If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:13:49

Определяне на фокусите на елипса, зададена с уравнение

Видео транскрипция

. Да речем, че имаме формула за елипса х на квадрат върху а на квадрат, плюс у на квадрат върху b на квадрат, е равно на 1. И за целта на нашия урок приемаме, че а е по-голямо от b. И всичко това ни казва, че това ще бъде една къса и дебела елипса. Или, че главната полуос, или главната ос, ще бъде по хоризонталата. А малката ос ще бъде по вертикалата. Нека начертаем това. Да начертаем тази елипса. Искам да начертая по-дебела елипса. Да речем, че това е моята елипса, и сега нека начертая и осите. Добре, това тук е хоризонталата. А тук имаме вертикалата. И ние сме изучавали елипсата доста подробно досега. Знаем как да изчислим малкия радиус, който в този случай знаем, че е b. Това е същото b ето тук. И това е само малкия радиус. Защото b е по-малко от а. Ако b беше по-голямо, то щеше да е големия радиус. А така, разбира се, големия радиус е а. И това разстояние е това тук. Сега, още едно супер интересно а може би най-интересното свойство на елипсата, е че ако вземете която и да е точка от елипсата, и измерите разстоянието от тази точка до две специални точки, които ние за целите на този урок, а и не само за целите на този урок, а изобщо по принцип, ще наричаме фокусни точки или фокуси на елипсата. И тези две точки винаги са разположени на главната ос. Така че, в този случай това е хоризонталната ос. И те са симетрични на центъра на елипсата. Нека наречем тези точки, ще обознача тази като f1. А тази е f2. И това идва от фокус. Фокуси. f2. Супер интересното очарователно свойство на една елипса. И това често се използва като дефиниция за елиспа, ако вземете която и да е точка от тази елипса, и измерите нейното разстояние до всяка от тези две точки. Да речем, че имам това разстояние тук. Да наречем това разстояние d1. И след това имам това разстояние ето тук, и вземам която и да е точка от тази елипса, или в частност тази точка, и измеря разсточнието до всеки един от двата фокуса. И това е d2. Ще го направим с друг цвят. Ще изполваме всичките цветове. Това е d2. Цялата линия ето тук. Това е d2. И така... Като намерите тези две разстояния, ги събирате. Това d2 плюс d1 ще бъде константа, която всъщност се оказва равна на 2а. Но се оказва, че е толкова за всяка точка от елипсата. Нека поясня това. И всъщност ще ви докажа, че това константно разстояние всъщност е 2а, където това а е същото като това а тук. Нека се уверим, че разбирате какво казвам. Нека взема друга произволна точка от елипсата. Нека я вземем ето тук. И ако трябваше да измерим разстоянието от тази точка до този фокус, нека наречем тази точка d3 и след това да измерим разстоянието от тази точка до този фокус - нека наречем това d4. наречем това d4. d4. Ако трябваше да събера тези две точки, то пак щеше да бъде равно на 2а. Нека напиша това отдолу. d3 плюс d4 пак ще е рано на 2а. Това е ясно. И всъщност, много често се използва като дефиниция за елипса, където се казва, че елипса е множеството от всички точки или понякога използват термина геометрично място, което е един вид географско представяне на множеството от всички тези точки, където сумата на разстоянията до всеки от тези фокуси е равна на константа. Ще си поиграем малко с това и ще се научим как да изчисляваме фокусите на една елипса. Но първото нещо, което трябва да направим е просто да се уверим, че разстоянието, ако това е вярно, че то е равно на 2а. И най-лесния начин за намиране на това е да вземем тези, предполагам че можете да ги наречете най-отдалечените точки по х-остта тук и тук. Вече претендираме, че разстоянието от тук до тук, нека го начертая с друг цвят. Че това разстояние плюс това разстояние ето тук ще е равно на константно число. И използвайки тази отдалечена