Тригонометричен и алгебричен вид на комплексните числа

Дадено ни е комплексното число z, записано в алгебричен вид като –3 плюс 2 i. Нека първо помислим къде се намира то в комплексната равнина. Това е нашата имагинерна ос, а това е реалната ос. Реалната част на z е –3, отбелязваме я с 3 единици наляво от началото. Ще направя деленията по-точно, трите единици идват тук, –3 е тук. После имаме 2 по i. Това е 2 единици нагоре по имагинерната ос. Ето тук. Числото z има реална част –3 и имагинерна част 2. Числото z се намира в тази точка от комплексната равнина. Точно тук. Сега искам да помисля за други начини за намиране на мястото на z. По-конкретно, вместо да дадем реалната и имагинерната част, които са координатите на тази точка, нека помислим в каква посока и разстояние от началото се намира z. Например можем да зададем разстоянието от началото до z, нека отбележим това разстояние с r, но само то не е достатъчно да определи къде е z. Трябва да уточним и в каква посока ще изминем разстоянието r, за да стигнем до z. За да уточним посоката използваме ъгъла тета в радиани, това е ъгълът между положителната посока на реалната ос и тази отсечка, която свързва началото със z. Ако са ти дадени този ъгъл и това разстояние, то можеш да намериш z. Сега искам да оставиш видеото на пауза и да опиташ да намериш взаимовръзка между r и тета от една страна, и –3 и 2 от друга. При дадено това комплексно число в неговата алгебрична форма, можеш ли да намериш r и тета? Да помислим малко над това и за да си помогнем, нека си припомним определенията на тригонометричните функции чрез единична окръжност. Ще използваме някои от тях, за да изразим r и тета чрез стойностите 2 и –3. Ще построя единична окръжност. Ето я тук, окръжност с център в началото и радиус 1. Довършвам и долната част, това е. Какво са по определение координатите на тази точка, където тази отсечка пресича единичната окръжност? Тя образува ъгъл тета с положителната посока на реалната ос и хоризонталната координата, това по определение е косинус от тета. Това е определението за косинус от тета чрез единична окръжност. Вертикалната координата е синус от тета. А какви са хоризонталната и вертикалната координата на тази точка? Знаем, че те са –3 и 2, но как да ги изразим чрез косинус и синус от тета? Виж, тази пресечна точка е на разстояние един радиус от нулата, следователно това разстояние е единица, но точката z е на разстояние r от нулата. Тя е r пъти по-далеч. След като сме r пъти по-далеч в тази посока, то ще сме r пъти по-далеч също във вертикална и в хоризонтална посока. Всичко се мащабира по r. Значи хоризонталната координата на тази точка z не е косинус от тета, ами е r пъти по косинус от тета. Знаем за тази координата, че е равна на –3, но тя е равна и на r по косинус от тета. По същата логика вертикалната координата става като увеличим синус от тета r пъти, за да сме r пъти по-далеч. Вертикалната координата на z е r по синус от тета, но знаем също, че тя е 2. 2 е равно на r по синус от тета. Като знаем това, можем ли вече да намерим r и тета? Първо да помислим колко е тета. Нека си спомним тригонометричните функции. Една такава функция, която използва синус от тета и косинус от тета е функцията тангенс. Например можем да изразим тангенса от нашия ъгъл тета като синус от тета върху косинус от тета. Можем също да умножим числителя и знаменателя по r. Това няма да промени стойността. Това е равно на r по синус от тета върху r по косинус от тета. Знаем, че r по синус от тета е равно на 2, а r по косинус от тета е равно на –3. Този целият израз е равен на –2/3. Друго разсъждение за тангенса на тета е да мислим за него като за наклона на тази отсечка. Какъв е наклонът ѝ? Ако започнеш от z и искаш да стигнеш началото, ще изминеш 3 единици в посока на оста х и минус две единици по у. Трябва да кажа 3 единици в хоризонтална посока и –2 във вертикална. Наклонът е промяната във вертикална посока спрямо промяната в хоризонтална. Той е –2 върху 3. Сега можем да го използваме, за да намерим тета. Взимаме обратния тангенс на двете страни и получаваме тета равно на обратния тангенс от –2/3. От това. Ще копирам този израз и ще използвам калкулатора, за да намеря стойността му. Включвам калкулатора и се уверявам, че е настроен в радиани. Така е. Мога да взема обратния тангенс от минус 2/3, което става –0,58800... и така нататък. Като закръглим до стотна от радиана се получава –0,59. Това е приблизителната стойност на ъгъла. Дали това е правилният ъгъл? Това ли е търсеният от нас ъгъл тета? Този ъгъл –0,59 се намира ето тук, в четвърти квадрант. Това е резултатът от функцията обратен тангенс. Това има смисъл, тъй като този лъч е продължение на нашия лъч. Двата лъча са на една права. Те имат еднакъв наклон. Но това не е ъгълът тета, който търсим. Нашият ъгъл тета се намира в обратна посока. Има половин окръжност разлика. Затова, ако мислим в радиани, той е намерения ъгъл плюс пи радиана. Търсеният ъгъл тета не е директният резултат от калкулатора. Той е тази стойност плюс пи. Значи ъгълът тета, който ни интересува, е приблизително –0,59 плюс пи. Казвам приблизително още сега, защото закръглих това число. Да извадим калкулатора. Имаме предишния си резултат без закръглянето тук, добавяме пи, за да обърнем посоката. Това става приблизително 2,55 радиана. Значи тази стойност от 2,55 радиана е нашето предположение за тета. Дали това отговаря на чертежа, този ъгъл да е 2,55 радиана? Този прав ъгъл е 1/2 пи радиана, а пи е 3,14; значи той е около 1,57 приблизително, а дотук са пи радиана или около 3,14159... и така нататък. Значи резултатът от 2,55 наистина е в правилния квадрант. Значи това е правилно. Тета е ъгъл от около 2,55 радиана. Остава само да намерим дължината на r. Можем да използваме теоремата на Питагор. Построяваме правоъгълен триъгълник. Знаем, че дължината на този катет е 2. Защото това разстояние е 2. Знаем и дължината на другия катет, тази координата е –3, но разстоянието е само 3. От питагоровата теорема знаем, че r на квадрат е равно на 2 на квадрат плюс 3 на квадрат, или само r е равно на корен квадратен от 4+9, което е 13. Намерихме го. Имаме координати –3 и 2, от които получихме, че r е равно на корен от 13, а тета е приблизително 2,55 радиана. Чрез тази информация вече можем да представим z чрез r и тета. Можем да заместим –3 в числото z с r по косинус от тета, което е корен от 13 по косинус от приблизително 2,55, закръглено до стотните. А за другата му част +2 знаем, че е r по синус от тета: корен квадратен от 13 по синус от 2,55. Имагинерната част умножаваме по i. Ако искаме да опростим този израз, за да наблегнем на r, можем да го изнесем пред скоби. Можем да представим z като корен от 13 по косинус от 2,55: тук отново това е приближение, затова е по-точно да напиша приблизително равно; в скобите имам косинус от 2,55 плюс i по синус от 2,55. Когато представих z в такъв формат, стана много по-ясно в каква посока се намира: тя е 2,55 радиана обратно на часовника спрямо положителната посока на реалната ос. Вижда се и на какво разстояние от началото е, то е корен квадратен от 13 мерни единици. Тази форма на представяне прави числото много по-ясно, когато мислим в полярни координати. Затова първата форма на комплексното число се нарича алгебрична форма, а тази форма се нарича тригонометрична (на англ. полярна).