Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Абсолютна стойност и ъгъл на комплексни числа: преговор

Преговори знанията си за свойствата на комплексните числа: абсолютна стойност и ъгъл. Преобразувай комплексни числа между тригонометричен и алгебричен вид.
Абсолютна стойност (модул) на a+biz∣=a2+b2
Ъгъл на a+biθ=tg1(ba)
Алгебричен вид от дадени r и ъгъл θrcos(θ)+rsin(θ)i

Какво са абсолютна стойност и ъгъл на комплексни числа?

Свикнали сме да записваме комплексните числа в алгебрична форма, която съдържа тяхната реална и имагинерна част. Например като 3+4i.
Можем да начертаем числата в комплексната равнина, като използваме техните части:
Графично погледнато, има и друг начин да опишем еднозначно комплексното число — с неговите абсолютна стойност и ъгъл:
Абсолютната стойност или модулът ни показва разстоянието на числото от началото на комплексната равнина, докато неговият ъгъл, наричан още аргумент, е ъгълът между числото и положителната посока на реалната ос.
Абсолютната стойност на едно комплексно число z се записва по същия начин, както и абсолютната стойност на реално число: като |z|.
Искаш ли да научиш повече за абсолютната стойност и ъгъла на комплексните числа? Виж това видео.

Упражнение 1: намиране на абсолютна стойност

За да намерим големината на едно комплексно число, взимаме квадратния корен от сбора на квадратите на частите му (това е директно приложение на питагоровата теорема).
|a+bi|=a2+b2
Например абсолютната стойност на числото 3+4i е 32+42=25=5.
Задача 1.1
|3+7i|=

Отговорът трябва да е точно число.

Искаш да решиш още подобни задачи? Виж това упражнение.

Упражнение 2: намиране на ъгъла

За да намерим ъгъла на комплексно число, взимаме реципрочното на тангенс от частното на неговите части:
θ=tg1(ba)
Това следва от използването на тригонометричните зависимости в правоъгълния триъгълник, образуван от числото и реалната ос.

Пример 1: Квадрант I

Да намерим ъгъла на числото 3+4i:
tg1(43)53

Пример 2: Квадрант II

Да намерим ъгъла на числото 3+4i. Най-напред забележи, че 3+4i е във втори квадрант.
tg1(43)53
53 е в квадрант IV, а не в II. Трябва да добавим 180, за да получим срещуположния ъгъл:
53+180=127
Задача 2.1
z=1+4i
θ=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Ако е необходимо, закръгли отговора си с точност до десета. Изрази θ в градуси между 180 и 180.

Искаш ли да опиташ още задачи като тази? Виж това упражнение.

Упражнение 3: Алгебричен вид от абсолютна стойност и ъгъл

За да намерим реалната и имагинерната част на комплексно число, за което знаем неговата абсолютна стойност и ъгъл, умножаваме абсолютната стойност по синуса или косинуса на ъгъла:
rcos(θ)a+rsin(θ)bi
Това следва от използването на тригонометричните зависимости в правоъгълния триъгълник, образуван от числото и реалната ос.
Например това е алгебричният вид на комплексно число с абсолютна стойност 2 и ъгъл 30:
2cos(30)+2sin(30)i=3+1i
Задача 3.1
|z1|=3 и θ1=20
z1=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
+
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
i
Закръгли отговора си с точност до хилядните.

Искаш ли да опиташ с още задачи като тази? Виж това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.