точка, ще ви покажа, че това константно число е равно на 2а, така че нека разберем как да направим това. Нещо което трябва да осъзнаете е, че тези две фокусни точки са симетрични около началото. Така, че каквото и да е това разстояние, ето тук, то ще бъде същото като това разстояние. Ето тук. Тъй като тези две точки са симетрични около началото. Така че, това тук, е същото разстояние като това. И разбира се ние имаме - това което искаме е да намерим сумата от това разстояние и това по-дълго разстояние ето там. Каква е сумата на това плюс това зеленото разстояние? Ами това тук е същото като това. Така че, това плюс зеленото - нека запиша това. Нека обознача тези, ще нарека това разстояние g, само да кажа, нека наречем това g, и нека наречем това h. Ако това е g и това h, ние знаем също, че това е g защото всичко е симетрично. Колко е g плюс h? Ами това е същото като g плюс h. Което е целият голям диаметър на тази еипса. Който е колко? Ами ние знаем, че малкия радиус е a, така че тази дължина тук е също а. Така че, разстоянието или сумата от разстоянието от тази точка на елипсата до този фокус, плюс тази точка на елипсата до този фокус, е равна на g плюс h, или тази голяма зелена част, което е същото нещо като големия диаметър на тази елипса, което е същото нещо като 2а. До тук добре. Надявам се, че това е достатъчно добре за вас. Сега, следващото нещо, след като разбрахме това, е как да изчислим къде лежат тези фокуси. Или, ако имаме това уравнение, как можем да намерим какви са тези две точки? Нека намерим това. Първото, което осъзнаваме, съвсем неочаквано, е че без значение къде отивахме, беше лесно да го направим с тези точки. Но дори и да вземем тази точка ето тук и да кажем: Добре, колко е това разстояние, и след това да го съберем с това разстояние, това също би трябвало да бъде 2а. И ние можем да използваме тази информация, за да изчислим реално къде лежат фокусите. Нека приемем че имам - нека нарисувам друга. Нека начертая друга. Добре... Не искам да чертая окръжност. Това е моята елипса. След това искаме да нарисуваме осите. За по-ясно. Нека напиша уравнението отново. За да не го забравим. x на квадрат върху а на квадрат плюс у на квадрат върху b на квадрат е равно на 1. Нека вземем тази точка тук. Тези крайни точки са винаги полезни, когато се опитвате да докажете нещо. Или биха могли да бъдат, не искам да казвам винаги. И така, казахме, че имаме тези два фокуса, които са симетрични на центъра на на елипсата. Това е f1, а това f2. И вече казахме, че една елипса е геометричното положение от всички точки или множеството от всички точки, където ако вземете разстоянието на всяка една от тези точки до всеки фокус и ги съберете, получавате константно число. И ние намерихме, че това константно число е 2а. Ние намерихме, че ако вземете това разстояние тук и го добавите към това разстояние ето тук, това ще бъде равно на 2а. Така можем да кажем, че ако наречем това d, d1, това е d2. Знаем, че d1 плюс d2 е равно на 2а. Интересното тук е, че това всичко е симетрично, нали? Тази дължина ще бъде същата, d1 ще бъде същото, както и d2, защото всичко, което правим е симетрично. Тези две фокусни дължини са симетрични. Това разстояние е същото като това разтояние ето тук. Така че, d1 и d2 би трябвало да са същите. Няма начин да - това е точно централната точка на елипсата. Елипсата е симетрична около оста у. И ако d1 е равно на d2, и това е равно на 2а, то тогава знаем, че това трябва да е равно на а. И това трябва да е равно на а. Мисля, че напредваме. Другото, за което трябва да помислим и ние вече го направихме в предния чертеж на елипсата, е колко е това разстояние? Това разтояние е малкия радиус. Който както вече знаем е b. А това разбира се е фокусната дължина, коята се опитваме да изчислим. Това вече трябва да изскача в