Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:5:02

Решен пример: намиране на единичен вектор с дадена посока

Видео транскрипция

В това видео ще разясня понятието единичен вектор. Единичният вектор е такъв вектор, който има определена посока и големина единица. Да видим един пример. Имаме един вектор, да го обозначим като а. За всеки три единици в хоризонтална посока, той се придвижва с четири във вертикална. Какво друго знаем за него? Можем да изчислим големината на а, нека да я обозначим така. Големината на вектора а: това е просто дължина на отсечка. Нека да си представим вектора а. За всеки три единици в хоризонтална посока ще се качваме с 4 във вертикална. Векторът а ще изглежда така. Каква в неговата големина? Големината е просто дължината на отсечката на вектора и можем да използваме теоремата на Питагор, за да я намерим. Тази дължина е квадратен корен от сбора на квадратите на другите две страни. Тя всъщност е хипотенузата на този правоъгълен триъгълник. Имаме 3 на квадрат плюс 4 на квадрат, значи корен квадратен от 9 + 16, корен квадратен от 25, и е равно на 5. Може би разпозна този триъгълник на Питагор: правоъгълен триъгълник със страни 3, 4 и 5. Дължината на търсената страна е 5, значи големината на вектора а е 5. Очевидно той не е единичен вектор, тъй като големината му е различна от единица. Да предположим, че търсим единичен вектор, който има същата посока като а, но дължина единица. Друг начин да кажем това е, че търсим вектор със същата посока, но с една пета от големината, за да бъде с големина 1. Какво можем да направим? Можем да намалим всичко 5 пъти, ако умножим всеки от компонентите на вектора а по една пета, или с други думи, да разделим всеки компонент на големината на вектора. Така ще намерим търсения единичен вектор. Да видим как да обозначим този единичен вектор. Може да използваме буквата а и друг знак вместо стрелка, но за да не се бъркаме, ще го обозначим като u. За да е ясно, че е единичен вектор, а не обикновен вектор, ще сложа тази "шапчица" вместо обичайната стрелка: тя обозначава вектора като единичен, такъв с големина единица. Нашият единичен вектор е равен на всеки от компонентите на вектора а, разделен на големината на а. Имаме 3 в хоризонтална посока и 4 във вертикална. Разделяме ги на големината на нашия вектор а. Вече открихме, че големината му е 5. Значи компонентите на единичния вектор ще са 3/5 в хоризонтална посока и 4/5 във вертикална. Можем да потвърдим това. Един начин е да видим пропорцията на тези две числа. Тя е равна на пропорцията на компонентите на а. Това значи, че посоката е еднаква. Но големината вече ще е единица. Можем да потвърдим и това. Да изчислим големината на единичния вектор като използваме компонентите му. Ще начертая "шапчицата" отново. Големината на вектора u е корен квадратен от сбора на квадратите на двата компонента. Тя е корен от 3/5 на квадрат е 9/25, плюс 4/5 на квадрат е 16/25. На колко е равно това? 9 плюс 16 е 25, значи имаме корен от 25, това е сборът на числителите, върху 25, което е равно на корен квадратен, ще вземем положителния квадратен корен от 1. То е равно на 1, което е точно каквото търсехме. Посоката е същата, но големината е единица, затова е единичен вектор.