Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:7:12

Видео транскрипция

Имаме двумерните вектори вектор а и вектор b. Искам да помисля има ли начин да дефинираме сбора на a и b? Едно нещо, което може да ни хрумне, е, ок, всеки от тези вектори е двумерен. И двата имат две координати. Защо просто не съберем съответните координати? Нека направим първата координата на сумата да бъде просто сумата на първите координати на тези два вектора. Нека вземем 6 и –4. E, 6 плюс –4 e 2. Нека втората координата е сумата на вторите координати. –2 + 4 също е равно на 2. Започваме с двумерни вектори. Когато ги съберем, отново получаваме двумерен вектор. Ако си го представиш като реални координати, и двете са членове на R2... Ще го запиша, за да свикваш със записа. Значи, векторите a и b принадлежат на R2, което е друг начин да кажем, че и двете са наредени двойки от реални числа. И двата вектора са двумерни. Е, това може да е логично съгласно начина на записване, но какво означава това графично или смислово? За да разберем, нека начертаем тези вектори. Нека се опитаме да ги представим по определен начин. Да ги визуализираме. Относно вектор а тук виждаме колко се преместваме във всяка от посоките – хоризонтална и вертикална посока. Ако сложим началото на вектора в началото на координатната система и запомни, не е нужно да бъде там, но ще е по лесно да го начертаем така, ще се преместим 6 единици хоризонтално. 1, 2, 3, 4, 5, 6. И след това –2 вертикално. –2. Векторът може да изглежда така. Вектор а изглежда така. И отново, важното за него са единствено дължината и посоката. Това е дължината на вектора, а това е посоката. Повтарям отново, за да го подчертая, можех да начертая вектор а ето така. Можех да го сложа ето тук. Тези всичките са еквивалентни вектори. Всички те са равни на вектора а. Интересуват ме единствено дължината и посоката. Имайки предвид това, ще начертая вектора b. Вектор b се премества –4 единици хоризонтално 1, 2, 3, 4 и 4 единици вертикално – 1, 2, 3, 4. Ако започнем от началото на координатната система, ако опашката е в началото на координатната система, краят му ще бъде на (–4; 4). Нека го начертая така. Това тук е векторът b. И отново, можех да начертая вектора b ето така, или – нека го копирам и поставя... Това би било още един начин да го начертая. Отново, интересуват ме само дължината и посоката. Всички зелени вектори имат еднаква дължина и еднаква посока. Как начинът, по който чертая a и b, се свързва с това каква е сумата им? Нека начертая сумата им ето така. Нека е в синьо. Сумата, по дефиницията, която току-що използвахме, ще е (2; 2). Ще изглежда ето така. Каква е логиката, която ни показва, че този лилав вектор плюс този зелен вектор ще ни дадат синия вектор? Спри видеото за момент и помисли. Един начин да го направим е: Лилавият вектор ни движи толкова. Движи ни от тази точка до тази. И ако трябва да го добавим, нека започнем от тази точка и сложим началото на зеления вектор и проследим къде ни отвежда. Вече имаме версия на зеления вектор. Отново, започваме от началото на координатната система, вектор а ни отвежда тук. Нека започнем оттам със зеления вектор и видим къде ни отвежда той. И виждаме, че има смисъл. Вектор а плюс вектор b. Слагаме началото на вектор b в края на вектор а. Ако започнем от началото на координатната система, вектор а ни отвежда тук и след това добавяме вектор b, който ни отвежда ето тук. Спрямо началото на координатната система колко сме изминали? И отново, векторите не изразяват само неща като движение от точка до точка. Те могат да изразяват скорост. Или ускорение. Могат да изразяват много неща, но когато ги визуализираме по този начин, виждаме, че има и геометричен смисъл. Синият вектор, сумата на другите два, е резултатът, който получаваме, като започнем с вектор а, който ни отвежда ето тук, където слагаме началото на вектор b и той ни отвежда право в края на сумата им. Един въпрос, който може да възникне, е ако вектор а плюс вектор b е толкова, колко е вектор b плюс вектор а? Все още ли работи същата схема? Базирайки се на дефиницията, която имахме, където добавяхме съответните координати, ние отново ще получим същия вектор. Значи трябва да се получи същото нещо. Това ще бъде просто –4 + 6, което е 2. 4 плюс –2 е 2. Но можем ли отново да го представим графично. Нека започнем с вектор b. Започваме ето тук. Вектор b ни движи до ето тук. И ако отидем там и започнем вектора a – нека го направим. Всъщност, нека започнем с нов вектор b. Нека кажем, че това е нашият вектор b. Тогава... всъщност нека го сложа на място, на което ще имам място да работя. Нека векторът b е ето тук. Нека направя копие на вектора а. Това е добро. Копираме го и го поставяме. Нека сложим началото на вектора а в края на вектор b. Така а ще ни придвижи до ето тук. Ако започна оттук, вектор b ме води до тук и когато добавим вектор а, който започва оттук, той ще ни придвижи до тук. От началната си позиция аз съм изминал ето толкова. Е, това вектор ли е? Да, това е точно (2; 2). Друг начин да мислим за него е, че този вектор ни придвижва 2 единици хоризонтално и 2 единици вертикално. И в двата случая получаваме едно и също нещо. И това, надявам се, има графичен и геометричен смисъл.