Абсолютна стойност на комплексни числа

Имам комплексното число 3 – 4i. Начертал съм го на комплексната равнина. Тъй като реалната му част е 3, имаме 3 надясно по хоризонталната, или реалната ос. Имагинерната част е –4, затова спускаме с 4 по вертикалната ос. Ето тук е точката 3 – 4i. Сега искам да помисля за абсолютната стойност на 3 – 4i. Припомни си, че абсолютната стойност, независимо дали е на комплексно число, или на реално, означава разстоянието от неговата точка до нулата. Абсолютната стойност на 3 - 4i е разстоянието от нулата, началото на комплексната равнина, до тази точка, която представлява 3 - 4i. Ето това разстояние е абсолютната стойност на 3 - 4i. Как да го намерим? Можем да построим правоъгълен триъгълник и да използваме теоремата на Питагор. Нека да помислим. В нашия правоъгълен триъгълник този катет, разстоянието от нулата до минус 4, ще има дължина 4. Хоризонталният катет е разстоянието межу 0 и 3 и има дължина 3. Този е правият ъгъл. Тук имаме хоризонтална отсечка, а тук вертикална. Сега можем да приложим питагоровата теорема, за да намерим абсолютната стойност на 3 – 4i. Разстоянието между тази точка и нулата е хипотенузата на нашия правоъгълен триъгълник. Прилагаме теоремата на Питагор. Квадратът на този катет е 3 на квадрат, плюс квадрата на другия, плюс 4 на квадрат, е равно на квадрата на абсолютната стойност на 3 – 4i. 3 на квадрат плюс 4 на квадрат е равно на 9 + 16 = 25. Получаваме 25 равно на квадрата на абсолютната стойност на 3 – 4i. Знаем, че абсолютната стойност на едно число отговаря на разстояние и е положително число. Значи търсим положителния квадратен корен на двете страни на уравнението. Ще използваме основния, или положителния корен. Отляво имаме 25, чийто корен е 5. То е равно на абсолютната стойност на 3 – 4i. Получихме, че това тук е равно на 5. Това разстояние е 5. Можем да го намерим и без чертеж. Да видим, това е реалната част, а това е имагинерната. Мога да взема всяка от тези две части и да намеря корен от сбора на техните квадрати. Това мога да направя без да правя чертеж, но то отговаря на него. Можеш да представиш това като квадрата на реалната част, плюс квадрата на имагинерната част. Събирам ги и взимам квадратен корен: Трябва ми положителния квадратен корен. Получавам корен от 9 + 16, което отново е равно на 5.