Текущ час:0:00Обща продължителност:7:35

Видео транскрипция

Знаем, че ако имаме 5-има души, нека кажем човек А, човек В, човек С, човек D и човек Е, и искаме да ги настаним на 5 различни, нека кажем позиции или столове – позиция 1, позиция 2, позиция 3, позиция 4 и позиция 5. Ако искаме да пресметнем броя на ситуациите, или може да кажем броя на пермутациите, да настаним тези 5-има души на тези 5 стола, можем да кажем, че имаме 5 различни... Ако настаняваме хората под ред, което също можем да направим, можем да кажем: "5-има различни хора могат да седнат на стол 1". И за всяка от тези ситуации 4-има различни хора могат да седнат на стол 2. За всяка от тези ситуации сега имаме 20 ситуации. 5 по 4 – имаме 20 ситуации, при които настаняваме на място 1 и място 2, така че сега колко души можем да настаним на място 3 за всяка от тези 20 ситуации? 3-ма души все още не са седнали, така че там има 3 възможности. Сега има 5 по 4, по 3 начина да настаним първите 3-ма души. Колко души остават за място 4? Двама души все още не са седнали, така че има 2 възможности. Сега имаме 5 по 4, по 3, по 2 начина да се седне на първите 4 места. За всеки от тях колко възможности има за петото място? Ами 1. За всяка от тези ситуации имаме само 1 човек, който все още не е седнал, така че имаме 1 възможност. Следователно броят на пермутациите, броят на... Нека го запиша. Броят на пермутациите за настаняването на тези 5-има души на 5 стола е 5 факториел. 5 факториел, което е равно на 5 по 4, по 3, по 2, по 1, което разбира се е равно на, да видим, 20 по 6, което е равно на 120. Вече сме разглеждали това в предишно видео. Но сега нека направим нещо малко по-интересно или може да го намериш за по-малко интересно. Нека кажем, че отново имаме тези 5-има души, но нямаме толкова много столове, така че не всички ще могат да седнат. Нека кажем, че имаме само 3 стола. Имаме стол 1, стол 2 и стол 3. По колко начина може да имаш 5-има души, когато само 3 от тях могат да седнат на тези 3 стола, като ни интересува, кой на кой стол сяда? Препоръчвам ти да спреш видеото на пауза и да помислиш върху това. Приемам, че вече опита. Нека използваме същата логика. Ако ги настаним по ред, като можем да го направим, колко различни хора, ако все още не сме настанили никого, колко различни хора биха могли да седнат на място 1? Ако никой не е седнал, имаме 5-има различни души, 5-има различни души биха могли да седнат на място 1. За всеки от тези случаи, при които 1 човек е вече седнал на място 1, колко души биха могли да седнат на място 2? При всяка от тези ситуации, ако 1 човек е седнал, имаме останали 4-има души, които все още не са настанени, така че 4-има души могат да седнат на място 2. Следователно имаме 5 по 4 ситуации, при които сме настанили на местата 1 и 2. За всяка от тези 20 ситуации, колко души биха могли да седнат на място 3? Не сме настанили трима от хората все още, така че за всяка от тези 20 ситуации бихме могли да настаним трима различни души на място 3, и това ни дава 5 по 4, по 3 ситуации. Това е равно на 5 по 4, по 3 начина, което е равно на... това е равно на 60. Следователно има 60 пермутации за настаняването на петима души на 3 стола. Когато започна да мисля по отношение на пермутациите, всъщност винаги мисля по тези начини. Аз просто буквално го начертах, защото не обичам формули. Всъщност предпочитам да концептуализирам и визуализирам какво правя. Но може да кажеш, че когато преди малко настанихме 5-има различни хора на 5 различни стола, като ни интересуваше кой на кое място сяда, имахме това 5 факториел. Факториелът е един вид ясно малко действие. Как мога да свържа факториела с това, което току-що направихме? Изглежда, че в известна степен използвахме факториел, но след това спряхме. Не изчислихме по 2, по 1. Единият от начините да разглеждаме това, което току-що направихме, е, че просто изчислихме 5 по 4, по 3, по 2, по 1, но разбира се всъщност не изчислихме 2 по 1, следователно можеш да го вземеш от там и да разделиш на 2 по 1. Ако го бяхме направили, това 2 по 1 щеше да се съкрати с това 2 по 1 и щеше да останеш с 5 по 4, по 3. Причината, поради която го пиша по този начин, е че сега мога да го напиша по отношение на факториела. Мога да го напиша като 5 факториел, 5 факториел върху 2 факториел. Но тогава може да зададеш въпроса откъде идва това 2? Имам 3 места. Откъде идва това 2? Помисли върху това. Умножих 5 по 4, по 3, продължих, докато не получих толкова места и след това не изчислих остатъка. Така че нещата, които оставих, са по същество броят на хората минус броя на столовете, защото се опитах да поставя 5 неща на три места. 5 минус 3, това ми дава, че остават 2. Следователно мога да го напиша по следния начин. Бих могъл да го напиша като 5... Нека използвам същите цветове. Бих могъл да го напиша като 5 факториел върху 5 минус 3, което е разбира се 2, 5 минус 3 факториел. Друг начин да го разглеждаме, е ако искаме да обобщим, ако се опитваме да намерим броя на пермутациите... като има много начини да го напишем, ако се опитваме да намерим броя на пермутациите, при които можем да поставим n души на r на брой места или броя на пермутациите, при които можеш да поставиш n души на r места, като има също и други означения за това, ще имаме само n факториел върху n минус r факториел. Тук n беше 5, а r беше 3. 5 минус 3 е 2. Ще видиш това в часа за вероятности или по статистика, като хората може да наизустят тази формула. То прилича на такъв вид досадно нещо. Но точно сега ще ти кажа само, че основната причина да ти покажа това, е да можеш да го свържеш с това, което може да видиш в учебниците или което може да видиш в час, или ако видиш такъв тип формула, да разбереш, че това не е някакъв вид вуду магия. Но ще ти кажа, че лично аз никога не използвам тази формула. Винаги я доказвам, защото ако просто наизустиш формулата, винаги ще се питаш, дали тази формула може да се приложи там? Колко е n? Колко е r? Но ако я изведеш, тя ще следва от пряката логика. Няма нужда да помниш нищо наизуст. Няма нужда да се чувстваш зле, че просто наизустяваш, без да разбираш. Просто използваш дедуктивни разсъждения, използваш логиката си. Това е особено ценно, защото както ще видим, не всеки сценарий ще отговаря толкова ясно на това, което току-що направихме. Може да има някои особености, като например само човек В иска да седне на един от столовете или кой знае какво друго? Тогава формулата ще бъде безполезна. Така че аз обичам да я обосновавам по този начин, но току-що ти показах, че можеш да го свържеш с формула, която можеш да срещнеш в даден урок или час.