Текущ час:0:00Обща продължителност:9:44

Дефиниционно множество и обхват на функцията обратен тангенс

Видео транскрипция

От нас се иска при дадено g(x) = tg(x - 3π/2) + 6 да намерим обратнaта функция на g(x). Трябва да напишем отговора тук и после да определим какво е дефиниционното множество (ДМ) на обратната на g(x) функция. Ще се опитам да го направя на моята малка дъска тук. Да помислим коя е обратната на g(x) функция. Това е g(х), а обратната на g(х) е... Нека да го разгледаме – ето това тук е g(x). g(х) = tg(х - 3π/2) + 6 Обратната функция на g(х) е... Мога да заменя х с обратната на g(х) функция, и самото g(х) с х. И после да реша за обратната функция на g(х). Мога да напиша, че х е равно на tg от (обратно g(х) минус 3π/2) плюс 6. Да намерим обратно g(х). Съветвам те да спреш това видео на пауза и да се опиташ да го решиш самостоятелно. Нека извадим 6 и от двете страни, за да се отървем поне от шестицата. Остава х минус 6 равно на tg от обратно g(х) минус 3π/2. Да вземем аркустангенс на двете страни от уравнението. Аркустангенс от лявата страна е аркустангенс от х минус 6, а от дясната страна аркустангенс от тангенс – ако ограничим ДМ правилно, за което ще поговорим след малко – ще бъде равен просто на това, което влиза в тангенс функцията. Ако ограничим ДМ правилно, аркустангенс от тангенс от нещо – да кажем тита – ще бъде просто равно на тита. Отново, ако ограничим ДМ, т.е. допустимите стойности за тита, правилно, тогава аркустангенс от тангенс от това ще бъде равен на цялото това нещо тук. Ще бъде просто това – обратното на g(х) минус 3π/2. Сега трябва да намерим обратно g(х). Можем да добавим 3π/2 към двете страни. Получаваме – нека разместя двете страни; получаваме обратно g(х) е равно на аркустангенс от (х минус 6). После добавяме 3π/2 към двете страни, които са разменени, така че плюс 3π/2. Нека да го напиша и да видя дали мога да го запомня, защото сега ще ми изчезне от екрана. Аркустангенс от (х - 6) плюс 3π/2. Нека да го запиша. Обратно g(х) ще бъде аркустангенс... Мога да го напиша така: аркустангенс от (х - 6), да, точно така – излиза си arctan(х - 6), плюс 3π/2 и го разпозна правилно. Но трябва да помислим какво е дефиниционното множество на обратната функция на g(х). ДМ на обратно g(х)... Да помислим какво прави тангенсът. Функцията тангенс, ако си представим една единична окръжност, например ето тази окръжност. Моята писалка отива леко нагоре, малко криво го чертая, но мисля, че ще свърши работа. Нека приемем, че това е единична окръжност. Това е оста х, а това е оста у. Ако направим ъгъл тита ето тук горе, тангенс от тита е точно наклонът на това второ рамо на ъгъла. Ъглите се формират от този лъч и този лъч по линията на оста х. Тангенс от тита е наклонът ето тук. Можем да намерим тангенс от всеки ъгъл тита, освен няколко. Тангенс от това намираме чрез този наклон. Или този наклон тук. Можем също да намерим този наклон или ето този. Но случаят, в който не можем да намерим наклона, е когато този лъч отива право нагоре или отива право надолу. В тези случаи не можем да намерим наклона. В тези случаи функцията се доближава до + или - безкрайност. Следователно ДМ на тангенс включва всички реални числа, с изключение на кратните на π върху... Можем да кажем π върху 2 плюс кратните на π, с изключение на π/2 плюс кратните на π, където k може да бъде всяко цяло число, така че можем и да извадим π, защото, ако имаме π/2, и добавим π, отиваме направо надолу. Добавяме друго π и отиваме нагоре. Ако извадим π, отиваме тук долу. Добавяме, изваждаме π и отиваме тук. Това е ДМ. Но с това ДМ, можем да получим всички реални числа. ФМ обхваща всички реални числа, защото можем да вземем всеки един наклон, можем да уголемим тита, ако искаме наистина висок наклон, или да го намалим, ако искаме отрицателен наклон. Можем наистина да стигнем до всяко едно число. Като говорим за аркустангенс обаче... За да имаме аркустангенс и да нямаме повтарящи се по редицата елементи от нашето ДМ... Защото например този ъгъл тук има същия наклон като този ъгъл тук. Ако имаме два ъгъла тита, образувани от същия лъч, ако не ограничим ДМ, така че да остане само единият, това няма да е обратна функция. Принципът е, че, за да се получи аркустангенс, ограничаваме ДМ на тангенс до интервала от -π/2 до π/2. В аркустангенса можем да включим в него всяко реално число, така че неговото ДМ.. и това е само условност. Можеха да ограничат ДМ на тангенс до: "Докато в ДМ има точно един елемент, отговарящ на дадено число от ФМ." Но принципът е допустимите стойности за ДМ на тангенс да са между -π/2 и π/2. ДМ на аркустангенс са всички реални числа, но ФМ на аркустангенс е ограничено. По принцип ФМ е от -π/2 до π/2, но без да включва тези стойности. Да се върнем на първоначалния въпрос – какво е ДМ на обратната функцията на g(x)? ДМ на обратната функция на g(x), мога да сложа всяко реално число тук (в аргумента на аркустангенс)... ФМ на обратната функция на g(x) е между -π/2 и π/2, но от нас не се иска да намерим ФМ на обратната функция на g(х). Това всъщност щеше да е по-интересен въпрос. Търсим ДМ на обратната функция на g(x), като х може да бъде всяко реално число. Да напишем това тук. ДМ на обратната на g(х) функция е от минус до плюс безкрайност. Нека се уверим, че сме разбрали правилно въпроса. Разбрали сме го. Но просто от любопитство нека помислим какво е ФМ на обратната на g(х) функция. ФМ на това нещо ще бъде между -π/2 и π/2 за тази част тук. И после ще добавим 3π/2. Следователно ФМ на цялата функция, ще бъде... Какво ще получим, ако добавим 3π/2? За долната граница ще получим 2π/2, което ще е просто... 3π/2 минус π/2 ще бъде 2π/2, което е просто π. От π до... 3π/2 плюс още едно π/2 ще бъде 4π/2, или – 2π. ФМ на обратната функция на g(х) е от π до 2π – и това е отворен интервал – границите не се включват; но ДМ – можем да сложим каквато и да е стойност за х тук, и функцията ще бъде дефинирана.