Деление на комплексни числа

Нека да извърим деление. Ще разделеним ( 6 + 3i ) на ( 7 - 5i ). В този случай ще получим ново комплексно число. Т.е. ще се получи число с реална част + имагинерна част, т.е. реално число умножено по i. Нека да видим как можем да го направим. Това е просто деление на числа. Можем да представим делението като 6 + 3i върху 7 - 5i Записите са еквивалентни. Това деление прилича на рационално уравнение, но със знаменател, комплексно число. Как да опростим задачата? Има метод, с който да превърнем комплексния знаменател в реално число. Трябва да използваме комплексно-спрегнатата форма на това комплексно число. Ако умножим числителя и знаменателя с комплексно-спрегнатата форма на числото в знаменателя, ще получим реално число в знаменателя. Нека го направим. Нека умножим числителя и знаменателя със: 7 + 5i. 7 +5i е комплексно-спрегнатата форма на 7 - 5i. Ще умножим по ( 7 + 5i) върху ( 7 + 5i). Всяко число, разделено на себе си и равно на 1. Като имаме предвид числа различни от 0(нула). 0 делено на 0 е неопределено число. Но ( 7 + 5i) върху ( 7 + 5i) е равно на 1. Ние не променяме резултата на делението. а само се освобождаваме от имагинерната част на числото в знаменателя. Нека да извършим умножението. В числителят трябва да умножим всяка част на едното комплексно число по всяка част на другото. Ще използваме дистрибутивното правило два пъти. 6 х 7 = 42. а после 6 х 5i, което е равно на 30i. След това 3i х 7 = 21i. и накрая, 3i x 5i. 3 х 5 = 15. Но сега остава да сметнем i x i, което е равно на -1. И така получаваме 3i x 5i = -15 Това е видът на нашия числител. А знаменателят ще има следната стойност: Когато умножаваме (a+b) по (a-b), можем да направим както при умножението в числителя, за да не помните, че ( a + b )( a - b ) = a^2 - b^2 7 х 7 = 49. 7 х 7 = 49. Продължаваме с другите членове на умножението: 7 x 5i = 35i. -5i x 7 = -35i. Тези два члена се съкращават. И накрая, -5i x -5i = 25 x i^2( i на втора степен ). -25 х i^2 = -25 x -1 = +25. Нека упростим разултатът. Тези членове се съкращават. И в знаменателя накрая получаваме 49 + 25 = 74. В числителят събираме реалните числа 42 - 15 = 27. 42 -15 = 27. Резултатът е 27. Сега събираме имагинерните части, (30 х "нещо") + (21 х "нещо") = 51 х "нещо". В този случай "нещо" e i(имагинерното число). Ще оцветим 27 в лилаво, а 51i - в оранжево. Резултатът е +51i. Сега искаме да запишем този резултат във форма: a + bi Трябва да разделим всеки член на числитеня на знаменателя. И получаваме 27/74 + 51/74i. Ще оцветим в оранжево. Това е крайният резултат. Вече имаме реалната част и имагинерната част на комплексното число. Ако последното действие делене ви обърква, помнете че това е едно и също, като да умножим и двете части по 1/74. Просто разделяме и реалната и имагинерната част на 74. Или просто сме умножили по 1/74 и двете част на комплексното число в резултата в числителя. Ето така получихме този резултат на делението, и числото има реална част и имагинерна част.