroonD{1} \\ \blueD{0} & \maroonD{1} \end{array} \right] \\ \\ B &= \left[ \begin{array}{cc} \blueD{0} & \maroonD{-1} \\ \blueD{1} & \maroonD{0} \end{array} \right] \end{aligned}
Произведението A, B означава просто, че първо прилагаме матрицата B, след това прилагаме матрицата A. Когато приложим матрицата A втора, ние разглеждаме трансформирания start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c като обикновени вектори, които ще преместим чрез матрицата A по начина, по който учихме по-горе.
Създадено с помощта на тази демонстрация. Разгледай я, ако ти е интересно!
За да получим крайния резултат, следваме start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c при двете премествания. Първо матрицата B премества start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, \to, start color #11accd, left parenthesis, 0, ;, 1, end color #11accd, right parenthesis и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c, \to, start color #ca337c, left parenthesis, minus, 1, comma, 0, right parenthesis, end color #ca337c. След това определяме къде премества тези вектори матрицата A:
[1101][01]=[11][1101][−10]=[−10]\begin{aligned} \left[ \begin{array}{cc} \blueD{1} & \maroonD{1} \\ \blueD{0} & \maroonD{1} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \blueD{0} \\ \blueD{1} \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} \blueD{1} \\ \blueD{1} \end{array} \right] \\ \\ \left[ \begin{array}{cc} \blueD{1} & \maroonD{1} \\ \blueD{0} & \maroonD{1} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \maroonD{-1} \\ \maroonD{0} \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} \maroonD{-1} \\ \maroonD{0} \end{array} \right] \end{aligned}
Въвеждаме ги в матрица и получаваме произведението. Обърни внимание, че нашите изчисления са отразени в илюстрацията по-горе.
[1101][0−110]=[1−110]\left[ \begin{array}{cc} \blueD{1} & \maroonD{1} \\ \blueD{0} & \maroonD{1} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \blueD{0} & \maroonD{-1} \\ \blueD{1} & \maroonD{0} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \blueD{1} & \maroonD{-1} \\ \blueD{1} & \maroonD{0} \end{array} \right]
В заключение – можем да разглеждаме умножението на матрици като съчетаване на преместванията, представени чрез всяка от матриците. Когато следваме движението на единичните вектори, можем да изчислим произведението.
Като задача с повишена трудност: опитай да получиш общата формула за умножение на матрици 2, times, 2. Подсказка: проследи start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd и start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c, когато ги премества матрицата B, а после последвай къде матрицата A премества трансформираните вектори.
Още една задача с повишена трудност като бонус: опитай да намериш формулата за умножение на матрици 3, times, 3. Подсказка: проследи start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c и start color #1fab54, k, with, hat, on top, end color #1fab54.
За да научиш повече за умножението на матрици, виж това видео. За да упражниш наученото, виж това упражнение.

Какво следва

Сега вече имаме солидна представа как матриците преместват пространството, и можем да разберем последното понятие, което е включено в този преговор: детерминантата.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.