Въведение в пропорционални отношения (зависимости)

В това видео ще разгледаме пропорционалните зависимости, като това са зависимости между две променливи, в които отношението на стойностите на двете променливи винаги е едно и също. Това звучи доста сложно и засукано. Надявам се, че ще стане малко по-ясно, когато разгледаме някои примери. Да кажем, че гледаме една рецепта за някакъв вид печиво, може би за някакви палачинки, напоследък аз правя много палачинки, и знаем, че за определен брой яйца колко чаши мляко са ни нужни. Знаем броя на яйцата, а после имаме чаши мляко. В тази рецепта знаем, че ако използваме едно яйце, ще ни трябват две чаши мляко, а ако използваме три яйца, ще ни трябват шест чаши мляко. Ако използваме, например, 12 яйца, тогава ще ни трябват 24 чаши мляко. Дали това е пропорционална зависимост, като двете променливи са чашите мляко и броят на яйцата? За да проверим това, по същество ни интересува само отношението на тези две променливи. Казваш, че отношението на брой яйца към чаши мляко, или отношението чаши мляко към брой яйца. Искаме да сме сигурни, че това отношение е едно и също във всички тези случаи. Тук ще направя друга колона, в която ще запиша отношението брой яйца към чаши мляко. В първия случай имаме едно яйце към две чаши мляко. Във втория случай отношението е три към шест. В третия случай имаме 12 към 24. Това равни отношения ли са? За да отидем от едно до три, умножаваме по три, за да отидем от две до шест също умножаваме по три. И в двата случая умножаваме променливата по три. По същия начин, ако умножим броя на яйцата по четири, после умножаваме и броя на чашите мляко по четири. Така че това са едни и същи отношения, едно към д ве, три към шест, 12 към 24. И в трите случая чашите мляко са два пъти повече от броя на яйцата. Значи те са пропорционални. Потвърдено. А как би изглеждал един пример за отношения, които не са пропорционални? Пак ще дам пример от пекарството. Да кажем, че отиваш към някаква сладкарница и те интересува колко ще ти струва да купиш торта за различен брой гости. Нека в тази колона да е броят на парчетата, а после следва цената на тортата. Това са нашите две колони. Ако имаме 10 парчета торта, цялата торта струва 20 долара. Ако имаме 20 парчета, тортата струва 30 долара. Ако имаме 40 парчета, тортата струва 40 долара. Постави видеото на пауза и опитай самостоятелно да определиш дали това е пропорционална зависимост. Ако е такава, защо? Ако не е, защо не е? Добре, сега отново да помислим за отношенията. Това са двете ни променливи, брой парчета и цена на тортата. Ако погледнем отношението на броя парчета към цената на тортата, в първия случай то е 10 към 20, после е 20 към 30, а после е 40 към 40. За да определим дали тези отношения са равни, когато отиваме от 10 на 20 парчета, умножаваме по две. Но когато отиваме от 20 на 30 парчета не умножаваме по две цената на тортата, а умножаваме по 1,5 или по едно и половина. По същия начин, от 20 на 40 парчета умножаваме по две, но когато отиваме от 30 на 40 долара, не умножаваме по две, а умножаваме по едно и една трета. Когато умножаваме броя на парчетата по някаква стойност, не умножаваме цената на тортата по същата стойност. Това означава, че това отношение не е пропорционално. Един начин да разглеждаме пропорционалните отношения, както вече казах, е, че отношението между променливите ще е едно и също. Друг начин да разглеждаме това е, че едната променлива винаги ще е равна на другата променлива по някаква константа. В първия пример казахме, че броят на чашите мляко винаги е две по броя на яйцата. Ще го запиша. Чашите мляко винаги са равни на две по броя на яйцата. Това число, тази константа, се нарича коефициент на пропорционалност (пропорционална константа). Във втория пример не е възможно да се състави подобно равенство. Тук връзката е по-сложна. Значи за една пропорционална зависимост отношенията между стойностите на две променливи са равни и можем да съставим подобно равенство, в което използваме коефициент на пропорционалност.