съзнанието ви, като задача с Питагорова теорема. И така, имаме фокусната дължина. И можем да я нанесем на този или на този триъгълник. Аз ще я направя на този ето тук. Тази фокусна дължина е f. Нека наречем това f. f на квадрат плюс b на квадрат ще бъде равно на хипотенузата на квадрат, което в този случай е d2 или а. Което е равно на а на квадрат. И сега вече имаме едно хубаво уравнение, по отношение на b и а. Знаем, колко са b и а от уравнението, което ни беше дадено за тази елипса. Нека намерим тази фокусна дължина. Фокусната дължина, f на квадрат, е равна на а на квадрат минус b на квадрат. f, фокусната дължина, ще бъде равна на корен квадратен от а на квадрат минус d на квадрат. Доста спретнат и изчистен, а и доста интуитивен начин да помислим над нещо. Вие просто буквално вземате разликата от тези две числа, което е по-голямо, или което е по-малко го изваждате от другото. Изваждате корен квадратен и това е фокусната дължина. Сега нека видим дали можем да използваме това и да го приложим към някои истински задачи, където може да ви питат, хей, намерете фокусната дължина. Или намерете координатите на фокусите. Нека кажем, че имах уравнението х минус 1 на квадрат върху 9, плюс у плюс 2 на квадрат, върху 4 е равно на 1. И така, нека първо начертаем това. Това ще бъде интересно. Ще нарисувам осите. Това е оста х. Това е оста у. И вижаме веднага, къде е центъра на това. Центърът ще бъде в точките 1, минус 2. И ако това е объркващо, може да искате да прегледате някои от предишните клипове. Центъра е в 1, х е равно на 1. у е равно на минус 2. Това е центъра. И след това главната ос е оста х, защото това е по-голямо. И така, b на квадрат е - или а на квадрат, е равно на 9. А малкият радиус ще бъде равен на 3. Ако отидете 1, 2, 3. 1, 2, 3 Стигате тук. След това имате 1, 2, 3. Не. 1, 2, 3. 1, 2, 3. Мисля че - нека видим. 1, 2, 3. Стигате до тук, горе-долу. И след това в посока у, малкия радиус ще бъде 2, нали? Квадратния корен от това. Така b е равно на 2. Отивате с 2 нагоре, след това слизате с 2 надолу. И тази елипса ще изглежда по следния начин - нека избера хубав цвят. Ще изглежда ето така. И това което искаме да направим, е да намерим координатите на фокусните точки. Фокусните точки ще лежат върху главната полуос. И ние трябва да изчислим тези фокусни разстояния. И след това можем по същество просто да ги съберем и извадим от центъра. И така ще получим координатите. Това, което току-що ви показах или се надявам, че съм ви показал е че фокусната дължина или това разстояние, f, фокусната дължина е просто равна на квадратния корен от разликата между тези две числа, нали? Тя е точно квадратния корен от 9 минус 4. Фокусната дължина е равна на корен квадратен от 5. И така, ако тази точка тук е точката и ние вече показахме това, това е точката - центърът на елипсата е точката 1, минус 2. Координатата на този фокус тук ще бъде 1 плюс корен квадратен от 5, минус 2. А координатата на този фокус тук ще бъде 1 минус корен квадратен от 5, минус 2. И всичко, което направих е, че взех фокусната дължина и изваждах - тъй като сме по основната ос, или оста х, аз само събирах и изваждах това от х координатата, за да получа тези две координати ето тук. Както и да е, това е наистиа много ясно нещо за коничните сечения, че имат тези интересни свойства по отношение на фокусите или по отношение на фокусните точки. В бъдещи клипове ще ви покажа фокуса на хипербола или фокуса на - е, тя има само един фокус - на парабола. Но това наистина започва да разкрива кое прави коничните сечения ясни. Всичко, което направихме до сега беше повече относно механиката на чертане и отбелязване и изчисляване на центровете на коничните сечения. Но сега ние навлизаме полека в математически интересните части на коничните сечения. Както и да е. Ще се видим в следващото видео.