Въведение към комплексните числа

През по-голямата част от "математическия" си живот изучаваше реалните числа. Реалните числа включват неща като 0 и 1, и 0,3, което се повтаря, както и числото пи, и е, и всъщност мога да продължа да изброявам реални числа. Това са числата, които са ти донякъде познати. След това открихме нещо интересно. Открихме идеята, че ако има число, което ако повдигна на квадрат ще получа -1. И дефинирахме, че ако го повдигнем на квадрат, получаваме -1...дефинирахме това като i. Дефинирахме цял нов клас числа, които можеш да приемеш като кратни на имагинерната единица. Имагинерните числа ще са i и -i, и пи по i, и е по i. Това може да повдигне друг интересен въпрос. Какво се случва, ако комбинирам имагинерни и реални числа? Ако имам числа, които са сборове или разлики от реални или имагинерни числа? Например, да кажем, че имам числото... Нека кажем, че го нарека z и z е най-използваната променлива, когато говорим за това, което говоря сега, за комплексните числа. Да кажем, че z е равно на... равно на реалното число 5 плюс имагинерното число 3i. Това нещо ето тук... имаме реално число плюс имагинерно число. Може да ти се иска да събереш тези две неща, но не можеш. Няма да е логично. Те един вид отиват в различни... след секунда ще помислим нагледно за това, но не можеш повече да опростиш това. Не можеш да събереш това реални число с това имагинерно число. Едно число като това, нека поясня, това е реално и това е имагинерно. Едно такова число ще наричаме комплексно число, комплексно число. Има реална част и имагинерна част. Понякога ще видиш такова обозначение или някой ще каже: "Каква е реалната част?" Каква е реалната част на комплексното ни число, z? Това тук ще е 5. После може да кажат: "Каква е имагинерната част?" "Каква е имагинерната част на комплексното ни число, z?" И обикновено начинът, по който тази функция е определена, те искат да знаят какво кратно на i е тази имагинерна част ето тук. В този случай това ще е 3. Можем да представим това нагледно. Можем да визуализираме това в 2 измерения. Вместо да имаме традиционната двуизмерна картезианска равнина с реални числа на хоризонталната и вертикалната оси, ние поставяме комплексните числа като поставяме на вертикалните оси имагинерната част – това е имагинерната част. На хоризонталните оси поставяме реалната част. Поставяме реалната част ето така. Поставяме реалната част. Например, z ето тук, което е 5 плюс 3i, реалната част е 5, така че ще изминем 1, 2, 3, 4, 5. Това ето тук е 5. Имагинерната част е 3. 1, 2, 3 и така, на комплексната равнина, на комплексната равнина ще представим нагледно това число ето тук. Това ето тук е как ще визуализираме z на комплексната равнина. Това е +5 в реалната посока, +3 в имагинерната посока. Можем да поставим други комплексни числа. Да кажем, че имаме комплексното число а, което е равно на, да кажем, че е -2 плюс i. Къде ще поставя това? Реалната част е -2, -2, а имагинерната част ще е – можеш да си представиш това като +1i, тоест, преминаваме с 1 нагоре. Това ще е ето тук. Това тук е нашето комплексно число. Комплексното ни число ще е в тази точка на комплексната... нека запиша това, тази точка на комплексната равнина. Нека направя още един пример. Да кажем, че имаш комплексното число b, което ще е... да кажем, че е 4 минус 3i. Къде ще поставим това? 1, 2, 3, 4. И после, да видим, -1, 2, 3. Нашето -3 ни води ето дотук. Това ето тук ще е комплексното число b.