Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:6:16

Видео транскрипция

Дадена е окръжност с уравнение х^2 + у^2 – 8х = 0 и хипербола с уравнение х^2/9 – у ^2/4 = 1. Те се пресичат в точките А и B. Кое е уравнението на общата допирателна с положителен наклон на окръжността и на хиперболата? Нека най-напред отбележим какво се търси. Имам чувството, че това ще отнеме няколко видеа. Нека първо си представим задачата. За окръжността ще допълня до точен квадрат за х. Така написана окръжността е х^2 – 8х + y^2, тук оставям място за допълване на квадрата, равно на 0. Нека добавя към двете страни квадрата на половината от този член 8. Половината на –8 е –4, на квадрат е 16. Така че добавям 16 от двете страни. Така направих точен квадрат от членовете с х. Това е (х – 4) на квадрат. Остана плюс у^2 равно на 16. Това е окръжността. Центърът ѝ е в точката с координати х=4 и у=0. Радиусът също е 4. Нека начертая графиката на окръжността. Това е оста Ох, моята хоризонтална ос. А това е моята ос Оу. Да начертая центъра на окръжността в (4; 0). Това е центърът, а радиусът е 4. Окръжността изглежда горе-долу така. Можех да я начертая и по-добре. Това е горната половина, после долната. Това е нашата окръжност. Да помислим и за хиперболата. Като разгледаме уравнението ѝ, виждаме, че членът х^2 е положителен. Значи хиперболата се отваря наляво и надясно. Обяснявам това в няколко от видеата за конични сечения. Можем да определим и точките ѝ на пресичане с оста х. Тогава у = 0 и имаме х^2/9 =1. Значи х ще е плюс или минус 3. Можем да начертаем хиперболата. Това е точката (3;0). Хиперболата се отваря насам. Другата точка е в (–3;0). Хиперболата се отваря и наляво. В задачата се казва за точките на пресичане А и B. Изглежда това са тази точка А и тази B. Сега да помислим какво се търси в задачата. Уравнението на обща допирателна с положителен наклон, значи това е права с положителен наклон, обща допирателна за окръжността и хиперболата. Нека помислим малко над това. След като има положителен наклон, то правата няма да се допира до окръжността никъде, където самата окръжност е с отрицателен наклон. Значи не може да се допира тук, нито пък тук. Ако се допираше до окръжността тук, какво се получава? Тогава няма да може да се допира и до хиперболата. Следователно трябва да се допира до окръжността някъде в тази област, означена в синьо. Как може да се допира до хиперболата? Изкушаващо е да помислим, че се допира до хиперболата някак така. Но трябва да вземем предвид, че хиперболата има асимптота. Можем да определим тази асимптота. Нека да я начертаем. Наклонът на хиперболата винаги ще е по-голям от този на асимптотата. Тя бавно се доближава до тази права. Например в тази точка наклонът на хиперболата е малко по-голям от този на асимптотата. Съответно и допирателната ще има такъв наклон. Всичко, което тръгва от тази част на окръжността към хиперболата ще има по-малък наклон от този на допирателната ѝ, нали? Защото ще трябва да наваксва. Допирателната ще наваксва до каквото и да начертаем тук. Искам да го изясня. Цялата тази дъга от хиперболата ще има по-голям наклон от своята асимптота. Това позволява на хиперболата да се доближава до нея. Затова наклонът на всяка допирателна тук ще е по-голям от наклона на асимптотната права. Дори и да е с малко. Значи ако вземем точка от тази дъга и опитаме да начертаем допирателна от окръжността към нея, това няма да се получи. Защото тази допирателна по определение трябва да има по-малък наклон от асимптотата, за да срещне хиперболата. Значи допирателната не може да е към тази част от хиперболата. Какво друго можем да направим? Единствената друга част на хиперболата, която може да свърши работа е тази част тук. Ако намерим права, която се допира някъде тук и тук то това може да е нашата обща допирателна с положителен наклон. Нека я начертаем. В лилаво е общата допирателна с положителен наклон. Изглежда така. След като направихме визуализацията, в следващото видео ще опитаме да намерим правата при условие да бъде допирателна и на окръжността и също да се допира до тази част на хиперболата.