Вектори и начини за записването им

Векторите са основополагащи елементи на целия анализ на функции на много променливи. Използваме ги, за да представим някакви координати в пространство с повече измерения, или, в по-общия случай, за да съставяме списъци за най-различни неща. В тази статия ще разгледаме какво представляват векторите, различни начини за тяхното записване и три основни операции с вектори.

Най-общо казано, векторът е списък с неща. В анализа на функции на много променливи под "нещо" обикновено имаме предвид "число", но не винаги. Например ще видиш вектор, който съдържа оператори за производни, когато разглеждаме производните на функции на много променливи. Това ще ни бъде изключително полезно.

Ако векторът е просто списък от числа, ние можем да го изобразим като стрелка в пространството. Например можем да представим вектора $(4;2)$left parenthesis, 4, ;, 2, right parenthesis като стрелка, чието начало е в началната точка на координатната система, а върхът му е в точката $(4; 2)$left parenthesis, 4, ;, 2, right parenthesis. Ето защо в анализа на функции на много променливи обикновено не се прави разлика между точка и вектор.

Но понякога чертаем вектор, чието начало не е в началото на координатната система. Това не променя нищо за самия вектор, различен е само начинът, по който го чертаем. Например можем да начертаем вектор $(4;2)$left parenthesis, 4, ;, 2, right parenthesis с начало в точка $(0; 2)$left parenthesis, 0, ;, 2, right parenthesis. И двете стрелки съответстват на вектор $(4;2)$left parenthesis, 4, ;, 2, right parenthesis, въпреки че едната не завършва в точката $(4;2)$left parenthesis, 4, ;, 2, right parenthesis.

Ето защо понякога може да е объркващо да записваме векторите точно като точки в пространството. Затова е приет друг начин за записване на векторите.

Има различни начини за записване на вектори. Тук показваме трите начина, които най-често ще използваме в този курс. Прието е да се поставя малка стрелка над $\vec{v}$v, with, vector, on top, което показва, че $\vec{v}$v, with, vector, on top е вектор.

Първият запис е това, което обсъдихме по-горе. Технически, това се отнася за точка, но ние го използваме и когато имаме предвид вектор. Този начин на записване може да се използва за произволен брой измерения.

Вторият начин е запис във вид на матрица, което също може да се използва с произволно голям брой измерения. Матричният запис е особено удобен, когато разглеждаме взаимодействието на вектори и матрици. Ще разгледаме матрици и тяхната визуализация в следващите статии.

Третият начин на записване, за разлика от предишните, се използва само за две и три измерения. Символът $\blueD{\hat{\imath}}$start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd (изговаря се "ай с шапка") е единичният вектор по посока $x$x, така че $\blueD{\hat{\imath}} = (1; 0; 0)$start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, equals, left parenthesis, 1, ;, 0, ;, 0, right parenthesis. По същата логика $\maroonD{\hat{\jmath}} = (0; 1; 0)$start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c, equals, left parenthesis, 0, ;, 1, ;, 0, right parenthesis и $\greenD{\hat{k}} = (0; 0; 1)$start color #1fab54, k, with, hat, on top, end color #1fab54, equals, left parenthesis, 0, ;, 0, ;, 1, right parenthesis. Този начин на записване ще ти се стори по-логичен след като разгледаме събиране на вектори.

В нашия курс в упражненията използваме почти винаги записът като $(1; 2; 3)$left parenthesis, 1, ;, 2, ;, 3, right parenthesis, защото това спестява място, когато трябва да дефинираме повече променливи. Във видеото уроците използваме различни начини на записване на векторите, както и запис от вида $1 \blueD{\hat{\imath}} + 2 \maroonD{\hat{\jmath}} + 3 \greenD{\hat{k}}$1, start color #11accd, \imath, with, hat, on top, end color #11accd, plus, 2, start color #ca337c, \jmath, with, hat, on top, end color #ca337c, plus, 3, start color #1fab54, k, with, hat, on top, end color #1fab54.

Една от основните операции с вектори е събирането. Когато събираме два вектора, ние по същество събираме съответните им компоненти:

Принципът е същият за произволен брой измерения, не само за три измерения. Можем да начертаем сбора на векторите $\blueD{\vec{a}} + \maroonD{\vec{b}}$start color #11accd, a, with, vector, on top, end color #11accd, plus, start color #ca337c, b, with, vector, on top, end color #ca337c като поставим началото на вектор $\blueD{\vec{a}}$start color #11accd, a, with, vector, on top, end color #11accd до върха на вектор $\maroonD{\vec{b}}$start color #ca337c, b, with, vector, on top, end color #ca337c. Ето един пример за събиране на вектори в две измерения.

Нека опитаме с една практическа задача.

Ако имаш желание да се задълбочиш в темата, виж как събираме вектори графично в това видео и се упражни да го правиш в това упражнение.

Втората основна операция с вектори е умножение на вектор с число (умножение на вектор със скалар), при което векторът се удължава или смалява. Скалар е просто засукана думичка за число (на английски има общ корен с думата scaling – мащабиране). Ето пример за умножение на вектор с число:

По същество умножението на един вектор с число означава да умножим всеки компонент на вектора по това число. Така получаваме:

Да видим един пример.

Когато умножаваме един вектор по числото $2$2 означава, че векторът става два пъти по-дълъг. Ето как изглежда това:

Умножението на вектора по числото $0{,}5$0, comma, 5 намалява неговата дължина наполовина. Например горният вектор $(2; 4)$left parenthesis, 2, ;, 4, right parenthesis става $(1; 2)$left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis, вместо обратното.

Умножението на вектор по числото $-1$minus, 1 води до обръщане на посоката на вектора, защото всеки от компонентите му става с обратен знак на този, който е имал. Ето пример за това:

Ако имаш желание да се задълбочиш още в темата, гледай това видео и се упражни със задачите в това упражнение.

Когато представяме векторите като стрелки, възниква естественият въпрос "Каква е дължината на стрелката?" Отговор на въпроса дава понятието "дължина на вектор". Дължината на вектора се записва с две вертикални чертички от двете му страни, а понякога се използва и само по една вертикална чертичка от всяка страна: $\| \vec{a} \|$\|, a, with, vector, on top, \| или $| \vec{a} |$vertical bar, a, with, vector, on top, vertical bar.

Дължината на вектора изчисляваме с помощта на питагоровата теорема, защото можем да си представим вектора като хипотенуза на един триъгълник. Това е еквивалентно на това да използваме формулата за разстояние, така че дължината на вектор $(a; b)$left parenthesis, a, ;, b, right parenthesis е равна на $\sqrt{a^2 + b^2}$square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root.

Да видим един пример.

Дължината на векторите се намира по същия начин в три и повече измерения.

Ако имаш желание да се задълбочиш още по темата, гледай това видео и се упражнявай със задачите в това упражнение

След събиране на вектори, умножение на вектор с число и дължина на вектор, ще разгледаме още две важни операции между вектори. Това са скаларно произведение на вектори и векторно произведение, на които са посветени следващите две статии.